8.3-傅立叶变换的性质

1第八章傅里叶变换§8.3傅里叶变换的性质§8.3傅立叶变换的性质三、利用Matlab实现Fourier变换一、基本性质二、卷积与卷积定理*2第八章傅里叶变换§8.3傅里叶变换的性质一、基本性质且所涉及到的函数的Fourier)(F)(G.])([tg在下面给出的基本性质中，,])([tf变换均存在，1.线性性质设a,b为常数，则性质对于涉及到的一些运算(如求导、积分、极限及求和等)的次序交换问题，均不另作说明。直接进入基本性质汇总？证明(略)3第八章傅里叶变换§8.3傅里叶变换的性质一、基本性质2.位移性质设为实常数，则性质00,t(时移性质)(频移性质)xxftjxjd)(0ee;)(0eFtj(2)同理，可得到频移性质。;)(])([0e0Fttftj(1).)()]([0e01tfFtj(2)证明tttfttftjd)(])([e00(1)0ttx令4第八章傅里叶变换§8.3傅里叶变换的性质时移性质表明：当一个信号沿时间轴移动后，各频率成份频移性质则被用来进行频谱搬移，这一技术在通信系统中的大小不发生改变，但相位发生变化；得到了广泛应用。一、基本性质2.位移性质设为实常数，则性质;)(])([0e0Fttftj00,t.)()]([0e01tfFtj(时移性质)(频移性质)(1)(2)5第八章傅里叶变换§8.3傅里叶变换的性质xxfaxajd)(1ettaftaftjd)(])([etax令;1aFa证明(1)当时，0a(2)当时，0a同理可得.1])([aFataf性质一、基本性质3.相似性质6第八章傅里叶变换§8.3傅里叶变换的性质相似性质表明，事实上，在对矩形脉冲函数的频谱分析中(§8.1)已知，脉冲越窄，则其频谱(主瓣)越宽;脉冲越宽，则其频谱(主瓣)越窄。相似性质正好体现了脉冲宽度与频带宽度之间的反比关系。若信号被压缩则其频谱被扩展；,)1(a若信号被扩展则其频谱被压缩。,)1(a性质一、基本性质3.相似性质7第八章傅里叶变换§8.3傅里叶变换的性质相似性质表明这两者是矛盾的，因为同时压缩脉冲宽度和在电信通讯中，为了有效地利用信道，希望信号的频带宽度要窄。为了迅速地传递信号，希望信号的脉冲宽度要小；频带宽度是不可能的。性质一、基本性质3.相似性质8第八章傅里叶变换§8.3傅里叶变换的性质一、基本性质4.微分性质若则,0)(lim||tft性质.)(])([Fjtf证明,0)(lim||tft由有,0)(lime||tjttfttftftjd)(])([ettfjtftjtjd)()(ee.)(Fj9第八章傅里叶变换§8.3傅里叶变换的性质一般地，若,,0)(lim)1,,2,1,0()(||nktfkt则.)()(])([)(Fjtfnn记忆,d)()(etjFtf由;d)()(etjFjtf.d)()()(e)(tjnnFjtf一、基本性质4.微分性质若则,0)(lim||tft性质.)(])([Fjtf10第八章傅里叶变换§8.3傅里叶变换的性质记忆,d)()(ettfFtj由;d)()()(ettftjFtj.d)()()(e)(ttftjFtjnn)(tftn上式可用来求的Fourier变换．一、基本性质4.微分性质同理，可得到像函数的导数公式11第八章傅里叶变换§8.3傅里叶变换的性质证明令,d)()(tttftg则,0)(lim||tgt由微分性质有,)(])([Gjtg又,)()(tftg,])([])([tgjtf有.)(1d)(][Fjttft即得性质一、基本性质5.积分性质12第八章傅里叶变换§8.3傅里叶变换的性质一、基本性质6.帕塞瓦尔(Parseval)等式.d|)(|21d)(22Fπttf证明由,d)()(ettfFtj有,d)()(ettfFtjdd)()(21]e[ttfFπtjd)()(21FFπ右边tFπtftjdd)(21)(]e[ttfd)(2=左边.13第八章傅里叶变换§8.3傅里叶变换的性质一、基本性质(汇总)线性性质.)()(])()([GbFatgbtfa.||1])([aFataf相似性质位移性质;)(])([0e0Fttftj.)()]([0e01tfFtj(时移性质)(频移性质)14第八章傅里叶变换§8.3傅里叶变换的性质一、基本性质(汇总)Parseval等式.d|)(|21d)(22Fπttf.)(1d)(][Fjttft积分性质微分性质.)()(])([)(1tftjFnn;)()(])([)(Fjtfnn(直接进入Parseval等式举例?)15第八章傅里叶变换§8.3傅里叶变换的性质例设求,cos2)()(0ttutf.)]([tf.)]()([200220πj解已知)]([tu,)(1πj根据线性性质和频移性质有)]([tf)()(1)()(10000πjπj,)()()(00eetjtjtutf又16第八章傅里叶变换§8.3傅里叶变换的性质.4||,0,4||,2/1解根据相似性质有)(G])([tg])2([tf221FP198例8.11修改17第八章傅里叶变换§8.3傅里叶变换的性质设求,cos)(2tttf例.)]([tf根据微分性质,)()(])([21tgtjG有解令则,cos)(ttg,)()(2tgttf又已知,)1()1(]cos[ππt)(G)]([tf])([2tgt)(G.)1()1(ππ18第八章傅里叶变换§8.3傅里叶变换的性质dsin422.4d12112πtπ,1||,0,1||,1)(tttf解设矩形脉冲函数由于被积函数为偶函数，,sin2)(F已知的频谱为)(tf由Parserval等式有.d)(2d|)(|22ttfπF.2dsin022π故有P200例8.1219第八章傅里叶变换§8.3傅里叶变换的性质即二、卷积与卷积定理广义积分对任何实数t都收敛，d)()(21tff函数为与的卷积，记为)(1tf)(2tf,)()(21tftf)()(21tftf.d)()(21tff1.卷积的概念与运算性质设函数与在区间上有定义，)(1tf)(2tf),(定义如果它在上定义了一个自变量为t的函数，),(则称此P200定义8.220第八章傅里叶变换§8.3傅里叶变换的性质二、卷积与卷积定理1.卷积的概念与运算性质性质(1)交换律)()(21tftf.)()(12tftf)]()([)(321tftftf.)()]()([321tftftf(2)结合律)]()([)(321tftftf.)()()()(3121tftftftf(3)分配律P20121第八章傅里叶变换§8.3傅里叶变换的性质)()(tgtf,d)()(tgf解(1)当时，0t.0)()(tgtf)(f)(g)(f)(tgt)(g(2)当时，0t)()(tgtfd)()(0ttgfd0)(eett.eetP201例8.1322第八章傅里叶变换§8.3傅里叶变换的性质将函数反褶并平移到t，得到)(g,))(()(tgtg从上面的例子可以看出(2)卷积由反褶、平移、相乘、积分四个部分组成。因此，卷积又称为褶积或卷乘。(1)在计算一些分段函数的卷积时，如何确定积分限是解题另外，利用卷积满足交换律这一性质，适当地选择两个函数的关键。再与函数相乘后求积分，)(tf得到卷积.)()(tgtf的卷积次序，还可以使积分限的确定更直观一些。如果采用图形方式则比较容易确定积分限。即首先P20323第八章傅里叶变换§8.3傅里叶变换的性质)()(tgtfd)()(tgf.d)()(tfg(1)当时，1t解由卷积的定义及性质有.0)()(tgtf)(f)(tf221)(gt221)(gP202例8.14修改24第八章傅里叶变换§8.3傅里叶变换的性质221)(gt)(tf(2)当时，21t)()(tgtfd)(212tt.)1(323t)()(tgtfd)()(tgf.d)()(tfg解由卷积的定义及性质有)(f221)(g25第八章傅里叶变换§8.3傅里叶变换的性质221)(g)(tft(3)当时，2t)()(tgtfd)(2212t.)2()1(32][33tt)()(tgtfd)()(tgf.d)()(tfg解由卷积的定义及性质有)(f221)(g26第八章傅里叶变换§8.3傅里叶变换的性质综合得)()(tgtf.2,3/)2()1(2,21,3/)1(2,1,0][333tttttt)()(tgtfd)()(tgf.d)()(tfg解由卷积的定义及性质有)(f221)(g27第八章傅里叶变换§8.3傅里叶变换的性质证明])()([21tftfttftftjd)()(e21ttfftjdd)()(e][21dd)()(]e[e)(21ttfftjj;)()(21FF同理可证(B)式。二、卷积与卷积定理2.卷积定理P203定理8.428第八章傅里叶变换§8.3傅里叶变换的性质二、卷积与卷积定理3.卷积的物理意义*设有某信号为问题,)(tf试将该信号的低频成份完全保留，而高频成份完全去掉，即对其进行理想低通滤波。(1)如何从收到的实际信号中分离出“想要”的某个频带背景内的信号。(2)如何从收到的实际信号中消除在传输过程中加入的高频干扰噪声。(跳过?)29第八章傅里叶变换§8.3傅里叶变换的性质二、卷积与卷积定理3.卷积的物理意义方法*)(tf.)(F(1)求出信号频谱函数显然，新的信号中完全保留了原信号中频率)(~tf)(tf低于a的频率成份，而去掉了频率高于a的频率成份。方法一在频率域中实现.||,0,||,1)(aaH(2)令(理想低通滤波器))(F.)()()(~HFF(3)将与相乘，得到)(H.])(~[)(~1Ftf)(~F(4)对作Fourier逆变换，得到30第八章傅里叶变换§8.3傅里叶变换的性质二、卷积与卷积定理3.卷积的物理意义方法*由卷积定理，信号与方法一中信号是一样的，)(~~tf)(~tf方法二在时间域中实现.||,0,||,1)(aaH(1)令(理想低通滤波器)