初高中数学衔接内容

初高中数学衔接教材专题一数与式的运算1.1绝对值1.2乘法公式1.3二次根式1.４分式专题二分解因式专题三一元二次方程专题四函数4.1平面直角坐标系、一次函数、反比例函数4.2二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质4.3.二次函数的三种表示方式4.4二次函数的简单应用专题五方程与不等式5.1二元二次方程组解法5.2一元二次不等式解法专题六相似形6.1．平行线分线段成比例定理6.2相似形专题七三角形的“四心”专题八圆8.1直线与圆，圆与圆的位置关系8.2点的轨迹专题一数与式的运算1.1绝对值【要点回顾】1．绝对值[1]绝对值的代数意义：．即||a．[2]绝对值的几何意义：的距离．[3]两个数的差的绝对值的几何意义：ab表示的距离．[4]两个绝对值不等式:||(0)xaa；||(0)xaa．．【例题选讲】例1解下列不等式：（1）21x（2）13xx＞4练习1．填空：（1）若5x，则x=_________；若4x，则x=_________.（2）如果5ba，且1a，则b＝________；若21c，则c＝________.2．选择题：下列叙述正确的是（）（A）若ab，则ab（B）若ab，则ab（C）若ab，则ab（D）若ab，则ab3．化简：|x－5|－|2x－13|（x＞5）．4、解答题：已知0)5(4232cba，求cba的值.1.2.乘法公式乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：[1]平方差公式：；[2]完全平方和公式：；[3]完全平方差公式：．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：[公式1]2()abc[公式2]33ab(立方和公式)[公式3]33ab(立方差公式)【例题选讲】例1计算：（1）221(2)3xx（2）2211111()()5225104mnmmnn（3）22(1)(1)(1)(1)xxxxxx（4）22222(2)()xxyyxxyy例2已知4abc，4abbcac，求222abc的值．练习1．填空：（1）221111()9423abba（）；（2）(4m22)164(mm)；（3）2222(2)4(abcabc)．2．选择题：（1）若212xmxk是一个完全平方式，则k等于（）（A）2m（B）214m（C）213m（D）2116m（2）不论a，b为何实数，22248abab的值（）（A）总是正数（B）总是负数（C）可以是零（D）可以是正数也可以是负数1.3．二次根式[1]式子(0)aa叫做二次根式，其性质如下：(1)2()a；(2)2a；(3)ab；(4)ba．[2]平方根与算术平方根的概念：叫做a的平方根，记作(0)xaa，其中a(0)a叫做a的算术平方根．[3]立方根的概念：叫做a的立方根，记为3xa例1.将下列式子化为最简二次根式：（1）12b；（2）2(0)aba；（3）64(0)xyx(4)2592例2计算：（1）323（2）22(1)(2)(1)xxx（3）11ab（4）3282xxx例3化简：（1）945；（2）2212(01)xxx练习1．填空：（1）若2(5)(3)(3)5xxxx，则x的取值范围是_____；（3）4246543962150_____；（4）若52x，则11111111xxxxxxxx________．2．选择题：等式22xxxx成立的条件是（）（A）2x（B）0x（C）2x（D）02x3、若22111aaba，求ab的值4、解答：设231,231yx，求代数式yxyxyx22的值1.４．分式[1]分式的意义形如AB的式子，若B中含有字母，且0B，则称AB为分式．当0B时，分式AB具有下列性质：（1）；（2）．[2]繁分式当分式AB的分子、分母中至少有一个是分式时，AB就叫做繁分式，[3]分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程例1若54(2)2xABxxxx，求常数,AB的值．例2（1）试证：111(1)1nnnn（其中n是正整数）；（2）计算：1111223910；（3）证明：对任意大于1的正整数n，有11112334(1)2nn．例3设cea，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值．练习1．填空题：对任意的正整数n，1(2)nn(112nn)；2．选择题：若223xyxy，则xy＝（）（A）１（B）54（C）45（D）653．正数,xy满足222xyxy，求xyxy的值．4．计算1111...12233499100．专题检测（一）1．解不等式：(1)13x；(2)327xx；(3)2116xx．2．填空：（1）1819(23)(23)＝________；（2）若22(1)(1)2aa，则a的取值范围是________；（3）111111223344556________．（4）12a，13b，则2223352aabaabb________；（5）若2220xxyy，则22223xxyyxy____；3．选择题：（1）若2ababba，则（）（A）ab（B）ab（C）0ab（D）0ba（2）计算1aa等于（）（A）a（B）a（C）a（D）a4．求值（1）已知1xy，求333xyxy的值．（2）已知：11,23xy，求yyxyxy的值．5．解方程22112()3()10xxxx．6．计算：1111132435911．7．试证：对任意的正整数n，有111123234(1)(2)nnn＜14．专题二因式分解【要点回顾】因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等．1．公式法常用的乘法公式：[1]平方差公式：；[2]完全平方和公式：；[3]完全平方差公式：．[4]2()abc[5]33ab(立方和公式)[6]33ab(立方差公式)由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，运用上述公式可以进行因式分解．2．分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如mambnanb既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．常见题型：（1）分组后能提取公因式（2）分组后能直接运用公式3．十字相乘法（1）2()xpqxpq型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③一次项系数是常数项的两个因数之和．∵2()xpqxpq2()()()()xpxqxpqxxpqxpxpxq，∴2()()()xpqxpqxpxq运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．（2）一般二次三项式2axbxc型的因式分解由2121221121122()()()aaxacacxccaxcaxc我们发现，二次项系数a分解成12aa，常数项c分解成12cc，把1212,,,aacc写成1122acac，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221acac，如果它正好等于2axbxc的一次项系数b，那么2axbxc就可以分解成1122()()axcaxc，其中11,ac位于上一行，22,ac位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．4．其它因式分解的方法其他常用的因式分解的方法：（1）配方法（2）拆、添项法【例题选讲】例分解因式：(1)34381abb(2)76aab（3）22()xabxyaby；（4）1xyxy．（5）2222()()abcdabcd（6）2222428xxyyz(7)2524xx(8)2215xx(9)226xxyy(10)21252xx(11)22568xxyy(12)222()8()12xxxx练习1．分解因式：（1）31a；（2）424139xx；（3）22222bcabacbc；（4）2235294xxyyxy．（5）253xx；（6）2223xx；（7）2234xxyy；（8）222(2)7(2)12xxxx．3．ABC三边a，b，c满足222abcabbcca，试判定ABC的形状．4．分解因式：x2＋x－(a2－a)．专题三一元二次方程【要点回顾】1．一元二次方程的根的判断式一元二次方程20(0)axbxca，用配方法将其变形为：．由于可以用24bac的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把24bac叫做一元二次方程20(0)axbxca的根的判别式，表示为：24bac对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有[1]当Δ0时，方程有两个不相等的实数根：；[2]当Δ0时，方程有两个相等的实数根：；[3]当Δ0时，方程没有实数根．2．一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）定理：如果一元二次方程20(0)axbxca的两个根为12,xx，那么：1212,xxxx说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是0．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，即p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，所以，方程x2＋px＋q＝0可化为x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．因此有以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．【例题选讲】例1判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．（1）x2－3x＋3＝0；（2）x2－ax－1＝0；（3）x2－ax＋(a－1)＝0；（4）x2－2x＋a＝0．例2已知方程2560xkx的一个根是2，求它的另一个根及k的值．例3已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．例4已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．例5若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根．（1）求|x1－x2|的值；（2）求221211xx的值；（3）x13＋x23．一般规律：若x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），则|x1－x2|＝||a（其中Δ＝b2－4ac）．例6若关于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另