最新初升高衔接数学讲义

精品文档精品文档第1章代数式与恒等变形1.1四个公式知识衔接在初中，我们学习了实数与代数式，知道代数式中有整式，分式，根式，它们具有类似实数的属性，可以进行运算。在多项式乘法运算中，我们学习了乘法公式，如：平方差公式22))((bababa；完全平方公式2222)(bababa，并且知道乘法公式在整式的乘除，数值计算，代数式的化简求值以及代数等式的证明等方面有着广泛的应用。而在高中阶段的学习中，将会遇到更复杂的多项式运算为此在本章中我们将拓展乘法公式的内容。知识延展1多项式的平方公式：acbcabcbacba222)(22222立方和公式：3322))((babababa3立方差公式：3322))((babababa4完全立方公式：3223333)(babbaaba注意：（1）公式中的字母可以是数，也可以是单项式或多项式；（2）要充分认识公式自身的价值，在多项式乘积中，正确使用乘法公式能提高运算速度，减少运算中的失误；（3）对公式的认识应当从发现，总结出公式的思维过程中学习探索，概括，抽象的科学方法；（4）由于公式的范围在不断扩大，本章及初中所学的仅仅是其中最基本，最常用的几个公式。一计算和化简例1计算：))(()(222babababa变式训练：化简62222))()()((yxyyxxyyxyxyx精品文档精品文档二利用乘法公式求值；例2已知0132xx，求331xx的值。变式训练：已知3cba且2acbcab，求222cba的值。三利用乘法公式证明例3已知0,0333cbacba求证：0200920092009cba变式训练：已知2222)32()(14cbacba，求证：3:2:1::cba习题精练1化简：322)())((babababa2化简)1)(1)(1)(1)(1)(1(12622aaaaaaaa精品文档精品文档3已知10yx且10033yx，求代数式22yx的值；4已知21201,19201,20201xcxbxa，求代数式acbcabcba222的值；5已知)(3)(2222zyxzyx，求证：zyx6已知abcddcba44444且dcba,,,均为正数，求证：以dcba,,,为边的四边形为菱形。1.2因式分解知识延展一运用公式法立方和（差）公式：);)((2233babababa))((2233babababa二分组分解法1分组后能直接提公因式如：))(()()()()(22cababacbaabcacababcacaba精品文档精品文档2分组后直接应用公式如：)2)(2()2()44(4422222222ayxayxayxayxyxayxyx三十字相乘法1))(()(2bxaxabxbax如：)1)(6(652xxxx2))((22112cxacxacbxax其中bcacacccaaa12212121,,如：)53)(12(5762xxxx注意：十字相乘法的要领是：“头尾分解，交叉相乘，求和凑中，观察实验”四其它方法简介1添项拆项法如：（1）)122)(122(4)12(414414222222244xxxxxxxxxx（2）)133)(1()1()1)(1(3)1()1(31331432223xxxxxxxxxxxxxxx2配方法如：)623)(623(24)3(15996156222xxxxxxx3运用求根公式法)0,0)()((212axxxxacbxax题型归类一分解因式例1把下列各式分解因式：（1）22865yxyx（2）12224babaa（3）6222yxyxyx（4）23739234xxxx二利用分解因式解方程例2解方程：2410542xxx精品文档精品文档变式训练：若关于x的方程0))(())(())((axcxcxbxbxax（其中cba,,均为正数）有两个相等实根，证明以cba,,为长的线段能组成一个三角形，并指出该三角形的特征。三利用分解因式化简分式例3已知0,1)3()3(692222xxyayxayxyxa求xy的值；变式训练：当x等于x的倒数时，求分式633622xxxxxx的值四利用分解因式化简根式例4化简：2)42()41()44122(aaaaaaaaa精品文档精品文档变式计算：246234716251习题精练1分解因式（1）yxyx62922（2）12)(4)(2yxyx（3）23xx（4）24)4)(3)(2)(1(xxxx2已知0258622yxyx，求分式yxxy的值3已知10x，化简4)1(4)1(22xxxx4求满足方程yxxy244412的所有整数解；精品文档精品文档5已知abba322，求证：22447baba6已知0cba，求证：03223babccbcaa第2章方程与不等式2.1一元二次方程的根系关系知识延展1一元二次方程根与系数关系（韦达定理）；如果)0(02acbxax的两个实数根是21,xx那么axxacxxabxx212121;,2韦达定理的重要推论；推论1如果02qpxx的的两个实数根是21,xx那么qxxpxx2121,推论2以两个实数21,xx为根的一元二次方程（二次项系数为1）是0)(21212xxxxxx题型归类一不解方程，求含有已知一元二次方程两实根的对称式的值（1）)3)(3(21xx（2）3231xx（3）112112xxxx（4）21xx精品文档精品文档变式训练已知方程03622xx的两实根为21,xx，不解方程求下列各式的值；（1）2112xxxx；（2）221)(xx（3）2221xx例2已知21,xx是一元二次方程01442kkxkx的两个实数根。（1）是否存在实数k，使32)2)(2(2121xxxx成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由（2）求使21221xxxx的值为整数的实数k的整数值；变式训练已知关于x的方程0141)1(22kxkx根据下列条件，分别求k的值。（1）方程两实数根的积为5（2）方程两实数根21,xx满足21xx三已知方程的两实根，求作新方程例3已知方程0262xx不解方程，求作一个新方程，使它的一个根为原方程两实根的和的倒数，另一个根为原方程两实根差的平方。精品文档精品文档变式训练不解方程0122xx，求作一个一元二次方程，使它的根比原方程各实根的2倍大1.四已知两数的和与积，求这两数例4已知两数和为14，积为-1，求这两个数。变式训练已知两个数的和为2，积等于41，求这两个数。例5当实数k为何值时，一元二次方程042)32(2kxkx，（1）有一根为0（2）两根互为倒数；（3）有两个异号根，且正根的绝对值较大；（4）一根大于3，一根小于3变式训练已知整系数方程032)3(2kxkx有一正根和一负根，且正根的绝对值较小，求k的值和方程的根。精品文档精品文档习题精练1已知,是方程01222xx的两个实数根，不解方程，求（1）（2）33（3）)12)(12(22的值。2已知关于x的方程0141)1(22kxkx的两实根是一个矩形的两边的长（1）当k取何值时，方程存在两个正实数根？（2）当矩形对角线长是5时，求k的值。3已知21,xx是关于x的方程0)5(52kkxx的两个正实数根，且满足7221xx，求实数k的值。4设,是方程0252xx的两实根，求作以221,1为根的一元二次方程；5已知实数ba,分别满足03112aa和032bb且1ab，试求代数式2221aba的值。精品文档精品文档6已知关于x的方程0)12(22axax（a为常数）的两个实数根是21,xx且0,021xx，求21xx的值；2.2分式方程知识延展可化为一元二次方程的分式方程解法有两种：一种是一般解法——去分母法；另一种是特殊解法——换元法去分母法的一般步骤如下：1将分母分解因式，找到最简公分母；2以最简公分母乘以方程两边去分母，得到一个一元二次方程；3解这个一元二次方程；4验根题型归类一用一般方法——去分母法解分式方程例1解下列分式方程（1）;14211421232xxxx（2）111342392xxxxx（3）13616116322xxxxxxxx变式训练解下列分式方程：1xxxxxx135245729122；2xxxxx413412169662精品文档精品文档二灵活应用去分母法解分式方程——先通分再去分母例2解分式方程：71618151xxxx变式训练：解方程61418121xxxx三用特殊方法——换元法解分式方程例3解方程2311xxxx变式训练解方程：0536322xxxx例4解下列分式方程：（1）171)1(61)1(522xxxx（2）06)1(5)1(2xxxx（3）1)1(3)1(222xxxx精品文档精品文档变式训练解下列方程；（1）0331052622222xxxxxx（2）04)1(67)1(222xxxx习题精练1解方程（1）3353112xxxxxx（2）1221242xxxxx2解分式方程32411423xxxx3解分式方程：61317121xxxx4用换元法解分式方程：（1）2)1()1(22xxxx（2）03)1(27)1(2xxxx精品文档精品文档5用换元法解分式方程（1）38)1(5)1(622xxxx（2）)2(3422xxxx（3）02772222xxxx（4）0527)2(22xxxx2.3一元二次不等式知识延展1一元二次不等式的定义：形如)0(02acbxax和)0(02acbxax的不等式叫一元二次不等式2一元二次不等式的解法；（1）形如)0(02acbxax的解法是：在方程02cbxax，若0时，方程有两个不相等实根21,xx其21xx，则02cbxax的解集为1xx或2xx；若0时，abxx221，则)0(02acbxax的解集为abx2；若0时，则)0(02acbxax解集为一切实数（2）形如)0(02acbxax的解法是：在方程02cbxax中，若0时，方程有两个不相等实根21,xx其21xx，则02cbxax的解集为21xxx；若0时，abxx221，则)0(02acbxax的解集为空集（无实数解）；若0时，则)0(02acbxax解集为空集（无实数解）精品文档精品文档判别式Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c0(a0)的解集{x|xx1或xx2}{x|x≠x1}