小升初奥数专题训练

第一讲数的整除问题数的整除性是数论的基础内容，学生能否熟练掌握该内容对以后进一步深入学习数论至关重要.本讲需要教授的内容有：1、掌握并熟练运用能被2、3、4、5、6、9、11等整除的自然数性质，这类知识在（Ⅰ、Ⅱ类）题中运用很多.2、训练学生对自然数的快速分解，记住并会运用几个特殊数（111、1001等）的分解情况对于解决（Ⅲ类）有很大的帮助.3、自然数乘法末位数规律.4、基础好的学生还应该掌握分式的化简方法.教学目标基本概念和知识点1．整除——约数和倍数一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整数b（b≠0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。记作b︱a。否则，称为a不能被b整除（或b不能整除a）。如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或因数）。2．数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a。性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。3．数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数。②能被5整除的数的特征：个位是0或5。③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数数位上的数字之和与偶数数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。4.部分特殊数的分解111=3×37；1001=7×11×13；11111=41×271；10001=73×137；1995=3×5×7×19；1998=2×3×3×3×37；2007=3×3×223；2008=2×2×2×251；2007+2008=4015=5×11×73;10101=3×7×13×37.【例1】（全国希望杯数学邀请赛）若四位数9a8a能被15整除，则a代表的数字是．【例2】把三位数3ab接连重复地写下去，共写1993个3ab，所得的数33...3(19933)abababab个恰是91的倍数，求ab=？【例3】如果有一个九位数A1999311B能被72整除，试求A、B两数的差(大减小)．例题详解【例4】(2003年祖冲之杯小学数学邀请赛)三个连续自然数的和能被13整除,且三个数中最大的数被9除余4,那么符合条件的最小的三个数是_____,________,_______【例5】要使15ABC6能被36整除，而且所得的商最小，那么A、B、C分别是多少？【例6】求能被26整除的六位数___________1991xy。【例7】(2005年全国小学数学奥林匹克竞赛)如果20052005......200501n个2005能被11整除,那么n最小值是_____.【例8】(1998年香港圣公会小学数学奥林匹克竞赛)一个六位数,前四位是2857,即2857这个六位数能被11和13整除,请你算出后两位数.【例9】(2001年全国华罗庚金杯少年数学邀请赛)在算式中,已知盖住的是一个能被9整除的两位数,☺盖住的是7的倍数,问☺盖住的数是多少?【例10】（香港圣公会小学数学奥林匹克）这个199位整数：19910010010011001位被13除，余数是多少？分数裂项求和方法总结（一）用裂项法求1(1)nn型分数求和分析：因为111nn＝11(1)(1)(1)nnnnnnnn（n为自然数）所以有裂项公式：111(1)1nnnn【例1】求111......101111125960的和。111111()()......()101111125960111060112（二）用裂项法求1()nnk型分数求和分析：1()nnk型。（n,k均为自然数）因为11111()[]()()()nknknnkknnknnknnk所以1111()()nnkknnk【例2】计算11111577991111131315111111111111111()()()()()2572792911211132131511111111111[()()()()()]2577991111131315111[]2515115（三）用裂项法求()knnk型分数求和分析：()knnk型（n,k均为自然数）11nnk＝()()nknnnknnk＝()knnk所以()knnk＝11nnk【例3】求2222......1335579799的和1111111(1)()()......()33557979911999899（四）用裂项法求2()(2)knnknk型分数求和分析：2()(2)knnknk（n,k均为自然数）211()(2)()()(2)knnknknnknknk【例4】计算：4444......13535793959795979911111111()()......()()1335355793959597959797991113979932009603（五）用裂项法求1()(2)(3)nnknknk型分数求和分析：1()(2)(3)nnknknk（n,k均为自然数）1111()()(2)(3)3()(2)()(2)(3)nnknknkknnknknknknk【例5】计算：111......12342345171819201111111[()()......()]3123234234345171819181920111[]3123181920113920520（六）用裂项法求3()(2)(3)knnknknk型分数求和分析：3()(2)(3)knnknknk（n,k均为自然数）311()(2)(3)()(2)()(2)(3)knnknknknnknknknknk【例6】计算：333......1234234517181920111111()()......()1232342343451718191819201112318192011396840（七）用裂项法求复合型分数和（例题略）