电路分析第10章-频率响应--多频正弦稳态电路

第十一章频率响应多频正弦稳态电路§11-1基本概念§11-4正弦稳态的叠加§11-5平均功率的叠加§11-6RLC电路的谐振§11-2再论阻抗和导纳§11-3正弦稳态网络函数在正弦交流电路中，由于电感元件的感抗和电容元件的容抗都与频率有关，当电源电压或电流（激励）的频率改变时，感抗和容抗将随着激励的频率的改变而改变，即使激励的大小不变，在电路中各部分所产生的电压和电流（响应）的大小和相位也将发生变化。电路响应随激励频率变化的关系称为电路的频率响应。§11-1基本概念多频正弦稳态电路就是多个不同频率的正弦电源激励下的稳态电路。多频正弦稳态电路的分析仍可采用相量法，但只能逐个频率分别处理，最后再用叠加方法求得结果。一.无源单口网络阻抗的性质+U–·I·N0wZ=UI··=UIu–i=|Z|Z§11-2再论阻抗和导纳阻抗模|Z|可以确定无源单口网络端口上电压有效值与电流有效值的比值关系；由阻抗的辐角Z可以确定端口上电压与电流的相位关系。可见，确定了无源单口网络的阻抗Z，也就确定了无源单口网络在正弦稳态时的表现。同理，确定了无源单口网络的导纳Y，也就确定了无源单口网络在正弦稳态时的表现。解：R1R2ba1jwCjwL[例]电路如图，求ab端输入阻抗。=[R2+1+(wCR1)2R1wCR12]+j[wL–1+(wCR1)2]=R2+jwL+1+(wCR1)2R1–jwCR12=R2+jwL+1+jwCR1R1R1Zab=R2+jwL+jwCR1+jwC1Z(jw)=R(w)+jX(w)阻抗的实部和虚部都是频率的函数。实部称为电阻分量，它并不一定只由网络中的电阻所确定；虚部称为电抗分量，它并不一定只由网络中的动态元件所确定。Z(jw)=R(w)+jX(w)=|Z(jw)|Z(w)Z(w)=arctgR(w)X(w)|Z(jw)|=R2(w)+X2(w)=90˚纯电感性电路=–90˚纯电容性电路=0˚纯电阻性电路0˚90˚电感性–90˚0˚电容性RC电路：对所有频率都是电容性电路。RL电路：对所有频率都是电感性电路。RLC电路：某些频率是电容性；某些频率是电感性；某些频率是纯电阻性（谐振状态）。LC电路：对某些频率是纯电感性；对某些频率是纯电容性。·IN0+–·U网络阻抗分析：Z(jw)=R(w)+jX(w)=|Z(jw)|Z(w)阻抗的模|Z|和辐角Z都是频率的函数。根据网络的输入阻抗Z(jw)，即可确定单口网络在各个不同频率下的正弦稳态表现。因此，单口网络的阻抗函数Z(jw)可用于研究该网络的频率响应。输入阻抗Z(jw)可看作激励电流10˚A所产生的电压响应。·IN0+–·UZ(w)=arctgR(w)X(w)|Z(jw)|=R2(w)+X2(w)Z=UI··=UIu–i=|Z|Z|Z(jw)|——幅频特性(w)——相频特性频率特性Z与频率w的关系称为阻抗的频率特性。|Z|与频率w的关系称为阻抗的幅频特性。与频率w的关系称为阻抗的相频特性。幅频特性和相频特性通常用曲线表示。Z(jw)=R(w)+jX(w)=|Z(jw)|Z(w)·IN0+–·UCR+u1–+u2–幅频特性0.707|Au|1ωCω0（b）相频特性ωC0-π/4-π/2ω二.无源单口网络导纳的性质Y=IU··=IUi–u=|Y|YY(jw)=G(w)+jB(w)Y(jw)=|Y(jw)|Y(w)Y=90˚纯电容性电路Y=–90˚纯电感性电路Y=0˚纯电阻性电路0˚Y90˚电容性0˚Y–90˚电感性输入导纳Y(jw)可看作激励电压10˚V所产生的电流响应。Y=1Z=1–Z=|Y|Y|Z|·IN0+–·U阻抗与导纳的关系1.定义：单一激励时，响应相量与激励相量之比称为网络函数。网络函数H(jw)=响应相量激励相量2.策动点函数：同一对端钮上响应相量与激励相量的比称为策动点函数或称驱动点函数。+U1–·I1·N0w+U1–·I1·N0w策动点函数§11-3正弦稳态网络函数网络函数H策动点函数转移函数策动点阻抗11IUZn策动点导纳11UIYn3.转移函数：不同对端钮上响应相量与激励相量的比叫转移函数。根据指定响应相量与激励相量的不同，转移函数分为以下四种：(1)转移阻抗(2)转移导纳12IUZT12UIYTZL+U2–·I1·N0wZL+U1–·I2·N0w(3)电压转移函数(4)电流转移函数ZL+U1–·N0w+U2–·12UUAuI2·ZL+U2–·I1·N0w12IIAi策动点函数转移函数网络函数H(jw)=|H(jw)|(w)|H(jw)|——幅频特性(w)——相频特性频率特性4.网络函数的求法根据相量模型，可选择用串联分压，并联分流，支路电流法，节点分析法，网孔分析法，叠加原理，戴维南定理和诺顿定理等等各种方法。电感或电容元件对不同频率的信号具有不同的阻抗，利用感抗或容抗随频率而改变的特性构成四端网络，有选择地使某一段频率范围的信号顺利通过或者得到有效抑制，这种网络称为滤波电路。5.滤波电路下面以RC电路组成的滤波电路为例说明求网络函数和分析电路频率特性的方法。低通滤波电路可使低频信号较少损失地传输到输出端，高频信号得到有效抑制。低通滤波电路u1是输入信号电压，u2是输出信号电压，两者都是频率的函数。RjwC1+U1–·+U2–·CR+u1–+u2–电压转移函数=Au=U2·U1·jwC1R+jwC1=1+jwCR1=11+(wCR)2–arctgwCR低通滤波电路|Au|=11+(wCR)2幅频特性相频特性=–arctgwCR=Au=U2·U1·jwC1R+jwC1=1+jwCR1幅频特性0.707|Au|1ωCω0幅频特性曲线表明此RC电路具有低通特性。|Au|=11+(wCR)2w=0时，|Au|=1，电容阻抗无穷大幅频特性w=∞时，|Au|=0，电容阻抗等于0当w=wC=RC1=t1时U1U2=12=0.707输出电压为最大输出电压的0.707倍wC称为截止频率，0~wC为低通网络的通频带。CR+u1–+u2–（b）相频特性ωC0-π/4-π/2ω相频特性说明输出电压总是滞后于输入电压的，因此，这一RC电路又称为滞后网络。|Au|=11+(wCR)2幅频特性w=0时，=0相频特性w=∞时，=–90˚=–arctgwCR当w=wC=RC1=t1时，=–45˚0.707|Au|1ωCω0（a）幅频特性230wtuUm(a)20wtuUm4(b)20wtuUm(c)几种非正弦周期电压的波形20wtuUm（d）以非正弦规律作周期变化的电压、电流称为周期性非正弦电压、电流。§11-4正弦稳态的叠加一切满足狄里赫利条件的周期函数都可以展开为傅里叶三角级数。设周期函数为f(wt),其角频率为w,可以分解为下列傅里叶级数：f(wt)=A0+A1mcos(wt+1)+A2mcos(2wt+2)+······=A0+Akmcos(kwt+k)k=1式中，A0不随时间变化，称为恒定分量或直流分量，也就是一个周期内的平均值:∫0Tf(t)dt=1TA0=∫02f(wt)d(wt)12—式中,第二项A1mcos(wt+1)的频率与非正弦周期函数的频率相同,称为基波或一次谐波;其余各项的频率为周期函数的频率的整数倍,分别称为二次谐波、三次谐波等等。)5sin513sin31(sinπ4mtttUu)3sinπ312sinπ21sinπ121(mtttUu)5sin2513sin91(sinπ82mtttUu几种非正弦周期电压的傅里叶级数的展开式矩形波电压矩齿波电压三角波电压从上面几个式子可以看出傅里叶级数具有收敛性。0wt2Umu0wt24Umu0wt2Umu矩形波锯齿波三角波2wtUm0uu(t)=4Um(sinwt+sin3wt+sin5wt+······)13基波分量u1三次谐波u3五次谐波u5u1+u3u1+u3+u5例如，矩形波电压可以分解为：15设非正弦周期电压u可分解成傅里叶级数u=U0+U1mcos(wt+1)+U2mcos(2wt+2)+······,它的作用就和一个直流电压源及一系列不同频率的正弦电压源串联起来共同作用在电路中的情况一样。RLCuuRuLuCiRLCu1uRuLuCiu2U0非正弦周期信号的谐波分析法RLCu1uRuLuCiu2U0图中,u1=U1mcos(wt+1)u2=U2mcos(2wt+2)······这样的电源接在线性电路中所引起的电流,可以用叠加原理来计算，即分别计算电压的恒定分量U0和各次正弦谐波分量u1、u2······单独存在时，在某支路中产生的电流分量I0、i1、i2······而后把它们的瞬时值加起来，其和即为该支路的电流，即i=I0+i1+i2+······uRL=5HC10FuR2k例：已知图中电压u=10+12.73coswt+4.24cos3wtV角频率w=314rad/s，试求:uR、UR、P。u=10+12.73coswt+4.24cos3wtV式中w=2f=314rad/s解：(1)直流分量U0单独作用时jwL=j3145=j1570=U0+u1+u3UR0=U0=10V(2)基波分量u1单独作用时电感L视为短路，电容C视为开路。ZRC1=————1+jwCRR+1/jwCR/jwC=————=314.5–80.95°RUR1m=—————=——————12.73ZRC1+jwLZRC1U1m..314.5–80.95°126087.75°=3.18–168.7°VuR1=3.18cos(314t–168.7)V(3)三次谐波分量u3单独作用时j3wL=j33145=j4710ZRC3=————1+j3wCRR+1/j3wCR/j3wC=————=106–86.96°RUR3m=—————=—————–4.24ZRC3+j3wLZRC3U3m..106–86.96°460489.93°=0.1–176.9°VuRL=5HC10FuR2kuR3=0.1cos(942t–176.9)V瞬时值：uR=UR0+uR1+uR3+······有效值：UR=UR0+UR1+UR3222有功功率：P=PR=UR/R=0.053W212=102+–(3.182+0.12)=10.25V=10+3.18cos(314t–168.7)+0.1cos(942t–176.9)+······V因为谐波的频率越高，幅值越小，通常可取前几项来计算有效值。P=P0+P1+P2+=P0+Pkk=1或∫0Ti2dt1TI=依据周期电流有效值定义:非正弦周期信号的有效值若某一非正弦周期电流已分解成傅里叶级数i(t)=I0+Ikmcos(kwt+k)k=1=I0+I1mcos(wt+1)+I2mcos(2wt+2)+…i2(t)=[I0+I1mcos(wt+1)+I2mcos(2wt+2)+…]2Inm2cos2(nwt+n)和Inmcos(nwt+n)Immcos(mwt+m)上式展开后只有四种可能形式：I02I0Inmcos(nwt+n)下面分析后两种可能形式的积分T1∫T0Inmcos(nwt+n)Immcos(mwt+m)dtT1∫T012=InmImm[cos(nwt+n+mwt+m)+cos(nwt+n-mwt-m)]dt=0I=I02+12I1m2+12I2m2+…I02+I12+I22+…I=U02+U12+U22+…U=T1∫T0Inm2cos2(nwt+n)dtT1∫T0Inm2Inm2[cos2(nwt+n)+1]dt=1212=非正弦周期电压的有效值为非正弦周期电流的有效值为u=15+10coswt+5cos3wtV，i=2+1.5