2011届高考数学二轮复习课件2.6一次函数、二次函数与幂函数

要点梳理1.一次函数、二次函数的图象及性质(1)一次函数y=kx+b，当k0时，在实数集R上是增函数,当k0时在实数集R上是减函数.b叫纵截距,当b=0时图象过原点，且此时函数是奇函数；当b≠0时函数为非奇非偶函数.§2.6一次函数、二次函数与幂函数基础知识自主学习(2)二次函数的解析式①二次函数的一般式为____________________.②二次函数的顶点式为__________________,其中顶点为_______.③二次函数的两根式为____________________,其中x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两根.(也就是函数的零点)根据已知条件,选择恰当的形式,利用待定系数法可求解析式.y=ax2+bx+c（a≠0）y=a(x-h)2+k(a≠0)y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)(h,k)(3)二次函数图象和性质①二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为;对称轴方程为.熟练通过配方法求顶点坐标及对称轴,并会画示意图.②在对称轴的两侧单调性相反.③当b=0时为偶函数,当b≠0时为非奇非偶函数.)44,2(2abacababx22.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系Δ=b2-4acΔ0Δ=0Δ0y=ax2+bx+c的图象(a0)方程ax2+bx+c=0的解__________________________无解ax2+bx+c0的解集________________________________________________ax2+bx+c0的解集__________________x1,x2(x1x2)x0{x|xx2或xx1}{x|x∈R且x≠x0}R{x|x1xx2}3.幂函数(1)幂函数的定义形如________(∈R)的函数称为幂函数,其中x是_______,为______.(2)幂函数的图象xy自变量常数(3)幂函数的性质y=xy=x2y=x3y=x-1定义域_______________________________值域__________________________________奇偶性________________________函数特征性质21xyRRR[0,+∞){x|x∈R且x≠0}R[0,+∞)R[0,+∞){y|y∈R且y≠0}奇奇奇偶非奇非偶单调性_________________________________________________________________________________定点________,________________(1，1)(0，0)x∈[0,+∞)时,增x∈(-∞,0]时,减增增增x∈(0,+∞)时,减x∈(-∞,0)时,减(1，1)基础自测1.直线的图象可能是（）解析∵a≠0，∴C不可能.当a0时，排除A.当a0时，，排除D，故选B.aaxy1,01a01aB2.一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象大致是（）解析选项A中，一次函数的斜率a0，而二次函数开口向下，相互矛盾，排除A.同理排除D,y=ax2+bx+c的对称轴为当a0,b0时，∴排除B.当a0,b0时，故选C.,2abx,02abx.02abxC3.设则使函数的定义域为R且为奇函数的所有值为（）A.1,3B.-1,1C.-1,3D.1,3，解析当=1，3时，的定义域为R且为奇函数，当=-1时，的定义域为{x|x≠0,x∈R},淘汰B、C,当时,的定义域为[0,+∞),排除D.故选A.,3,21,1,1xyxy21xy1A2121xy4.已知二次函数y=x2-2ax+1在区间（2，3）内是单调函数，则实数a的取值范围是（）A.a≤2或a≥3B.2≤a≤3C.a≤-3或a≥-2D.-3≤a≤-2解析本题考查二次函数图象及其性质，由于二次函数的开口向上,对称轴为x=a,若使其在区间(2,3)内是单调函数，则需所给区间在对称轴的同一侧，即a≤2或a≥3.A5.方程x2-mx+1=0的两根为且则实数m的取值范围是_______.解析方法一,,,21,0.1,1,mm).25,2(,21211,)2,1(1)2,1(mmm即上是增函数在且又方法二设f(x)=x2-mx+1,则f(0)=1.由图可知，f(1)·f(2)=(2-m)(5-2m)0,∴2m答案,211且.10)25,2(.25题型一二次函数的解析式的求法【例1】已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数.确定二次函数采用待定系数法，有三种形式，可根据条件灵活运用.思维启迪题型分类深度剖析解方法一设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),依题意有∴所求二次函数为y=-4x2+4x+7.方法二设f(x)=a(x-m)2+n.∵f(2)=f(-1),∴抛物线对称轴为∴m=,7,4,4,,844,1,1242cbaabaccbacba得解之.212)1(2x.21又根据题意函数有最大值为n=8，∴y=f（x）=∵f（2）=-1，解之，得a=-4.方法三依题意知：f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1),即f(x)=ax2-ax-2a-1.又函数有最大值ymax=8,即.8)21(2xa,18)212(2a.7448)21(4)(22xxxxf,84)12(42aaaa解之，得a=-4或a=0(舍去）.∴函数解析式为f(x)=-4x2+4x+7.二次函数的解析式有三种形式：(1)一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0)(2)顶点式：f(x)=a(x-h)2+k(a≠0)(3)两点式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)具体用哪种形式，可根据具体情况而定.探究提高知能迁移1设二次函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x)，且f（x）=0的两实数根平方和为10，图象过点(0,3),求f（x）的解析式.解设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).由f(x+2)=f(2-x)知，该函数图象关于直线x=2对称,∴即b=-4a.①又∵图象过（0，3）点，∴c=3.②,22ab∴b2-2ac=10a2.③由①②③得a=1,b=-4,c=3.故f（x）=x2-4x+3.102)(2)(2212212221acabxxxxxx题型二二次函数的图象与性质【例2】已知函数在区间[0,1]上的最大值是2，求实数a的值.研究二次函数在给定区间上的最值问题，要讨论对称轴与给定区间的关系.解对称轴为2142aaxxy),2(41)2(22aaaxy.2ax思维启迪(1)当0≤≤1，即0≤a≤2时，得a=3或a=-2,与0≤a≤2矛盾.不合要求；(2)当0，即a0时，y在[0，1]上单调递减，有ymax=f(0)，f(0)=2(3)当1，即a2时，y在[0，1]上单调递增，有ymax=f(1),f(1)=2综上，得a=-6或a=2a,2)2(41),2(4122maxaaaay由.62214aa2a2a22141aa.310a.310探究提高(1)要注意抛物线的对称轴所在的位置对函数最值的影响.(2)解二次函数求最值问题，首先采用配方法，将二次函数化为y=a(x-m)2+n的形式，得顶点（m，n）或对称轴方程x=m，分三个类型：①顶点固定，区间固定；②顶点含参数，区间固定；③顶点固定，区间变动.知能迁移2已知函数f(x)=-x2+8x,求函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t).解f（x）=-x2+8x=-(x-4)2+16①当t+14,即t3时，f(x)在[t,t+1]上单调递增.此时h(t)=f(t+1)=-(t+1)2+8(t+1)=-t2+6t+7；②当t≤4≤t+1,即3≤t≤4时，h(t)=f(4)=16；③当t4时，f(x)在[t,t+1]上单调递减.此时h(t)=f(t)=-t2+8t.综上可知.)4(8)43(16)3(76)(22tttttttth题型三幂函数的图象及应用【例3】点(,2)在幂函数f(x)的图象上,点在幂函数g（x）的图象上，问当x为何值时，有f(x)＞g(x)，f(x)=g(x)，f(x)＜g(x).由幂函数的定义，求出f(x)与g(x)的解析式，再利用图象判断即可.解设则由题意得∴=2，即f（x）=x2，再设则由题意得∴=-2，即g（x）=x-2，思维启迪2)41,2(,)(xxf,)2(2,)(xxg,)2(41在同一坐标系中作出f(x)与g(x)的图象，如图所示.由图象可知：①当x＞1或x＜-1时，f（x）＞g（x）;②当x=±1时,f(x)=g(x);③当-1＜x＜1且x≠0时，f（x）＜g（x）.(1)函数图象在解方程和不等式时有着重要的应用.(2)注意本题中，g（x）的定义域为{x|x≠0}，所以③中不包含x=0这一元素.探究提高知能迁移3已知幂函数的图象与x、y轴都无公共点，且关于y轴对称，求整数n的值并画出该函数的草图.解∵函数图象与x、y轴都无公共点，∴n2-2n-3≤0，∴-1≤n≤3.又∵n为整数，∴n∈{-1，0，1，2，3}.又图象关于y轴对称，∴n2-2n-3为偶数.∴n=-1，1，3.322nnxy当n=-1和3时,n2-2n-3=0，y=x0图象如图（1）所示;当n=1时，y=x-4，图象如图（2）所示.图（1）图（2）题型四幂函数的性质【例4】（12分）已知幂函数(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，求满足的a的取值范围.由(m∈N*)的图象关于y轴对称知m2-2m-3为偶数,又在（0，+∞）上是减函数，∴m2-2m-30，从而确定m值，再由函数f(x)=的单调性求a的值.322)(mmxxf322)(mmxxf33)23()1(mmaa思维启迪3mx解∵函数在(0，+∞)上递减，∴m2-2m-30，解得-1m3.∵m∈N*，∴m=1，2.2分又函数的图象关于y轴对称，∴m2-2m-3是偶数，而22-2×2-3=-3为奇数，12-2×1-3=-4为偶数，∴m=1.4分而在(-∞,0),(0，+∞)上均为减函数,6分∴等价于a+13-2a0或0a+13-2a或a+103-2a.10分31)(xxf3131)23()1(aa解得故a的取值范围为12分本题集幂函数的概念、图象及单调性、奇偶性于一体,综合性较强，解此题的关键是弄清幂函数的概念及性质.解答此类问题可分为两大步：第一步，利用单调性和奇偶性（图象对称性）求出m的值或范围;第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数a的取值范围..23321aa或}.23321|{aaa或探究提高知能迁移4指出函数的单调区间,并比较的大小.解∵=1+(x+2)-2,其图象可由幂函数y=x-2的图象向左平移2个单位,再向上平移1个单位得到，4454)(22xxxxxf)22(π)(ff与222)2(114454)(xxxxxxf该函数在(-2，+∞)上是减函数，在(-∞，-2)上是增函数，且其图象关于直线x=-2对称（如图所示）.).22(π)(,222)2(222ππ)(2ff又1.二次函数的解析式有三种形式:一般式、顶点式和两根式.根据已知条件灵活选用.2.二次函数的单调性只与对称轴和开