《步步高 学案导学设计》2013-2014学年高中数学苏教版选修 组合(二)

§1.3（二）本课时栏目开关试一试研一研练一练§1.3（二）【学习要求】1．能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题．2．能解决有限制条件的组合问题．【学法指导】学习本节注意结合知识背景理解“有序”“无序”，是排列问题还是组合问题，问法的细微变化就可能导致问题性质的变化，解题时要注意审题.本课时栏目开关试一试研一研练一练§1.3（二）1．若集合M＝{x|Cx7≤21}，则组成集合M的元素的个数为________．试一试·双基题目、基础更牢固62．(1)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有________条；(2)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有________条．解析(1)C210＝45；(2)A210＝90.4590本课时栏目开关试一试研一研练一练§1.3（二）3．判断下列问题哪个是排列问题，哪个是组合问题，并回顾排列和组合的区别和联系：(1)从A、B、C、D四个景点选出2个进行游览；(2)从甲、乙、丙、丁四名学生中选出2人担任班长和团支部书记．解(1)是组合问题，(2)是排列问题．组合与排列的区别和联系(1)区别：①排列有顺序，组合无顺序．②相同的组合只需选出的元素相同，相同的排列则需选出的元素相同，并且选出元素的顺序相同．(2)联系：①都是从n个不同的元素中选出m(m≤n)个元素；②排列可以看成先组合再全排列.试一试·双基题目、基础更牢固本课时栏目开关试一试研一研练一练§1.3（二）探究点一组合数的两个性质问题1“从10人中选出6人参加比赛”与“从10人中选出4人不参加比赛”的方法数有什么关系？答相等，即C610＝C410.研一研·题型解法、解题更高效本课时栏目开关试一试研一研练一练§1.3（二）问题2一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？(4)由(1)(2)(3)问的结果你能得到怎样的关系？研一研·题型解法、解题更高效答(1)C38＝56；(2)C27＝21；(3)C37＝35；(4)C38＝C27＋C37.本课时栏目开关试一试研一研练一练§1.3（二）问题3由问题1、2你能得出组合数的性质吗？如何证明？答组合数具备以下两个性质：①Cmn＝Cn－mn；②Cmn＋1＝Cmn＋Cm－1n.研一研·题型解法、解题更高效证明如下：①∵Cn－mn＝n！n－m！[n－n－m]！＝n！m！n－m！，又Cmn＝n！m！n－m！，∴Cmn＝Cn－mn.②Cmn＋Cm－1n＝n！m！n－m！＋n！m－1！[n－m－1]！＝n！n－m＋1＋n！mm！n－m＋1！＝n－m＋1＋mn！m！n－m＋1！＝n＋1！m！n－m＋1！＝Cmn＋1，∴Cmn＋1＝Cmn＋Cm－1n.本课时栏目开关试一试研一研练一练§1.3（二）例1计算下列各式的值．(1)C9699＋C9799；(2)Cnn＋1·Cn－2n；(3)C34＋C35＋C36＋…＋C310；(4)A23＋A24＋A25＋…＋A2100.解(1)C9699＋C9799＝C399＋C299＝99×98×973×2×1＋99×982×1研一研·题型解法、解题更高效＝156849＋4851＝161700；(2)Cnn＋1·Cn－2n＝C1n＋1·C2n＝(n＋1)·nn－12＝nn2－12；(3)C34＋C35＋C36＋…＋C310＝(C44＋C34)＋C35＋C36＋…＋C310－C44＝(C45＋C35)＋C36＋…＋C310－1＝(C46＋C36)＋C37＋…＋C310－1＝C411－1＝329；本课时栏目开关试一试研一研练一练§1.3（二）(4)A23＋A24＋A25＋…＋A2100＝C23A22＋C24A22＋…＋C2100A22＝(C23＋C24＋…＋C2100)A22研一研·题型解法、解题更高效＝(C34＋C24＋C25＋…＋C2100－1)A22＝(C3101－1)×2＝2×101×100×993×2×1－1＝333298.本课时栏目开关试一试研一研练一练§1.3（二）小结第一个性质常用于mn2时组合数的计算，该性质可较大幅度地减少运算量；第二个性质常用于恒等式变形和证明等式．研一研·题型解法、解题更高效本课时栏目开关试一试研一研练一练§1.3（二）跟踪训练1(1)C98100＋C199200；(2)C37＋C47＋C58＋C69.解(1)C98100＋C199200＝C2100＋C1200＝100×992×1＋200＝5150.研一研·题型解法、解题更高效(2)原式＝C48＋C58＋C69＝C59＋C69＝C610＝C410＝210.本课时栏目开关试一试研一研练一练§1.3（二）探究点二有限制条件的组合问题例2在100件产品中，有98件合格品，2件次品．从这100件产品中任意抽出3件．(1)有多少种不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？研一研·题型解法、解题更高效解(1)所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，所以共有C3100＝100×99×983×2×1＝161700(种)抽法．(2)从2件次品中抽出1件次品的抽法有C12种，从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有C298种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有C12×C298＝9506(种)．本课时栏目开关试一试研一研练一练§1.3（二）(3)方法一从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况．抽出的3件中有1件是次品的抽法，有C12C298种；抽出的3件中有2件是次品的抽法，有C22C198种．因此根据分类计数原理，抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有C12×C298＋C22×C198＝9604(种)．研一研·题型解法、解题更高效方法二抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3件的抽法种数减去3件中都是合格品的抽法的种数，即C3100－C398＝161700－152096＝9604(种)．本课时栏目开关试一试研一研练一练§1.3（二）小结解答有限制条件的组合问题的基本方法是“直接法”和“间接法(排除法)”．其中用直接法求解时，则应坚持“特殊元素优先选取”的原则，优先安排特殊元素的选取，再安排其他元素的选取．而选择间接法的原则是“正难则反”，也就是若正面问题分类较多、较复杂或计算量较大，不妨从反面问题入手，试一试看是否简捷些，特别是涉及“至多”、“至少”等组合问题时更是如此．此时正确理解“都不是”、“不都是”、“至多”、“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键．研一研·题型解法、解题更高效本课时栏目开关试一试研一研练一练§1.3（二）跟踪训练2“抗震救灾，众志成城”，在我国“四川5·12”抗震救灾中，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴赈灾前线，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问：(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？研一研·题型解法、解题更高效解(1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有C24种选法，再从除外科专家的6人中选取4人，有C46种选法，所以共有C24·C46＝90(种)抽调方法．(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法．本课时栏目开关试一试研一研练一练§1.3（二）方法一(直接法)按选取的外科专家的人数分类：①选2名外科专家，共有C24·C46种选法；②选3名外科专家，共有C34·C36种选法；③选4名外科专家，共有C44·C26种选法；根据分类加法计数原理，共有C24·C46＋C34·C36＋C44·C26＝185(种)抽调方法．研一研·题型解法、解题更高效方法二(间接法)不考虑是否有外科专家，共有C610种选法，考虑选取1名外科专家参加，有C14·C56种选法；没有外科专家参加，有C66种选法，所以共有：C610－C14·C56－C66＝185(种)抽调方法．本课时栏目开关试一试研一研练一练§1.3（二）(3)“至多2名”包括“没有”、“有1名”、“有2名”三种情况，分类解答．①没有外科专家参加，有C66种选法；②有1名外科专家参加，有C14·C56种选法；③有2名外科专家参加，有C24·C46种选法．所以共有C66＋C14·C56＋C24·C46＝115(种)抽调方法．研一研·题型解法、解题更高效本课时栏目开关试一试研一研练一练§1.3（二）探究点三分组分配问题例3有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？(1)分成1本、2本、3本三组；(2)分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本；(3)分成每组都是2本的三组；(4)分给甲、乙、丙三人，每人2本．研一研·题型解法、解题更高效解(1)分三步：先选一本有C16种选法；再从余下的5本中选2本有C25种选法；对于余下的三本全选有C33种选法，由分步计数原理知有C16C25C33＝60种选法．(2)由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)的基础上，还应考虑再分配的问题，因此共有C16C25C33A33＝360种选法．本课时栏目开关试一试研一研练一练§1.3（二）(3)先分三步，则应是C26C24C22种选法，但是这里面出现了重复，不妨记六本书为A、B、C、D、E、F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则C26C24C22种分法中还有(AB、EF、CD)，(CD、AB、EF)、(CD、EF、AB)、(EF、CD、AB)、(EF、AB、CD)共有A33种情况，而且这A33种情况仅是AB、CD、EF的顺序不同，因此，只算作一种情况，故分法有C26C24C22A33＝15种．研一研·题型解法、解题更高效(4)在问题(3)的工作基础上再分配，故分配方式有C26C24C22A33·A33＝C26C24C22＝90种．本课时栏目开关试一试研一研练一练§1.3（二）小结(1)不同元素分组问题的常见形式，有①非均匀不编号分组如例3(1)；②非均匀编号分组如例3(2)；③均匀不编号分组如例3(3)；④均匀编号分组如例3(4)．其中②④为编号分组要考虑各组间的顺序，并且做题时要遵循先分组后排列的原则．研一研·题型解法、解题更高效本课时栏目开关试一试研一研练一练§1.3（二）跟踪训练3有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种不同的分法？(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本；(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本；(3)甲、乙、丙各得3本．研一研·题型解法、解题更高效解(1)由题意得：C49C35C22＝1260，所以甲得4本，乙得3本，丙得2本的分法共有1260种．(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本，这件事分两步完成．第一步：按4本、3本、2本分成三组，有C49C35C22种方法；第二步：将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人，有A33种方法．根据分步计数原理知，共有不同的分法C49C35C22A33＝7560(种)．所以一人得4本，一人得3本，一人得2本的分法共有7560种．本课时栏目开关试一试研一研练一练§1.3（二）(3)用与(1)相同的方法求解，得C39C36C33＝1680(种)．研一研·题型解法、解题更高效所以甲、乙、丙各得3本的分法共有1680种.本课时栏目开关试一试研一研练一练§1.3（二）解析∵C2x17＋C2x－117＝C2x18，∴C2x18＝C618，练一练·当堂检测、目标达成落实处1．若C2x17＋C2x－117＝C618，则x＝________.∴2x＝6或2x＋6＝18，∴x＝3或6.3或6本课时栏目开关试一试研一研练一练§1.3（二）∴原式＝C33＋C23＋C24＋C25＋…＋C