2011届高考数学二轮复习课件4.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用

§4.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用要点梳理1.用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点.如下表所示.x0A0-A002232x02232)sin(xAy基础知识自主学习2.函数y=sinx的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象的步骤如下:个单位长度平移右向左||)(倍的各点的横坐标变为原来1各点的纵坐标变为原来的A倍倍的各点的横坐标变为原来1个单位长度平移右向左)(各点的纵坐标变为原来的A倍以上两种方法的区别:方法一先平移再伸缩;方法二先伸缩再平移.特别注意方法二中的平移量.3.当函数y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0,x∈(0,+∞))表示一个振动时，A叫做，叫做，叫做，ωx+φ叫做，φ叫做.4.三角函数的图象和性质.振幅2T周期Tf1相位初相频率5.三角函数模型的应用(1)根据图象建立解析式或根据解析式作出图象.(2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.(3)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型.基础自测1.（2009·湖南理，3）将函数y=sinx的图象向左平移φ(0≤φ2π)个单位后，得到函数的图象，则φ等于（）A.B.C.D.解析将函数y=sinx的图象向左平移φ(0≤φ2π)个单位得到函数y=sin(x+φ),在A、B、C、D四项中，只有)6sin(xy66567611)611sin(611xy时有).6sin(xD2.为了得到函数x∈R的图象，只需把函数y=2sinx,x∈R的图象上所有的点()A.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）B.向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）C.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）D.向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）),63sin(2xy63163166解析将y=2sinx的图象向左平移个单位得到y=2sin的图象，将y=2sin图象上各点横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），则得到的图象，故选C.答案C6)6(x)6(x)631sin(2xy3.已知函数f(x)=asinx-bcosx(a、b为常数，a≠0,x∈R)在处取得最小值，则函数A.偶函数且它的图象关于点（π，0）对称B.偶函数且它的图象关于点C.奇函数且它的图象关于点D.奇函数且它的图象关于点（π，0）对称4πx是)4π3(xfy())0,2π3()0,2π3(解析据题意，当时，函数取得最小值，由三角函数的图象与性质可知其图象必关于直线对称，故必有故原函数f(x)=asinx+acosx=4πx4πx,)2π()0(baff),4πsin(2xa.)(π,sin2)4π3(对称点易知其为奇函数且关于从而xaxf答案D,04.将函数y=sin4x的图象向左平移个单位，得到y=sin(4x+φ)的图象，则φ等于（）A.B.C.D.解析将函数y=sin4x的图象向左平移个单位后得到的图象的解析式为1212331212)12(4sinxy.3),34sin(则xC5.（2008·浙江理，5）在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直线的交点个数是（）A.0B.1C.2D.4解析函数图象如图所示，直线与该图象有两个交点.])2,0[)(232cos(xxy21y]2,0[,2sin)232cos(xxxy21yC题型一作y=Asin(ωx+φ)的图象已知函数(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换而得到.(1)由振幅、周期、初相的定义即可解决.(2)五点法作图，关键是找出与x相对应的五个点.(3)只要看清由谁变换得到谁即可.【例1】),32sin(2xy)32sin(2xy思维启迪题型分类深度剖析解（1）的振幅A=2,周期)32sin(2xy,22T.3初相:,.sin2)32sin(2,32)2(并描点画出图象列表则令XxyxXXX方法一把y=sinx的图象上所有的点向左平移个单位,得到的图象,再把的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到的图象,最后把上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到的图象.3)3sin(xy)3sin(xy21)32sin(xy)32sin(xy)32sin(2xy方法二将y=sinx的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到y=sin2x的图象；再将y=sin2x的图象向左平移个单位；得到的图象；再将的图象上每一点的横坐标保持不变,纵坐标伸长为原来的2倍，得到的图象.216)32sin()6(2sinxxy)32sin(xy)32sin(2xy（1）作三角函数图象的基本方法就是五点法，此法注意在作出一个周期上的简图后，应向两端伸展一下，以示整个定义域上的图象；（2）变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用来确定平移单位.探究提高)(xx知能迁移1已知函数（1）用五点法作出函数的图象；（2）说明此图象是由y=sinx的图象经过怎么样的变化得到的；（3）求此函数的振幅、周期和初相；（4）求此函数图象的对称轴方程、对称中心.解（1）列表：)421sin(3xy描点、连线,如图所示：（2）方法一“先平移，后伸缩”.先把y=sinx的图象上所有点向右平移个单位，得到的图象；再把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，最后将的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），就得到的图象.4)4sin(xy)4sin(xy)421sin(xy)421sin(xy)421sin(3xy方法二“先伸缩，后平移”先把y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象；再把图象上所有的点向右平移个单位，得到的图象，最后将的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），就得到的图象.xy21sinxy21sin2)42sin()2(21sinxxy)42sin(xy)421(sin3xy.4,3,42122)3(初相是振幅周期AT).)(0,22().(22)(421.),(232),(2421)4(ZZZZZkkkkxkkxkkxkkx对称中心为得令此为对称轴方程得令题型二求函数y=Asin(ωx+φ)+b的解析式如图为y=Asin（ωx+φ）的图象的一段，求其解析式.首先确定A.若以N为五点法作图中的第一个零点，由于此时曲线是先下降后上升（类似于y=-sinx的图象），所以A0；若以M点为第一个零点,由于此时曲线是先上升后下降（类似于y=sinx的图象），所以A0.而可由相位来确定.【例2】思维启迪,2T解方法一以N为第一个零点，方法二由图象知A=，)32sin(3,3,026),0,6().2sin(3,2,)365(2,3xyNxywTA所求解析式为点此时解析式为则3).322sin(3.3226503.)0,65(,)0,3(xyPM所求解析式为解之得列方程组为第二个零点为第一个零点以①②(1)①与②是一致的，由①可得②，事实上同样由②也可得①.(2)由此题两种解法可见，在由图象求解析式时，“第一个零点”的确定是重要的,应尽量使A取正值.(3)已知函数图象求函数y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0）的解析式时，常用的解题方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值确定A,由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ,但由图象求得的y=Asin（ωx+φ）（A0,ω0）的解析式一般不惟一，只有限定φ的取值范围，才能得出惟一解，否则φ的值不确定，解析式也就不惟一.探究提高)322sin(3)32sin(3xxy),322sin(3x（4）将若干个点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ，这里需要注意的是，要认清选择的点属于“五点”中的哪一个位置点，并能正确代入式中.依据五点列表法原理，点的序号与式子的关系是：“第一点”（即图象上升时与x轴的交点）为ωx+φ=0；“第二点”（即图象曲线的最高点）为；“第三点”（即图象下降时与x轴的交点）为ωx+φ=π；“第四点”（即图象曲线的最低点）为；“第五点”为ωx+φ=2π.2x23x知能迁移2(2009·辽宁理，8)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)的图象如图所示，,则f(0)=（）A.B.C.D.解析由题意可知，32)2(f32213221,32)1271211(2T此函数的周期).3cos()(,3,322xAxf故.32cos)0(,32cos0)sin(cos22)4cos()1273cos()127(.32sin)23cos()2(AfAAAAfAAf又由题图可知答案C题型三函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的综合应用（12分）在已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中A0,ω0,0φ)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为且图象上一个最低点为(1)求f(x)的解析式；(2)当时，求f(x)的值域.易知T=π，A=2，利用点M在曲线上可求φ，第（2）问由函数图象易解，关键是将ωx+φ看成一个整体.【例3】2,2).2,32(M2,12x思维启迪解).62sin(2)(,6),2,0().(6112),(2234,1)34sin(,2)322sin(2)2,32(.222,,222.2)2,32()1(xxfkkkkMTTTxAM故又故即在图象上得由点即得的距离为轴上相邻两个交点之间由得由最低点为ZZ1分3分5分6分认识并理解三角函数的图象与性质是解决此题的关键.图象与x轴的两个相邻交点间的距离即为半个周期.在求函数值域时,由定义域转化成ωx+φ的范围.即把ωx+φ看作一个整体.].2,1[)(,1)(,2,6762;2)(,6,262,67,362,2,12)2(的值域为故取得最小值时即当取得最大值时即当xfxfxxxfxxxx8分10分12分探究提高知能迁移3已知向量a=(cosx,sinx),b=(cosx,cosx)，若f(x)=a·b+.(1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程；(2)求函数f(x)在区间上的值域.解（1）f(x)=a·b+=cos2x+sinxcosx+3312,1253332332sin212cos23xx.233)32sin(x.1233,123312,125)(,1233,123312,125)(,,212,125)2(上的值域为在区间所以函数最大值分别取到函数的最小值在又为半个周期的长度为由于区间xfxf).(122).(122),