2012届高考复习方案数学理科(北师版)第2单元第15讲-定积分与微积分基本定理

第15讲│定积分与微积分基本定理第15讲定积分与微积分基本定理知识梳理1．定积分的概念一般地，给定一个在区间[a，b]上的函数y＝f(x)，其图像如图15－1所示．将[a，b]区间分成n份，分点为：a＝x0x1x2…xn－1xn＝b.第i个小区间为[xi－1，xi]，设其长度为Δxi，在这个小区间上取一点ξi，使f(ξi)在区间[xi－1，xi]上的值最大，设S＝f(ξ1)Δx1＋f(ξ2)Δ2＋…＋f(ξi)Δxi＋…＋f(ξn)Δxn.在这个小区间上取一点ζi，使f(ζi)在区间[xi－1，xi]上的值最小，设s＝f(ζ1)Δx1＋f(ζ2)Δx2＋…＋f(ζi)Δxi＋…＋f(ζn)Δxn.第15讲│知识梳理图15－1如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于0，S与s的差也趋于0，此时S与s同时趋于某一个固定的________，容易验证，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点δi，S′＝f(δ1)Δx1＋f(δ2)Δx2＋…＋f(δi)Δxi＋…＋f(δn)Δxn的值也趋于该________，我们称______是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的________，记作f(x)dx，即__________．其中，∫叫作积分号，a与b分别叫作积分的______与积分的______，函数f(x)叫作__________．第15讲│知识梳理常数A常数AA定积分下限上限被积函数abf(x)dx＝A第15讲│知识梳理y＝f(x)x＝a，x＝b和x轴b－aF(b)－F(a)2．定积分的几何意义与物理背景(1)几何意义：当f(x)≥0时，abf(x)dx表示的是________与________________所围曲边梯形的面积．(2)物理背景：当f(x)表示速度关于时间x的函数时，abf(x)dx表示的是运动物体从x＝a到x＝b时所走过的路程．3．定积分的性质(1)ab1dx＝________；(2)abkf(x)dx＝__________；(3)ab[f(x)±g(x)]dx＝__________________；(4)acf(x)dx＋cbf(x)dx＝abf(x)dx.4．微积分基本定理如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)＝F′(x)，则有abf(x)dx＝________(*)，式子*叫作牛顿­莱布尼茨公式，通常称F(x)是f(x)的一个原函数．5．利用定积分求面积、体积(1)由三条直线x＝a，x＝b(ab)，x轴及一条曲线y＝f(x)(f(x)≥0)围成的曲边梯形的面积S＝__________.(2)设曲线y＝f(x)以及直线x＝a，x＝b所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积为V，则V＝________.kabf(x)dxabf(x)dx±abg(x)dxabf(x)dxπab[f(x)]2dx(ab)要点探究►探究点1利用微积分基本定理及定积分的性质求定积分第15讲│要点探究例1(1)计算下列定积分：①122x2－1xdx＝________；②∫π30(sinx－sin2x)dx＝________；③12|3－2x|dx＝________；④∫π2－π2cos2xdx＝________.[思路]利用微积分基本定理求定积分，就是求出被积函数的一个原函数，然后再计算在相应区间上的函数值的差即可．[答案]①143－ln2②－14③12④π2第15讲│要点探究[解答]①因为函数y＝2x2－1x的一个原函数是y＝23x3－lnx，所以122x2－1xdx＝23x3－lnx21＝163－ln2－23＝143－ln2.②函数y＝sinx－sin2x的一个原函数是y＝－cosx＋12cos2x，所以∫π30(sinx－sin2x)dx＝－cosx＋12cos2xπ30＝－12－14－－1＋12＝－14.③12|3－2x|dx＝∫321|3－2x|dx＋232|3－2x|dx＝∫321(3－2x)dx＋232(2x－3)dx＝(3x－x2)|321＋(x2－3x)|错误！＝错误！.④∫π2－π2cos2xdx＝∫π2－π21＋cos2x2dx＝x2＋14sin2x|π2－π2＝π2.第15讲│要点探究(2)不等式0(2x－8)dx≤0的解集为[答案]{a|0a≤8}[解析]由a0(2x－8)dx＝(x2－8x)|a0＝a2－8a≤0，显然a≠0，故解集为{a|0a≤8}第15讲│要点探究(3)设函数f(x)＝ax2＋1，若01f(x)dx＝2，则a＝________.[答案]3[解析]01f(x)dx＝01(ax2＋1)dx＝ax33＋x10＝a3＋1＝2，解得a＝3.第15讲│要点探究[点评]利用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的一个原函数，求一个函数的原函数与求一个函数的导数互为逆运算，因此要注意掌握一些常见函数的导数，在求稍微复杂的定积分时要注意被积函数的变形转化．把定积分融入方程或不等式已成为近几年考试的热点．►探究点2利用定积分的几何意义求定积分第15讲│要点探究例2求定积分01(1－x－12－x)dx的值[思路]画出被积函数的图像，求出对应图形的面积，由定积分的几何意义便可求出积分值．[解答]01(1－x－12－x)dx表示圆(x－1)2＋y2＝1(y≥0)的一部分与直线y＝x所围成的弓形(如图所示)的面积，因此01(1－x－12－x)dx＝π×124－12×1×1＝π4－12.第15讲│要点探究[点评]本题如果用定积分的定义或微积分基本定理求解都比较麻烦，由01(1－x－12－x)dx联想到圆(x－1)2＋y2＝1(y≥0)的一部分与直线y＝x，再联想到定积分的几何意义，用曲边梯形面积的代数和的方法求定积分，从而简化了运算，也体现了数形结合思想的重要作用．运用定积分的几何意义计算定积分，需要具备较强的观察能力、分析能力和逻辑推理能力．►探究点3定积分在求图形面积和旋转体体积方面的应用例3(1)求抛物线y2＝2x与直线y＝x－4围成的平面图形的面积第15讲│要点探究[思路]先画出已知函数的图像，求出抛物线与直线的交点，再利用积分求解．[解答]画出函数图像，如图所示：解法一：选取横坐标x为积分变量，则图中阴影部分的面积应是两部分之和，解方程组y2＝2x，y＝x－4，得A(2，－2)，B(8,4)，则0≤x≤8，因此S＝0222xdx＋282x－x＋4dx＝423x32|20＋4x＋223x32－x22|82＝18.解法二：选取纵坐标y为积分变量，则－2≤y≤4，图中的阴影部分面积S＝4－2y＋4－y22dy＝4y＋y22－y36|4－2＝18.第15讲│要点探究[解答](2)旋转体示意图如图，那么，根据相应公式可得V＝π0π(sinx)2dx＝π20π(1－cos2x)dx＝π2x－12sin2x|π0＝π22.(2)求由曲线y＝sinx在[0，π]段与x轴所围成的图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积V.[思路]直接用旋转体的体积公式计算第15讲│要点探究[点评](1)从上述两种解法中可以看出，对y积分比x积分计算简捷，但同时也要注意对y积分时，积分函数应为x＝m(y)，然后再根据定积分求解，因此对于求平面图形的面积问题，应首先画出平面图形的大概图形，然后根据图形特点，选择相应的积分变量及被积函数，并确定被积区间．(2)利用积分研究旋转体的体积时，要注意旋转体相应的旋转曲线，旋转方向与旋转轴．►探究点4定积分在物理方面的应用第15讲│要点探究例4[2010·福州模拟]一辆汽车的速度——时间曲线如图15－2所示，求该汽车在这一分钟内行驶的路程．图15－2[思路]本题考查定积分在物理中的应用，可以先根据图像求出速度关于时间的函数解析式，再利用定积分求出路程第15讲│要点探究[解答]从该汽车的速度——时间曲线可以看出，该汽车作变速运动，其速度——时间的函数关系如下：v＝v(t)＝32t，0≤t20，50－t，20≤t40，10，40≤t≤60，所以该汽车在这一分钟内所行驶的路程为：s＝∫600v(t)dt＝∫20032tdt＋204050－tdt＋406010dt＝34t2200＋50t－12t24020＋10t6040＝900(米)．第15讲│要点探究[点评]用定积分解决变速运动的位置与路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键．变速直线运动的速度函数往往是分段函数，故求积分时要利用积分的性质将其分成几段积分，然后求出积分的和，即可得到答案，由于函数是分段函数，所以运算过程可能稍微复杂些，因此在运算过程中一定要细心，不要出现计算上的错误，利用定积分还能解决变力做功的问题．规律总结第15讲│规律总结1．利用定积分求面积或体积时，要用数形结合的方法确定被积函数和积分上、下限．2．当f(x)≤0时，abf(x)dx不是y＝f(x)与x＝a，x＝b和x轴所围曲边梯形的面积S，而是S的相反数，即S＝－abf(x)dx或S＝abfxdx.3．利用微积分基本定理计算时，通常把求原函数F(x)与计算的定积分值用一串等式表示出来，注意，把积分上、下限代入原函数求差时，要按步骤进行，以免发生符号错误．4．利用定积分求两曲线围成的平面图形面积的一般步骤为第15讲│规律总结(1)画出图形；(2)确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限；(3)确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置；(4)写出平面图形面积的定积分表达式；(5)运用微积分基本公式计算定积分，求出平面图形的面积．5．利用定积分求简单几何积的体积的一般步骤为(1)画出旋转前的平面图形和旋转体的图形；(2)确定轴截面图形的范围，即求交点坐标，确定积分上、下限；(3)确定被积函数；(4)确定旋转体体积的表达式(用定积分表示)；(5)求出定积分，即旋转体的体积．