微积分(下)期末复习题完整版

1期末复习题一、填空题1、xttxx020dcoslim.2、若)(xf在],[ba上连续,则bxxxfx2d)(dd.3、已知)(xF是)(xf的原函数，则xxtatft0)0(d)(1等于.4、若2ex是)(xf的一个原函数，则10d)(xxf.5、112d1||xxxx.6、已知21)(xxxf，则)(xf在]2,0[上的平均值为.7、设0),(sind)(xfxxxf且)(xf连续，则)(xf.8、设曲线kxy(0,0xk)与直线1y及y轴围成的图形面积为31，则k.9、设yxyyxyxfarcsin)1()2(),(22，则)1,0(yf.10、设yxz2e，则yxz2.11、交换积分次序xyyxfxln0e1d),(d.12、交换积分次序xxyyxfx11122d),(d.13、交换积分次序2210d),(dyyxyxfy＝.二、选择题1、极限xttxxcos1d)1ln(lim2sin00等于（）（A）1（B）2（C）4（D）82、设xxttfxed)(dde0，则)(xf（）(A)21x(B)21x(C)x2e(D)x2e3、设)(xf是连续函数，且CxFxxf)(d)(，则必有（）B（A）)(d)(xFttfxa（B）)(]d)([xFttFxa（C）)(d)(xfttFxa（D）)()(]d)([afxfttFxa24、设)(xf在],[ba上连续，则)(xf在],[ba上的平均值是（）（A）2)()(bfaf（B）baxxfd)(（C）baxxfabd)(1（D）baxxfbad)(15、积分tsxxtftI0d)(与（）有关。（A）xts,,（B）ts,（C）tx,（D）s6、下列方程中变量可分离的是()（A）2ddttxtx（B）ttxxxtsinedd（C）22ddtxtx（D）)ln(ddtxtx7、()是微分方程0dlndlnyyxxxy满足条件21ee21xy的特解。（A）0lnln22yx（B）2lnln22yx（C）0lnln22yx（D）21lnln22yx三、计算题1、计算下列不定积分：(1)xxx1)2(d(2)xxxdln(3)xxdln2(4)311dxx(5)xxxd1122(6)xxxd2cos122、计算下列定积分：(1)20dsinexxx(2)xxdln22ee1(3)xxxxdarctan11022(4)5ln0xxxd1e3eex(5)12112dexx(6)102d1arctanxxx(7)12122d1xxx(8)40d12xxx3、设02,2120,41)(2xxxxxf，求20d)1(xxf.4、设0,10,e)(2xxxxfx,求31d)2(xxf。35、设),(yxfz是由方程yzzxln确定的隐函数，求yzxz,。6、设)ln(22yxz，求yyxxzz,。7、yxyxyxyxfarctanarctan),(22，求yxf2。8、已知233yzzx，求xz，yz。9、求函数)2(e),(22yyxyxfx的极值。10、计算二重积分Dyxxxddsin，其中}10,{yyxyD。11、计算二重积分Dyxxdd12，其中D是以)1,1(),0,1(),0,0(为顶点的三角形区域。12、计算1x10ded2yxy.13、计算10132d1dxyyxyx.14、计算1121dsindyxxxy。15、求微分方程满足初始条件的特解：0ddxyyx，4)3(y.16、求微分方程0exyyx的通解。17、求方程2xxyxye22的通解。18、求微分方程042)1(22xyxyx的通解。19、求解微分方程0d)ln(dlnxxyyxx，1|exy.四、应用题1、求2xy与2yx所围成的图形的面积及它绕x轴旋转而成的旋转体体积。2、求2xy与xy所围成的图形的面积,并求此图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积。3、过曲线0,3xxy上的点A作切线，使该切线与曲线及x轴所围成的平面图形D的面积S为43。(1)求点A的坐标；(2)求平面图形D绕x轴旋转一周而成的旋转体体积。4、为销售某种产品，需要作两种方式的广告，当两种广告的费用分别为x和y时，销售利润的增加是yyxx1025550（万元）。现花25万元用于广告，问怎样分配两种方式的广告费用，可使利润的增加达到最大？5、某厂生产产量分别为x和y的两种产品，总成本50010104),(22yxyxyxyxc，需求函数分别为px25.070，qy5.0120，(qp,为产品单价)，且产品需求要受限制,502yx求4工厂获最大利润时的产量和单价。6、设某企业的总产量函数为yxyxP2005.0),(（吨），yx,为两种投入要素，其单价分别为1万元/吨和2万元/吨，且该企业拥有资金150万元，试求yx,使产量最大。7、生产某种产品需要CBA,,三种原料，且产量与CBA,,原料的用量zyx,,的关系为zyxQ2005.0，已知三种原料售价分别为1,2,3(万元)，今用2400(万元)购买材料，问应如何进料才能使产量最大？五、证明题1、设)(xf在]10[，上连续,证明：200d)(sin2d)(sinttfttf。2、设)(xf在]10[，上连续,证明：00d)(sin2d)(sinxxfxxfx。3、证明1010d)1(d)1(xxxxxxmnnm.解答：一、填空题1.12.-2f(2x)3.)(2)2aFaxF(4.1e25.ln26.)1521(7.12sinx8.219.810、y2e211.ee10d),(dyxyxfy12.-yyyyxyxfyxyxfy11301101d),(dd),(d13、212010022d),(dd),(dxxyyxfxyyxfx二、选择题1.C2.B3、解选B利用变上限积分函数的导数)(d)(ddxfttfxxa，结合)()(xfxF，得(A))()(d)(aFxFttfxa,(C))()(d)(aFxFttFxa,(D))()(]d)([xfxFttFxa,故选(B).4、解选C若函数)(xf在],[ba上连续，则称baxxfabd)(1为)(xf在],[ba上的平均值，故选(C).5、解选D设xtu，则tux，utxd1d，于是tsxxtftI0d)(suuf0d)(，故积分I与s有关.应选(D).6、解选B5由于ttxxxtsinedd可写成txtxtxsineedd，故应选(B).7、解选D将原方程分离变量并两边积分，得到通解为Cyx22ln21ln21，代入初始条件21ee21xy，得41C，所求特解为21lnln22yx。三、计算题1、计算下列不定积分：(1)解令xt1，则21tx，ttxd2d，于是xxx1)2(dtttt)1(d2221d2ttCtarctan2Cx1arctan2.(2)解xxxdln)2(dln2xxxxxxxd12ln222Cxxx2241ln2.(3)解xxdln2xxxxxxd1ln2ln2xxxxdln2ln2xxxxxxxd12ln2ln2Cxxxxx2ln2ln2(4)解令tx31，31tx，ttxd3d2，311dxxtttd132tttd11132tttd)111(3Cttt|1|ln33232Cxxx|11|ln313)1(233332(5)解令txsec，tttxdtansecd，Cttttttttxxxsindcosdtansectansecd11222Cxx12(6)解xxxxxxxxxxxtanddsecdcos22d2cos1222.|sec|lntandtantanCxxxxxxx2、计算下列定积分：(1)解：20dsinexxx20desinxx2020dcosesinexxxxx202decosexx2e]dsinecose[2020xxxxx1e220dsinexxx解得20dsinexxx)1(e212.(2)解：原式xxxxdlndln22e11e1xxxxxxxxlndln]lndln[2222e1e11e11e16xxd21e]d21e1[22e121e1222e212e31.(3)解：令ttxtxxtdsecd,tan,arctan2，则原式tttdtan240tttd)1(sec240tttttddsec402404024021tandttt24040321dtantantttt240321secln4t23212ln214(4)解：令tx1e，则20222d124)1(tttttt原式2022d42ttt2022d4442ttt20)2arctan2(2tt4(5)解：令tx12，则原式10dettt101010deedetttttt1(6)解令tx21，则102d1arctanxxx102darctan21tt1022102d121arctan21ttttt1022d11121421ttt10arctan2121421x.214(7)解设txsin，原式tttdsincos242241)cot(d1)(csc24242tttt(8)解令tx12，原式tttt312d21310)3(21313tt。3、解20d)1(xxf11d)(1ttftx10201d41d21tttx10012arcsin2lntx2ln64、解设tx2，31d)2(xxf11d)(ttf1001d)(d)(ttfttf10012ded)1(tttte137.5、解zzzzxzxx2xzzzx；同理，)(2xzyzzy。6、解222yxxzx，222yxyzy，xxz22222)()(2yxxy，yyz22222)()(2yxyx。77、解：yxyxxfarctan2，yxf22222yxyx8、解：方程两边关于x求偏导，03322xzyxzzx;3322yzxxz方程两边关于y求偏导，032yzyzyzz.32yzzxz。9、解0)22(e0)1422(e222yfyyxfxyxx，求得驻点)1,21(),(yx，0e2)1,21(xxfA，0)1,21(xyfB，e2)1,21(yyfC，0e422ACB，所以)1,21(为极小值点，极小值为.2e)1,21(f10、解原式xxyxxx2