文3-1任意角、弧度制及任意角的三角函数

任意角、弧度制及任意角的三角函数1．任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为_____、_____、_____.②按终边位置不同分为_______和_______.(2)终边相同的角终边与角α相同的角可写成__________________．正角负角零角象限角轴线角{|=k·360+,k∈Z}第一象限角的集合第二象限角的集合第三象限角的集合第四象限角的集合象限角终边在x轴非负半轴上的角：终边在x轴非正半轴上的角：终边在y轴非负半轴上的角：终边在y轴非正半轴上的角：终边在x轴上的角：终边在y轴上的角：.终边在坐标轴上的角：{α|α＝2kπ，k∈Z}；{α|α＝(2k－1)π，k∈Z}．{α|α＝kπ，k∈Z}；角的集合的表示形式不是唯一的，如：终边在y轴的负半轴上的角的集合可以表示为{x|x＝2kπ－π2，k∈Z}，也可以表示为{x|x＝2kπ＋3π2，k∈Z}.•1．与2010°终边相同的最小正角为________，最大负角为________．•解析：设β＝2010°＋k·360°(k∈Z)，•则当k＝－6时，β＝2010°－2160°＝－150°，•当k＝－5时，β＝2010°－1800°＝210°.•∴与2010°终边相同的最小正角为210°，最大负角为－150°.•答案：210°－150°•2．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在()•A．第一或第三象限B．第一或第二象限•C．第二或第四象限D．第三或第四象限•解析：当k＝2m＋1(m∈Z)时，α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°，故α为第三象限角；当k＝2m(m∈Z)时，α＝m·360°＋45°，故α为第一象限角．•答案：A【例1】(1)如果α是第三象限的角，那么－α，2α的终边落在何处？(2)写出终边在直线y＝3x上的角的集合；(3)若角θ的终边与6π7角的终边相同，求在[0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角．解：(1)由α是第三象限的角得π＋2kπα3π2＋2kπ⇒－3π2－2kπ－α－π－2kπ.即π2＋2kπ－απ＋2kπ(k∈Z)．∴角－α的终边在第二象限；由π＋2kπα3π2＋2kπ得2π＋4kπ2α3π＋4kπ(k∈Z)．∴角2α的终边在第一、二象限及y轴的非负半轴．(2)在(0，π)内终边在直线y＝3x上的角是π3，∴终边在直线y＝3x上的角的集合为{α|α＝π3＋kπ，k∈Z}．(3)∵θ＝6π7＋2kπ，∴θ3＝2π7＋2kπ3(k∈Z)．依题意0≤2π7＋2kπ32π⇒－37≤k187，k∈Z.∴k＝0,1,2，即在[0,2π)内终边与θ3相同的角为2π7，20π21，34π21.(3)弧度制①1弧度的角:________________________________叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为_____，负角的弧度数为_______，零角的弧度数为_____，|α|＝____，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．把长度等于半径长的弧所对的圆心角正数负数零lr③弧度与角度的换算：360°＝_____弧度；180°＝_____弧度．换算关系：1°＝rad,1rad＝()°.④弧长公式：____________，扇形面积公式：S扇形＝_______＝_________.2ππ||lr12lr21||2rOlrαOlrα注意：运用弧长公式l＝|α|r与扇形面积公式S＝12r2α＝12lr时，圆心角α的单位必须是弧度.考向二扇形的弧长及面积公式[典例剖析]【例2】(1)已知扇形周长为10，面积为4，则扇形的圆心角为________．(2)已知扇形周长为40，则当它的半径r＝________，圆心角θ＝________时，扇形的面积最大．【解析】(1)设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝10，12θ·r2＝4，解得r＝1，θ＝8(舍去)或r＝4，θ＝12，∴扇形的圆心角为12.(2)设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝40.又S＝12θr2＝12r(40－2r)＝r(20－r)＝－(r－10)2＋100≤100.当且仅当r＝10时，Smax＝100，此时2×10＋10θ＝40，θ＝2.∴当r＝10，θ＝2时，扇形的面积最大．【答案】(1)12(2)1022.任意角的三角函数(1)任意角的三角函数定义设α是一个任意角,角α的终边上任意一点P(x,y),它与原点的距离为r(r0),那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sinα＝___,cosα＝___,tanα＝____,它们都是以角为_______,以比值为_______的函数．(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：_______________________________.自变量函数值一全正、二正弦、三正切、四余弦yrxryxyxosintancos+yxosintancos+3．已知角α的终边过点P(－1,2)，则sinα＝()A.55B.255C．－55D．－255【解析】sinα＝2－12＋22＝255.【答案】B[对点练习]已知角θ的终边上一点P(3a,4a)(a≠0)，则sinθ＝________.【解析】∵x＝3a，y＝4a，∴r＝3a2＋4a2＝5|a|.(1)当a＞0时，r＝5a，∴sinθ＝yr＝45.(2)当a＜0时，r＝－5a，∴sinθ＝yr＝－45，综上，sinθ＝±45.【答案】±45[对点练习](1)已知角α的终边与单位圆的交点Px，32，则tanα＝()A.3B.±3C.33D．±33B考向三三角函数的定义[典例剖析]【例3】(1)已知角α终边上一点P(3，1)，则2sin2α－3tanα＝()A．－1－33B．1－33C．－23D．0(2)在平面直角坐标系xOy中，将点A(3，1)绕原点O逆时针旋转90°到点B，那么点B坐标为________，若直线OB的倾斜角为α，则tan2α的值为________．【解析】(1)由已知得|OP|＝2，由三角函数定义可知sinα＝12，cosα＝32，即α＝2kπ＋π6(k∈Z)．所以2sin2α－3tanα＝2sin4kπ＋π3－3tan2kπ＋π6＝2sinπ3－3tanπ6＝2×32－3×33＝0.(2)设点A(3，1)为角θ终边上一点，如图所示，|OA|＝2，由三角函数的定义可知sinθ＝12，cosθ＝32，则θ＝2kπ＋π6(k∈Z)，点A(2cosθ，2sinθ)．设点B(x，y)，由已知得x＝2cosθ＋π2＝2cos2kπ＋2π3＝－1，y＝2sinθ＋π2＝2sin2kπ＋23π＝3，所以点B(－1，3)，且tanα＝－3，所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝3.