可交换矩阵的几个充要条件及其性质

可交换矩阵的几个充要条件及其性质在高等代数中,矩阵是一个重要的内容.由矩阵的理论可知,矩阵的乘法不同于数的乘法,矩阵的乘法不满足交换律,即当矩AB有意义时,矩阵BA未必有意义,即使AB,BA都有意义时它们也不一定相等.但是当A,B满足一定条件是,就有BAAB,此时也称A与B是可交换的,可交换矩阵有许多良好的性质,本文主要研究矩阵可交换的几个条件及其常见的性质.本文矩阵均指n阶实方阵.§1矩阵可交换成立的几个充分条件定理1.1(1)设A,B至少有一个为零矩阵,则A,B可交换;(2)设A,B至少有一个为单位矩阵,则A,B可交换;(3)设A,B至少有一个为数量矩阵,则A,B可交换;(4)设A,B均为对角矩阵,则A,B可交换;(5)设A,B均为准对角矩阵,则A,B可交换;(6)设*A是A的伴随矩阵,则A与*A可交换;(7)设A可逆,则A与1A可交换;(8)设EAB,则A,B可交换.证(1)对任意矩阵A,均有OAAO,O表示零距阵,所以A,B至少有一个为零矩阵时,A,B可交换;(2)对任意矩阵A,均有EAAE,E表示单位矩阵，所以A,B至少有一个为单位矩阵时,A,B可交换;(3)对任意矩阵A,均有AkEkEA)()(,k为任意实数,则)(kE为数量矩阵,所以A,B至少有一个为数量矩阵时,A,B可交换;(4),(5)显然成立;(6)AAEAAA**,所以矩阵A与其伴随矩阵可交换;(7)AAEAA11,所以矩阵A与其逆矩阵可交换;(8)当EAB时,A,B均可逆,且互为逆矩阵,所以根据(7)可知A,B可交换.定理1.2(1)设BAAB,其中,为非零实数,则A,B可交换,(2)设EABAm,其中m为正整数,为非零实数,则A,B可交换.证(1)由BAAB可得EEBEA))((,即EEBEA))((1,故依定理1.1(8)得EEAEB))((1,于是EEBABA,所以ABBABA;(2)由EABAm得EBAAm)(1,故依定理1.1(8)得EABAm)(1,于是EBAAm,所以可得BAAB.定理1.3(1)设A可逆,若OAB或ABA或BAA,则A,B可交换;(2)设A,B均可逆,若对任意实数k,均有BkEAA)(,则A,B可交换.证(1)若OAB,由A可逆得OABABAAB)()(11,从而OBA,故BAAB;若ABA,同理可得EABABAAB)()(11,故BAAB;若BAA,则EABAAABB11)()(,故BAAB.(2)因A,B均可逆,故由BkEAA)(得kEA可逆,且AkEAB1)(,则,))(())((])[()(])[(])[(''1''''1'''''1'''''1'''ABkEAkEAABkEAkAAABkEAAkEABAkEABkEABA两边取转置可得BAAB.或由,)(])[()()()()(])[(])[(111112111111111ABkEAAkEABkEAkAABkEAAkEABAkEABkEABA两边取逆可得BAAB.§2矩阵可交换成立的几个充要条件定理2.1下列均是A,B可交换的充要条件:(1)***)(BAAB;(2)''')(BAAB;(3)))(())((22BABABABABA;(4)2222)(BABABA.证(1))因为***)(BAAB,两边同时取伴随矩阵可得BAAB;)因为BAAB,两边同时取伴随矩阵可得***)(BAAB;(2))因为''')(BAAB,两边取转置可得BAAB;)因为BAAB,两边取转置可得''')(BAAB;(3))因为22))((BBAABABABA,))((22BABABA,所以BAAB;同理由22))((BBAABABABA,可证BAAB,)因为BAAB,且22))((BBAABABABA,所以))((22BABABA;同理由22))((BBAABABABA,可证))((22BABABA;(4))因为222)(BBAABABA,又由条件知2222)(BABABA,所以BAAB;)因为BAAB,222)(BBAABABA,所以2222)(BABABA;定理2.2可逆矩阵A,B可交换的充要条件是111)(BAAB.证)因为111)(BAAB,两边取逆可得BAAB;)因为BAAB,两边取逆可得111)(BAAB;定理2.3(1)设A,B均为(反)对称矩阵,则A,B可交换的充要条件是AB为对称矩阵;(2)设A,B有一个为对称矩阵,另一个为反对称矩阵,则A,B可交换的充要条件是AB为反对称矩阵.证(1)设A,B均为对称矩阵,由定理2.1(2)ABBAAB''')(,因此AB为对称矩阵;若A,B均为反对称矩阵,则ABBABAAB))(()(''',因此AB也为对称矩阵.(2)若A,B中有一个为对称矩阵,不妨设A为对称矩阵,则B为反对称矩阵,则,)()('''ABBABAAB因此AB为反对称矩阵.定理2.4设A,B均为对称正定矩阵,则A,B可交换的充要条件是AB为对称正定矩阵.证充分性由定理2.3(1)可得,下面证明必要性.因A,B为对称正定矩阵,故有可逆矩阵P,Q,使'PPA,'QQB,于是''QQPPAB,'''1))((QPQPABPP所以ABPP1为对称正定矩阵,其特征值全为正数.而AB与ABPP1相似,从而AB的特征值也全为正数,因此AB为对称正定矩阵.§3可交换矩阵的一些性质定义3.1(1)幂等矩阵:若A为矩阵,且AA2,则A幂等矩阵.(2)幂零矩阵:若A为矩阵,且)(*ZkOAk,则A为幂零距阵.(3)幂幺矩阵:若A为矩阵,且EAk,E为单位矩阵,则A为幂幺矩阵.性质3.1设A,B可交换,则有:(1)))(B()B)((1-m211-m21BABAABAABABAmmmmmm;(2)nkkknknnBACBA0)((矩阵二项式定理).(3)ABABmm,kkkBAAB)(,llBABA,其中lkm,,都是正整数;(4)ABfBAf)()(,其中)(Bf是B的多项式,即A与B的多项式可交换;证(1)对m用数学归纳法可证得.当1m时,明显成立.假设当km时,有),)((121kkkkkBBAABABA下证当1km时结论也成立.),)(())()(())()(())((1121121111BABBAABABBAABABBAABABABBAABABAkkkkkkkkkkkkkk故对一切正整数m,结论成立.(2)用数学归纳法当1n时,BABABA111)(,结论成立.假设当kn时,有,C)(11-kk11kkkkkkBABBACABA下面证当1kn时结论也成立.由BAAB得ijjiABBA,于是,)(C)1())(C()()()(111ik1111-kk111kiikikkkkkkkkkkkBBACBACABABABBACABABABA而ikikikCikikikiikikkikikikikCC11)!1(!)!1()!1(!!)1(!)!1()!1(!)!(!!.所以11k1111C)(kkkkkkkBABBACABA.故对一切正整数n,二项式定理成立.（3）由BAAB可得ABABBBBBmm)1(个个个mmmBBBABBAAB,同理可证kkkBAAB)(,llBABA.(4)由(3)可证得.性质3.2设A,B可交换,(1)若A,B均为幂等矩阵,则AB,ABBA也为幂等矩阵;(2)若A,B均为幂零距阵,则AB,BA均为幂零距阵;(3)若A,B均为幂幺矩阵,则AB也为幂幺矩阵;证(1)由BAAB,AA2,BB2,ABBAAB222)(,及,222222)()(222222ABBAABABABABBABABBAABABBAABBA即可证得;(2)设OAk,OBl,取},max{lkh,则OBAABhhh)(,即AB为幂零距阵;令1lkm,则OBACBAmkkkmkmm0)(,所以BA为幂零距阵.(3)由BAAB,EAk,EBk,EEBAABkkk2)(可证得;性质3.3设A,B可交换,若A,B分别为n阶Hermite正定矩阵和非负定矩阵,则AB为Hermite非负定矩阵;证因为ABBAABABHHH)(,所以AB是Hermite矩阵.又因为0A,所以存在n阶可逆Hermite矩阵C使2CA.于是,)(1BCCCBCCABCH则AB与BCCH具有相同的特征值.由0B知0BCCH,故BCCH的特征值均为非负数,从而AB的特征值均为非负数.即0AB.性质3.4(1)AB与BA的特征多项式相等,即)()(BAABff,从而AB与BA的特征值也相同(包括重数也一致).(2)多项式||ABE与||BAE相等,即||||BAEABE.推论3.4.1(1)ABE与BAE的特征多项式相等.(2)ABE与BAE的特征多项式相等.证因为|)1(||)(|ABEABEE,|)1(||)(|BAEBAEE,由性质3.4可知|)1(||)1(|BAEABE,所以|)(||)(|BAEEABEE.同理可证|)(||)(|BAEEABEE.推论3.4.2(1)AAB与ABA的特征多项式相等.(2)AAB与ABA的特征多项式相等.证(1)因为)(EBAAAB,AEBABA)(.根据性质3.4知)(EBA与AEB)(的特征多项式相等,故AAB与ABA的特征多项式相等.同理可证AAB与ABA的特征多项式相等.性质3.5(1)矩阵ABE与BAE的秩相等)0(,即秩)(ABE=秩)(BAE.特别地,秩)(ABE=秩)(BAE.(2)AB与BA的特征矩阵的秩相等)0(,即秩)(ABE=秩)(BAE.特别地,秩)(ABE=秩)(BAE.性质3.6若A,B中有一个是可逆的,则AB与BA相似.证不妨设A可逆,由AABABA)(1知,AB与BA相似.性质3.7(1)AB与BA同为可逆矩阵或同为不可逆矩阵.(2)||||BAAB.(3)AB与BA的迹相等,即)()(BAtrABtr.性质3.8(1)BAAB不可能相似于)0(kkE.(2)对可逆矩阵A,不可能有ABAAB.证(1)因为0)()()(BAtrABtrBAABtr,而0(knkEtr(当0k时),由于相似矩阵的迹相等,所以BAAB不可能相似于非零矩阵kE.(2)若存在可逆矩阵A,使ABAAB则EBAAB1,于是EBBAA1,即B与EB相似,从而)()()(BtrnBtrEBtr这是不可能的.性质3.9(1)设A,B同为(反)对称矩阵,则BAAB是对称矩阵,BAAB是反对称矩阵.(2)设A,B有一个为对称矩阵,另一个为反对称矩阵,则BAAB是反对称矩阵,BAAB是对称矩阵.推论3.9.1