2015年江苏高考数学答案详细解析版

1一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.已知集合3,2,1A，5,4,2B，则集合BA中元素的个数为_______.【答案】5【解析】试题分析：{123}{245}{12345}5AB，，，，，，，，，个元素考点：集合运算2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________.【答案】6考点：平均数3.设复数z满足234zi（i是虚数单位），则z的模为_______.【答案】5【解析】试题分析：22|||34|5||5||5zizz考点：复数的模4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为________.【答案】7S←1I←1WhileI10S←S＋2I←I＋3EndWhilePrintS（第4题图）2【解析】试题分析：第一次循环：3,4SI;第二次循环：5,7SI;第三次循环：7,10SI;结束循环，输出7.S考点：循环结构流程图5.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.【答案】5.6考点：古典概型概率6.已知向量a=)1,2(，b=)2,1(,若ma+nb=)8,9((Rnm,),nm的值为______.【答案】3【解析】[来源:学科网ZXXK]试题分析：由题意得：29,282,5,3.mnmnmnmn考点：向量相等7.不等式224xx的解集为________.【答案】(1,2).【解析】试题分析：由题意得：2212xxx，解集为(1,2).考点：解指数不等式与一元二次不等式8.已知tan2，1tan7，则tan的值为_______.【答案】3【解析】试题分析：12tan()tan7tantan()3.21tan()tan17考点：两角差正切公式39.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为【答案】7【解析】试题分析：由体积相等得：22221145+28=48733rrr考点：圆柱及圆锥体积10.在平面直角坐标系xOy中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012Rmmymx相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为【答案】22(1)2.xy考点：直线与圆位置关系11.数列}{na满足11a，且11naann（*Nn），则数列}1{na的前10项和为【答案】2011【解析】试题分析：由题意得：112211(1)()()()1212nnnnnnnaaaaaaaann所以1011112202(),2(1),11111nnnSSannnn考点：数列通项，裂项求和12.在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线122yx右支上的一个动点。若点P到直线01yx的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为[来源:学#科#网Z#X#X#K]【答案】22【解析】试题分析：设(,),(1)Pxyx，因为直线10xy平行于渐近线0xy，所以c的最大值为直线10xy与渐近线0xy之间距离，为12.224考点：双曲线渐近线，恒成立转化13.已知函数|ln|)(xxf，1,2|4|10,0)(2xxxxg，则方程1|)()(|xgxf实根的个数为【答案】4考点：函数与方程14.设向量)12,,2,1,0)(6cos6sin,6(coskkkkak，则1110()kkkaa的值为【答案】93【解析】试题分析：20111(1)(1)(1)(cos,sincos)(cos,sincos)666666kkkkkkkkaa2(1)3321(21)cossincoscossincos66664626kkkkk因此11103312934kkkaa考点：向量数量积，三角函数性质[来源:学_科_网Z_X_X_K]二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分14分）在ABC中，已知60,3,2AACAB.（1）求BC的长；（2）求C2sin的值.【答案】（1）7（2）437【解析】5考点：余弦定理，二倍角公式16.（本题满分14分）如图，在直三棱柱111CBAABC中，已知BCAC，1CCBC，设1AB的中点为D，EBCCB11.求证：（1）CCAADE11//平面；[来源:学科网]（2）11ABBC.【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】试题分析：（1）由三棱锥性质知侧面11BBCC为平行四边形,因此点E为1BC的中点，从而由三角形中位线性质得//DEAC，再由线面平行判定定理得CCAADE11//平面（2）因为直三棱柱111CBAABC中1CCBC，所以侧面11BBCC为正方形，因此11BCBC，又BCAC，1ACCC（可由直三棱柱推导），6因此由线面垂直判定定理得11ACBBCC平面,从而1ACBC，再由线面垂直判定定理得11BCABC平面,进而可得11ABBC考点：线面平行判定定理，线面垂直判定定理17.（本小题满分14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为12ll，，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到12ll，的距离分别为5千米和40千米，点N到12ll，的距离分别为20千米和2.5千米，以12ll，所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数2ayxb（其中a，b为常数）模型.7（1）求a，b的值；（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.①请写出公路l长度的函数解析式ft，并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.【答案】（1）1000,0;ab（2）①6249109(),4fttt定义域为[5,20]，②min102,()153tft千米（2）①由（1）知，21000yx（520x），则点的坐标为21000,tt，设在点处的切线l交x，y轴分别于，点，32000yx，8考点：利用导数求函数最值，导数几何意义18.（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆222210xyabab的离心率为22，且右焦点F到左准线l的距离为3.（1）求椭圆的标准方程；（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.【答案】（1）2212xy（2）1yx或1yx．9（2）当x轴时，2，又C3，不合题意．当与x轴不垂直时，设直线的方程为1ykx，11,xy，22,xy，将的方程代入椭圆方程，得2222124210kxkxk，则221,2222112kkxk，C的坐标为2222,1212kkkk，且222222121212221112kxxyykxxk．若0k，则线段的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意．从而0k，故直线C的方程为222121212kkyxkkk，则点的坐标为22522,12kkk，从而2222311C12kkkk．因为C2，所以2222223114211212kkkkkk，解得1k．此时直线方程为1yx或1yx．10考点：椭圆方程，直线与椭圆位置关系19.（本小题满分16分）已知函数),()(23Rbabaxxxf.（1）试讨论)(xf的单调性；（2）若acb（实数c是a与无关的常数），当函数)(xf有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是),23()23,1()3,(，求c的值.【答案】（1）当0a时，fx在,上单调递增；当0a时，fx在2,3a，0,上单调递增，在2,03a上单调递减；当0a时，fx在,0，2,3a上单调递增，在20,3a上单调递减．（2）1.c11考点：利用导数求函数单调性、极值、函数零点20.（本小题满分16分）设1234,,,aaaa是各项为正数且公差为d(0)d的等差数列（1）证明：31242,2,2,2aaaa依次成等比数列；（2）是否存在1,ad，使得2341234,,,aaaa依次成等比数列，并说明理由；[来源:学科网ZXXK]（3）是否存在1,ad及正整数,nk，使得knknknnaaaa342321,,,依次成等比数列，并说明理由.12【答案】（1）详见解析（2）不存在（3）不存在（2）令1ada，则1a，2a，3a，4a分别为ad，a，ad，2ad（ad，2ad，0d）．假设存在1a，d，使得1a，22a，33a，44a依次构成等比数列，则34aadad，且6422adaad．令dta，则3111tt，且64112tt（112t，0t），化简得32220tt（），且21tt．将21tt代入（）式，21212313410tttttttt，则14t．显然14t不是上面方程得解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在1a，d，使得1a，22a，33a，44a依次构成等比数列．（3）假设存在1a，d及正整数n，k，使得1na，2nka，23nka，34nka依次构成等比数列，则221112nknknaadad，且32211132nknknkadadad．13分别在两个等式的两边同除以21nka及221nka，并令1dta（13t，0t），则22121nknktt，且32211312nknknkttt．将上述两个等式两边取对数，得2ln122ln1nktnkt，且ln13ln1322ln12nktnktnkt．化简得2ln12ln12ln1ln12kttntt，且3ln13ln13ln1ln13kttntt．再将这两式相除，化简得ln13ln123ln12ln14ln13ln1tttttt（）．令4ln13ln1ln13ln123ln12ln1gttttttt，则222213ln13312ln1231ln111213ttttttgtttt．令22213ln13312ln1231ln1ttttttt，则613ln13212ln121ln1ttttttt．令1