专题3抛物线与几何变换

专题提优3抛物线与几何变换———专题讲解———一、抛物线的平移（1）具体步骤：先利用配方法将二次函数化成y=a（x－h）2＋k的形式，确定其顶点（h，k），然后作出二次函数y=ax2的图象，将抛物线y=ax2平移，使其顶点平移到（h，k）．具体平移方法如图所示：（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”．二、抛物线的对称二次函数图象的对称一般有五种情况：①关于x轴对称：y=ax2＋bx＋c关于x轴对称后，得到的解析式是y=－ax2－bx－c；y=a（x－h）2＋k关于x轴对称后，得到的解析式是y=－a（x－h）2－k．②关于y轴对称：y=ax2＋bx＋c关于y轴对称后，得到的解析式是y=ax2－bx＋c；y=a（x－h）2＋k关于y轴对称后，得到的解析式是y=a（x＋h）2＋k．③关于原点对称：y=ax2＋bx＋c关于原点对称后，得到的解析式是y=－ax2＋bx－c；y=a（x－h）2＋k关于原点对称后，得到的解析式是y=－a（x＋h）2－k．④关于顶点对称：y=ax2＋bx＋c关于顶点对称后，得到的解析式是222byaxbxca；y=a（x－h）2＋k关于顶点对称后，得到的解析式是2yaxhk．⑤关于点（m，n）对称：2yaxhk关于点mn，对称后，得到的解析式是222yaxhmnk根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．———典型例题———【例1】（2014•陕西）已知抛物线C：cbxxy2经过A（－3，0）和B（0，3）两点．将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴于x轴的交点记为N．（1）求抛物线C的表达式；（2）求点M的坐标；（3将抛物线C平移到C′，抛物线C′的顶点记为M′，它的对称轴于x轴的交点记为N′．如果以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？【提示】根据平行四边形的定义，可知有四种情形符合条件，需要分类讨论．【感悟】1、二次项系数的不变性．抛物线平移中，二次函数中二次项系数是不变的；2、以点带线．顶点的平移方向和平移距离就是抛物线平移的方向和距离，反之，亦然；3、顶点式的应用，是解答抛物线平移的常用公式．既做到由顶点坐标求解析式，又做到能由解析式求出顶点坐标．【例2】（2013•河北省）如图，一段抛物线：y=－x（x－3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，直至得C13．若P（37，m）在第13段抛物线C13上，则m=．【提示】根据图象的旋转变化规律以及二次函数的平移规律得出平移后解析式，进而求出m的值．【方法总结】旋转前后的图形大小与形状都没发生变化．———小试身手———1．（☆☆2014•浙江宁波）已知点A（a－2b，2－4ab）在抛物线y=x2＋4x＋10上，则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为（）A．（－3，7）B．（－1，7）C．（－4，10）D．（0，10）2．（☆☆2012•陕西省）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2－x－6向上（下）或向左（右）平移m个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则|m|的最小值为（）A．1B．2C．3D．63．（☆☆☆2014•山东临沂）在平面直角坐标系中，函数22(yxxx≥0)的图象为1C，1C关于原点对称的图象为2C，则直线ya（a为常数）与1C，2C的交点共有（）A．1个B．1个或2个C．1个或2个或3个D．1个或2个或3个或4个4．（☆☆☆）如图，抛物线m：y=ax2＋b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1．若四边形AC1A1C为矩形，则a，b应满足的关系式为（）A．ab=－2B．ab=－3C．ab=－4D．ab=－5（第4题图）（第5题图）5．（☆☆☆☆2014•西湖区一模）如图，将二次函数y=x2－m（其中m＞0）的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，形成新的图象记为y1，另有一次函数y=x＋b的图象记为y2，则以下说法：（1）当m=1，且y1与y2恰好有三个交点时，b有唯一值为1；（2）当b=2，且y1与y2恰有两个交点时，m＞4或0＜m＜47；（3）当m=b时，y1与y2至少有2个交点，且其中一个为（0，m）；（4）当m=－b时，y1与y2一定有交点．其中正确说法的序号为．6．（☆☆2013•河南省）如图，抛物线的顶点为P（－2，2），与y轴交于点A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，－2），点A的对应点为A′，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为．7．（☆☆2010•关系桂林）将抛物线y=2x2－12x＋16绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是．8．（☆☆☆☆2014•湖南衡阳模拟）已知二次函数y=2x2＋bx＋1（b为常数），当b取不同的值时，对应得到一系列二次函数的图象，它们的顶点都在一条抛物线上，则这条抛物线的解析式是；若二次函数y=2x2＋bx＋1的顶点只在x轴上方移动，那么b的取值范围是．9．（☆☆☆2014•贵州贵阳）如图，经过点A（0，－6）的抛物线y=12x2＋bx＋c与x轴相交于B（－2，0），C两点．（1）求此抛物线的函数关系式和顶点D的坐标；（2）将（1）中求得的抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线y1，若新抛物线y1的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；（3）在（2）的结论下，新抛物线y1上是否存在点Q，使得△QAB是以AB为底边的等腰三角形？请分析所有可能出现的情况，并直接写出相对应的m的取值范围．10．（☆☆☆2014•江西抚州）如图，抛物线y=ax2＋2ax（a＜0）位于x轴上方的图象记为F1，它与x轴交于P1、O两点，图象F2与F1关于原点O对称，F2与x轴的另一个交点为P2，将F1与F2同时沿x轴向右平移P1P2的长度即可得到F3与F4；再将F3与F4同时沿x轴向右平移P1P2的长度即可得到F5与F6；…；按这样的方式一直平移下去即可得到一系列图象F1，F2，…，Fn．我们把这组图象称为“波浪抛物线”．（1）当a=－1时，①求图象F1的顶点坐标；②点H（2014，－3）（填“在”或“不在”）该“波浪抛物线”上；若图象Fn的顶点Tn的横坐标为201，则图象Fn对应的解析式为，其自变量x的取值范围为．（2）设图象Fn、Fn＋1的顶点分别为Tn、Tn＋1（m为正整数），x轴上一点Q的坐标为（12，0）．试探究：当a为何值时，以O、Tn、Tn＋1、Q四点为顶点的四边形为矩形？并直接写出此时m的值．11．（☆☆☆2014•江苏镇江）如图，在平面直角坐标系xOy中，点M为抛物线y=－x2＋2nx－n2＋2n的顶点，过点（0，4）作x轴的平行线，交抛物线于点P、Q（点P在Q的左侧），PQ=4．（1）求抛物线的函数关系式，并写出点P的坐标；（2）小丽发现：将抛物线y=－x2＋2nx－n2＋2n绕着点P旋转180°，所得新抛物线的顶点恰为坐标原点O，你认为正确吗？请说明理由；12．（☆☆☆☆2014•湖南怀化）如图1，在平面直角坐标系中，AB=OB=8，∠ABO=90°，∠yOC=45°，射线OC以每秒2个单位长度的速度向右平行移动，当射线OC经过点B时停止运动，设平行移动x秒后，射线OC扫过Rt△ABO的面积为y．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当x=3秒时，射线OC平行移动到O′C′，与OA相交于G，如图2，求经过G，O，B三点的抛物线的解析式；（3）现有一动点P在（2）中的抛物线上，试问点P在运动过程中，是否存在三角形POB的面积S=8的情况？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．13．（☆☆☆☆☆2014•辽宁盘锦）如图，抛物线y=ax2＋bx＋c经过原点，与x轴相交于点E（8，0），抛物线的顶点A在第四象限，点A到x轴的距离AB=4，点P（m，0）是线段OE上一动点，连结PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PC，过点C作y轴的平行线交x轴于点G，交抛物线于点D，连结BC和AD．（1）求抛物线的解析式；（2）求点C的坐标（用含m的代数式表示）；（3）当以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．———参考答案———例1．【解析】（1）∵抛物线y=－x2＋bx＋c经过A（－3，0）和B（0，3）两点，∴930,3,bcc解得2,3.bc故此抛物线的解析式为y=－x2－2x＋3；（2）∵由（1）知抛物线的解析式为y=－x2－2x＋3，∴当x=－22(1)=－1时，y=4，∴M（－1，4）．（3）由题意，以点M、N、M′、N′为顶点的平行四边形的边MN的对边只能是M′N′，∴MN∥M′N′且MN=M′N′，∴MN•NN′=16，∴NN′=4．i）当M、N、M′、N′为顶点的平行四边形是▱MNN′M′时，将抛物线C向左或向右平移4个单位可得符合条件的抛物线C′；ii）当M、N、M′、N′为顶点的平行四边形是▱MNM′N′时，将抛物线C先向左或向右平移4个单位，再向下平移8个单位，可得符合条件的抛物线C′．∴上述的四种平移，均可得到符合条件的抛物线C′．例2．【答案】2【解析】∵一段抛物线：y=－x（x－3）（0≤x≤3），∴图象与x轴交点坐标为：（0，0），（3，0），∵将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，直至得C13．∴C13的解析式与x轴的交点坐标为（36，0），（39，0），且图象在x轴上方，∴C13的解析式为y13=－（x－36）（x－39），当x=37时，y=－（37－36）×（37－39）=2．1．【答案】D【解析】∵点A（a－2b，2－4ab）在抛物线y=x2＋4x＋10上，∴（a－2b）2＋4×（a－2b）＋10=2－4ab，a2－4ab＋4b2＋4a－8b＋10=2－4ab，（a＋2）2＋4（b－1）2=0，∴a＋2=0，b－1=0，解得a=－2，b=1，∴a－2b=－2－2×1=－4，2－4ab=2－4×（－2）×1=10，∴点A的坐标为（－4，10）．∵对称轴为直线x=－421=－2，∴点A关于对称轴的对称点的坐标为（0，10）．2．【答案】B【解析】当x=0时，y=－6，故函数图象与y轴交于点C（0，－6），当y=0时，x2－x－6=0，即（x＋2）（x－3）=0，解得x=－2或x=3，即A（－2，0），B（3，0）；由图可知，函数图象至少向右平移2个单位恰好过原点，故|m|的最小值为2．3．【答案】【解析】C函数y=x2－2x（x≥0）的图象为C1关于原点对称的图象为C2的解析式是y=－x2－2x（x≤0），观察图象：当a1或a－1时，直线y=a与图象C1、C2只有1个交点；当a=1或a=－1时，直线y=a与图象C1、C2有2个交点；当－1a1时，直线y=a与图象C1、C2有3个交点．4．【答案】B【解析】令x=0，得y=b．∴C（0，b）．令y=0，得ax2＋b=0，∴x=±ab，∴A（－ab，0），B（ab，0），∴AB=2ab，BC=22OBOC=abb2．要使平行四边形AC1A1C是矩形，必须满足AB=BC，∴2ab=abb2．∴4×（ab）=b2－ab，∴ab=－3．∴a，b应满足关系式ab=－3．5．【答案】②③【解析】①当m=1，且y1与y2恰好有三个交点时，b有唯一值为1，b=45，故①错误；②当b=2，且y1与y2恰有两个交点时，m＞4或0＜m＜47，故②正确；③当m=b时，y1与y2至少有2个交点，且其中一个为（0，m）故③正确；④当m=－b时，y1与y2没有交点，故④错误．