全国181套中考数学试题分类汇编42解直角三角形和应用

42：解直角三角形和应用一、选择题1.（浙江宁波3分）如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为，那么滑梯长l为(A)sinh(B)tanh(C)cosh(D)sinh【答案】A。【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），三角函数定义。【分析】由已知转化为解直角三角形问题，角的正弦等于对边比斜边求出滑梯长l：∵sinhl，∴sinhl。故选A。2.（广西北海3分）如图所示，渔船在A处看到灯塔C在北偏东60º方向上，渔船向正东方向航行了12海里到达B处，在B处看到灯塔C在正北方向上，这时渔船与灯塔C的距离是A．123海里B．63海里C．6海里D．43海里【答案】D。【考点】解直角三角形，特殊角的三角函数值。【分析】由已知，可知∠ABC＝90º，∠BAC＝30º，AB＝12，所以BC＝3ABtanBAC12433，故选D。3.（湖南衡阳3分）如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：3，堤高BC=5cm，则坡面AB的长是A、10mB、103mC、15mD、53m【答案】A。【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数，含30度角直角三角形的性质。【分析】河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：3，即BC3AC3=，∴∠BAC=30°，∴AB=2BC=2×5=10。故选A。4.（山东滨州3分）在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝72°，AB＝10，则边AC的长约为（精确到0.1）A、9.1B、9.5C、3.1D、3.5【答案】C。【考点】解直角三角形。【分析】在Rt△ABC中，根据三角函数的定义有cosA＝ACAB，∴AC＝AB•cosA＝10·cos72°≈3.1。故选C。5.（山东东营3分）河堤横断面如图所示．堤高BC=5，迎水坡AB的坡比是1:3(坡比是坡面的铅直高度BC与水乎宽度AC之比)．则AC的长是A，53米8．10米C.15米D．103米【答案】A。【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数定义。【分析】由已知BC：AC＝1:3，即tanA＝1:3；由正切函数的定义，tanA＝BCAC，而BC=5米，从而AC＝BCtanA＝53米。故选A。6.（山东潍坊3分）身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加风筝比赛，四人放出风筝的线长、线与地面夹角如表（假设风筝线是拉直的），则四名同学所放的风筝中最高的是.同学甲乙丙丁放出风筝线长140m100m95m90m线与地面夹角30°45°45°60°A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】D。【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），特殊角的三角函数，无理数的大小比较。【分析】根据题意画出图形，分别利用解直角三角形的知识求出风筝的高再进行比较即可：如图，甲中，AC=140，∠C=30°，AB=140×sin30°=70=4900；乙中，DF=100，∠C=45°，DE=100×sin45°=502=5000；丙中，GI=95，∠I=45°，GH=95×sin45°=9522=4512.5；丁中，JL=90，∠C=60°，JK=90×sin60°=453=6075。∵4512.5＜4900＜5000＜6075，∴GH＜AB＜DE＜JK。可见丁同学所放的风筝最高。故选D。7.（湖北荆门3分）在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则sinB的值是A.51714B.35C.217D.2114【答案】D。【考点】解直角三角形，锐角三角函数定义，勾股定理。【分析】作CD⊥BD，交BA的延长线于D，∵∠A=120°，AB=4，AC=2，∴∠DAC=60°，∠ACD=30°。∴2AD=AC=2。∴AD=1，CD=3。∴BD=5，∴BC=27。∴sinB=CD321BC1427。故选D。8.（内蒙古乌兰察布4分）某厂家新开发的一种电动车如图，它的大灯A射出的光线AB,AC与地面MN所夹的锐角分别为80和100，大灯A与地面离地面的距离为lm则该车大灯照亮地面的宽度BC是▲m.（不考虑其它因素）【答案】75。【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为点D。由锐角三角函数定义，得BC＝BD－CD＝00ADAD2877AD71tan8tan10555===。9.（四川绵阳3分）周末，身高都为1.6米的小芳、小丽来到溪江公园，准备用她们所学的知识测算南塔的高度．如图，小芳站在A处测得她看塔顶的仰角为45，小丽站在B处（A、B与塔的轴心共线）测得她看塔顶的仰角为30．她们又测出A、B两点的距离为30米．假设她们的眼睛离头顶都为10cm，则可计算出塔高约为（结果精确到0.01，参考数据：2≈1.414，3≈1.732）A．36.21米B．37.71米C．40.98米D．42.48米【答案】D。【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题）【分析】：已知小芳站在A处测得她看塔顶的仰角α为45°，小丽站在B处（A、B与塔的轴心共线）测得她看塔顶的仰角β为30°，A、B两点的距离为30米．假设她们的眼睛离头顶都为10cm，所以设塔高为x米，则得：1.60.13 tan301.60.1303xx，解得：x≈42.48。故选D。10.（青海西宁3分）某水坝的坡度i＝1:3，坡长AB＝20米，则坝的高度为A．10米B．20米C．40米D．203米【答案】A。【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），勾股定理。【分析】如图：∵坡度i=1：3，∴设AC=x，BC=3x，根据勾股定理得，AC2+BC2=AB2，则x2+（3x）2=202，解得x=10。故选A。11.（贵州毕节3分）如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为200，若楔子沿水平方向前移8cm(如箭头所示)，则木桩上升了BAA、20tan8B、20tan8C、20sin8D、20cos8【答案】A。【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题）。【分析】根据已知，运用直角三角形和三角函数得到上升的高度为：8tan20°。故选A。二、填空题1.（天津3分）如图，AD，AC分别是⊙O的直径和弦．且∠CAD=30°．OB⊥AD，交AC于点B．若OB=5，则BC的长等于▲。【答案】5。【考点】解直角三角形，直径所对圆周角的性质。【分析】∵在Rt△ABO中，00OB5OB5AO53,AB10tanCADtan30sinCADsin30C，∴AD=2AO=103。连接CD，则∠ACD=90°。∵在Rt△ADC中，0ACADcosCAD103cos3015，∴BC=AC－AB=15－10=5。2．（重庆潼南4分）如图，某小岛受到了污染，污染范围可以大致看成是以点O为圆心，AD长为直径的圆形区域，为了测量受污染的圆形区域的直径，在对应⊙O的切线BD（点D为切点）上选择相距300米的B、C两点，分别测得∠ABD=30°，∠ACD=60°，则直径AD=▲米．（结果精确到1米）（参考数据：21.414,31.732）【答案】260。【考点】解直角三角形的应用，特殊角的三角函数值，锐角三角函数定义，解分式方程。【分析】设CD=x，则由∠ADC=90°，∠ACD=60°可得AC=2x，AD=3x，由BC=300，得BD=300＋x，在Rt△ABD中，tinB=AD3BD300xx，∴333300xx，解并检验得：x=150。∴AD=3x=31501.732150259.8260（米）。故答案为：260米．3.（浙江义乌4分）右图是市民广场到解百地下通道的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示地下通道、市民广场电梯口处地面的水平线，∠ABC=135°，BC的长约是25m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是▲m．【答案】5。【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题）。【分析】过点C作AB的延长线的垂线CE，即乘电梯从点B到点C上升的高度h，∵已知∠ABC=135°，∴∠CBE=180°－∠ABC=45°。∴CE=BC•sin∠CBE=52·sin45°=25252。∴h=5。4.（湖南岳阳3分）如图，在顶角为30°的等腰三角形ABC中，AB=AC，若过点C作CD⊥AB于点D，则∠BCD=15°．根据图形计算tan15°=▲．【答案】23。【考点】解直角三角形，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义。【分析】由已知设AB=AC=2x，∵∠A=30°，CD⊥AB，∴CD=12AC=x，则AD2=AC2﹣CD2=（2x）2﹣x2=3x2。∴AD=3x。∴BD=AB﹣AD=2x﹣3x=（2﹣3）x，∴tan15°=23BD23CDx==x。5.（湖南株洲3分）如图，孔明同学背着一桶水，从山脚A出发，沿与地面成30角的山坡向上走，送水到山上因今年春季受旱缺水的王奶奶家（B处），AB=80米，则孔明从A到B上升的高度BC是▲米．【答案】40。【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），含30°的角的直角三角形的性质。【分析】根据题意将实际问题转化为关于解直角三角形的问题，利用“直角三角形中30°的角所对的直角边是斜边的一半”即可求得BC=80×12=40米。6.（江苏南通3分）如图，为了测量河宽AB(假设河的两岸平行)，测得∠ACB＝30°，∠ADB＝60°，CD＝60m，则河宽AB为▲m(结果保留根号)．【答案】A。【考点】解直角三角形，特殊角三角函数，二次根式计算。【分析】在Rt∆ABD和Rt∆ABC中ABABtanADBtanACBDBCB，00ABABAB3AB3ABtan60tan303AB60DB60DBDB360DB333AB603AB2AB603AB303，，。7.（广东茂名3分）如图，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=▲米．【答案】100。【考点】解直角三角形的应用。【分析】∵在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，∴船与观测者之间的水平距离BC=AC=100米。8.（湖北襄阳3分）在207国道襄阳段改造工程中，需沿AC方向开山修路（如图所示），为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从AC上的一点B取∠ABD=140°，BD=1000m，∠D=50°．为了使开挖点E在直线AC上，那么DE=▲m．（供选用的三角函数值：sin50°=0.7660，cos50°=0.6428，tan50°=1.192）【答案】642.8。【考点】解直角三角形的应用，平角定义，三角形内角和定理，锐角三角函数定义。【分析】先判断出△BED的形状，再根据锐角三角函数的定义解答即可：∵∠ABD=140°，∴∠DBE=180°﹣140°=40°。∵∠D=50°，∴∠E=180°﹣∠DBE﹣∠D=180°﹣40°﹣50°=90°。∴DE=BD·cos∠D=1000×cos50°=1000×0.6428=642.8（m）。9.（湖北黄冈、鄂州3分）如图，在△ABC中E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC=12，则S△ADF﹣S△BEF=▲．【答案】2。【考点】三角形的面积。【分析】∵点D是AC的中点，S△ABC=12，∴S△ABD=12×12=6。∵EC=2BE，S△ABC=12，∴S△ABE=13×12=4。∴S△ADF﹣S△BEF=S△ABD﹣S△ABE=6﹣4=2。10.（甘肃兰州4分）某水库大坝的横截面是梯形，坝内斜坡的坡度i=1：3，坝外斜坡的坡度i=1：1，则两个坡角的和为▲．【答案】75°。【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），坡度计算，特殊角的三角函数值。【分析】坝内斜坡的坡度i=1：3，说明tga=，则a=30°