第4讲-电磁场的能量与动量

ResearchInstituteofAntennas&RFTechniquesSchoolofElectronicandInformationEngineeringSouthChinaUniversityofTechnology高等电磁场第四讲电磁场的能量与动量电磁场的能量与动量褚庆昕华南理工大学电子与信息学院天线与射频技术研究所Email:[e-mail]ennas&RFTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology第四讲电磁场的能量与动量„Lorentz力„电荷系统的动量与能量„时域Poynting定理„频域Poynting定理„电磁场的动量流张量„电磁场的张力张量第四讲内容第四讲内容ResearchInstituteofAntennas&RFTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology第四讲电磁场的能量与动量”我们说电磁场是作为一种物质形式存在的。衡量物质存在的一个标志是动量和能量，那么如何确定电磁场的动量和能量呢？”通常我们对一种新的能量或动量形态的认识，总是通过它们与其他物质的相互作用来达到。”本讲所讨论的就是通过电磁场与电荷系统的相互作用来认识电磁场的动量和能量的。ResearchInstituteofAntennas&RFTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology第四讲电磁场的能量与动量4.14.1LorentzLorentz力力¾电磁场与带电物质之间有着密切的联系。Maxwell方程反映了电荷和电流（运动的电荷）激发电磁场以及电磁场内部的运动规律，但是，却不能反映电磁场如何反作用于电荷系统。¾Coulomb定律和Ampere定律反映了一定条件下场对电荷系统的作用。¾Coulomb定律：静止的电荷q受到静电场的作用力。FqE=rrResearchInstituteofAntennas&RFTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology第四讲电磁场的能量与动量[Ampere定律]恒定电流元受到磁场作用力¾若电荷为连续分布，其密度为ρ，则电荷系统单位体积所受的力密度为¾Lorentz把上述结果推广为普遍情况下场对电荷系统的作用力，因此上式称为Lorentz力密度公式。¾把上式用于速度为v，电荷为q的带电粒子，则粒子所受的电磁场作用力为¾Lorentz假设这一公式适合任意运动的带电粒子。近代物理学的实践证明了这一假说是正确的。()FqEvB=+×vvvrdFJBdv=×rrr(41)fEJBρ=+×−rrrr称为Lorentz力公式ResearchInstituteofAntennas&RFTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology第四讲电磁场的能量与动量()(42)pdGdvdFmmvdtdtdt===−vvvv4.24.2电荷系统的动量和能量电荷系统的动量和能量¾根据作用力等于动量的时间变化率，有式中Gp为带电粒子的动量，由(4-1)和(4-2)，有()(43)pdGqEvBdt=+×−rvvv¾另一方面，带电粒子的动能21122pWmvmvv==⋅vvResearchInstituteofAntennas&RFTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology第四讲电磁场的能量与动量¾对于电荷密度为ρ，电流密度为的连续分布电荷系统，式(4-3)和(4-4)变为(45)(46)pdgEJBdtdwJEdtρρρρ=+×−=⋅−rvvvvvJvρρ=vv式中，分别为动量密度和能量，即单位体积中的动量和能量。,ppgwr()(44)ppdWdGvvqEqvBqEvdtdt=⋅=⋅+×=⋅−rvvvvvvv于是有ResearchInstituteofAntennas&RFTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology第四讲电磁场的能量与动量5从(4-5)和(4-6)可以看出，若则表明电荷系统得到了动量和能量，而这些动量和能量只能来自电磁场，所以根据动量守恒定律和能量守恒定律，我们可以得到结论：电磁场具有动量和能量00ppdgdwdtdtr，　ResearchInstituteofAntennas&RFTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology第四讲电磁场的能量与动量4.34.3时域时域PoyntingPoynting定理定理¾利用矢量恒等式，有()abbaab∇⋅×=⋅∇×−⋅∇×vvvvvv设媒质非色散，，则0uttε∂∂==∂∂()EHHEEH∇⋅×=⋅∇×−⋅∇×vvvvvv将Maxwell旋度方程代入，可得()BDEHHEJEtt∂∂∇⋅×=−⋅−⋅−⋅∂∂rrvvvvvv()1(47)2EHEJHBEDtt∂∂⎛⎞∇⋅×=−⋅−⋅+⋅−⎜⎟∂∂⎝⎠rvvvvvvvResearchInstituteofAntennas&RFTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology第四讲电磁场的能量与动量1122emfemSEHwEDwHBρσ=×=⋅=⋅=+=+vvvvvvvvvv，，　，，其中，分别为电场能量密度和磁场能量密度为导电媒质中的传导电流为外部电流源JEσσ=vv令Jρvemww和考虑到(4-6)，得()(48)PfSwwEEtσ∂∇⋅=−+−⋅−∂rvvResearchInstituteofAntennas&RFTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology第四讲电磁场的能量与动量上式的积分形式为()2ˆ(49)PfsvvSndswwdvEdvtσ∂−⋅=++−∂∫∫∫v式中，为连续分布电荷系统的能量密度，为电磁场的能量密度，为电磁场的能流密度矢量(功率密度矢量)，称为Poynting矢量。为欧姆损耗功率密度。pwfwSv2Eσv5式(4-9)表明，从闭合面s流入的功率等于s所包围的体积v内总能量（电荷系统的能量和电磁场能量之和）在单位时间内的增加量与v中的损耗功率之和。ResearchInstituteofAntennas&RFTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology第四讲电磁场的能量与动量5如果s面为理想导体面，则(4-9)左边的面积分为0，则v中的损耗功率等于总能量的减小率；如果，则电磁场能量与电荷系统能量相互转换；如果，则电场能量与磁场能量相互转换，即谐振。0σ=0pw=ResearchInstituteofAntennas&RFTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology第四讲电磁场的能量与动量4.44.4频域频域PoyntingPoynting定理定理¾在频域（场量均为频域量），采用与上节类似的方法，可以得到11112(410)2244EHJEjHBEDω∗∗∗∗⎛⎞⎛⎞∇⋅×=−⋅−⋅−⋅−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠vvvvvvvv111,,244mesEHwHBwED∗∗∗=×=⋅=⋅vvvvvvv&&&()12(411)2mesJEjwwω∗∇⋅=−⋅−−−vvv&&&令得到频域Poynting定理()*1ˆ22()2melmesvvsndsJEdvjwwdvPjWWωω−⋅=⋅+−=+−∫∫∫rrr&&&ResearchInstituteofAntennas&RFTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology第四讲电磁场的能量与动量{}{}{}00011ReRe211ReRe411ReRe4TTmmmTeeessdtEHsTwwdtHBwTwwdtEDwT∗∗∗⎧⎫==×=⎨⎬⎩⎭⎧⎫==⋅=⎨⎬⎩⎭⎧⎫==⋅=⎨⎬⎩⎭∫∫∫vvvvv%&vv%&vv%&¾注意：频域Poyinting定理不是时域Poynting定理Fourier变换而来，而是对应于一个周期内能量的平均值。ResearchInstituteofAntennas&RFTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology第四讲电磁场的能量与动量设,jjεεεμμμ′′′′′′=−=−2221111ˆRe()2()(412)2244lsvvEHndsEdvEHdvPσωεμ∗′′′′−×⋅=++=−∫∫∫vv22111ˆIm()2()2()(413)244mevEHndsHEdvWWωμεω∗′′−×⋅=−=−−∫∫vv则耗能为储能为¾对于各向同性媒质ResearchInstituteofAntennas&RFTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology第四讲电磁场的能量与动量5（4-12）表明，进入封闭面s内的实功率（Poynting矢量的时间平均值）等于s面所包围的体积内由传导电流引起的热损耗与媒质中极化阻尼和磁化阻尼引起的损耗功率之和。5（4-13）表明进入封闭面s内的虚功率与s面所包围的体积内磁场储能与电场储能时间平均值之差成正比。ResearchInstituteofAntennas&RFTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology第四讲电磁场的能量与动量5媒质无耗时，耗能为零，所以各向同性媒质的无耗条件为即000(414)σεμ′′′′===−，，()()0Im0Im0(415)mewwσσεεμμ∗∗∗======−，，，　ResearchInstituteofAntennas&RFTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology第四讲电磁场的能量与动量¾对于各向异性媒质设(416)DEHBEHεξζμ=+−=+rrrrrr不失一般性，考虑无源区域，，将上式代入（4-10）并取实部得0J=r1Re()Re[()]21Re[()]21[()()2()())]sjEDBHjEEEHHEHHjEEHEEHHHωωεξζμωεεξζζξμμ∗∗∗∗∗∗∗∗++∗∗∗++∗∗∇⋅=⋅−⋅=⋅+⋅−⋅−⋅=⋅−+⋅−−⋅−−⋅−rrrrr&rrrrrrrrrrrrrrrrResearchInstituteofAntennas&RFTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology第四讲电磁场的能量与动量¾对于无耗媒质，，所以，双各向异性媒质的无耗条件为Re()0s∇⋅=r&εεμμξζ+++===，　，　¾Poynting定理的电路解释考虑图4-1所示的RLC串联电路。图4-1RLC串联电路ResearchInstituteofAntennas&RFTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology第四讲电磁场的能量与动量()222221112211224411122442LmePIIZIIRjLjCIIIIRjIILCCIRjILVCPjWWωωωωωω∗∗∗∗∗⎛⎞==++⎜⎟⎝⎠⎛⎞=+−⎜⎟⎝⎠⎛⎞=+−⎜⎟⎝⎠=+−流入电路的复功率为ResearchInstituteofAntennas&RFTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology第四讲电磁场的能量与动量¾场的互能量¾电磁场的能量和能流不是场的线性函数，所以不满足叠加原理。例如，假设在各向同性非色散媒质中，同时存在两个电场，于是，合成的电场能量密度为12EErr和2212121212111()()222ewEEEEEEEEεεεε=+⋅+=++⋅rrrrrr上式的前两项为两个电场系统的自能量密度，交叉项则代表互能量密度。ResearchInstituteofAntennas&RFTechniquesSouthChinaUn