2015年全国中考数学试卷分类汇编专题35尺规作图

第1页共22页2015年全国中考数学试卷分类汇编专题35尺规作图一.选择题1.(2015•浙江衢州,第7题3分)数学课上,老师让学生尺规作图画,使其斜边,一条直角边.小明的作法如图所示,你认为这种作法中判断是直角的依据是【】A.勾股定理B.直径所对的圆周角是直角C.勾股定理的逆定理D.90°的圆周角所对的弦是直径【答案】B.【考点】尺规作图(复杂作图);圆周角定理.【分析】小明的作法是:①取,作的垂直平分线交于点;②以点为圆心,长为半径画圆;③以点为圆心,长为半径画弧,与交于点;④连接.则即为所求.从以上作法可知,是直角的依据是:直径所对的圆周角是直角.故选B.2.(2015•浙江嘉兴,第9题4分)数学活动课上,四位同学围绕作图问题:“如图,已知直线l和l外一点P,用直尺和圆规作直线PQ,使PQ⊥l与点Q.”分别作出了下列四个图形.其中做法错误的是(▲)第2页共22页[ww~w.考点:作图—基本作图..分析:A､根据作法无法判定PQ⊥l;B､以P为圆心大于P到直线l的距离为半径画弧,交直线l,于两点,再以两点为圆心,大于它们的长为半径画弧,得出其交点,进而作出判断;C､根据直径所对的圆周角等于90°作出判断;D､根据全等三角形的判定和性质即可作出判断.解答:解:根据分析可知,选项B､C､D都能够得到PQ⊥l于点Q;选项A不能够得到PQ⊥l于点Q.故选:A.点评:此题主要考查了过直线外以及过直线上一点作已知直线的垂线,熟练掌握基本作图方法是解题关键.3.(2015•山东潍坊第9题3分)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,按如下步骤作图:第一步,分别以点A､D为圆心,以大于AD的长为半径在AD两侧作弧,交于两点M､N;第二步,连接MN分别交AB､AC于点E､F;第三步,连接DE､DF.若BD=6,AF=4,CD=3,则BE的长是()第3页共22页A.2B.4C.6D.8考点:平行线分线段成比例;菱形的判定与性质;作图—基本作图..分析:根据已知得出MN是线段AD的垂直平分线,推出AE=DE,AF=DF,求出DE∥AC,DF∥AE,得出四边形AEDF是菱形,根据菱形的性质得出AE=DE=DF=AF,根据平行线分线段成比例定理得出=,代入求出即可.解答:解:∵根据作法可知:MN是线段AD的垂直平分线,∴AE=DE,AF=DF,∴∠EAD=∠EDA,∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,∴∠EDA=∠CAD,∴DE∥AC,同理DF∥AE,∴四边形AEDF是菱形,∴AE=DE=DF=AF,∵AF=4,∴AE=DE=DF=AF=4,∵DE∥AC,∴=,∵BD=6,AE=4,CD=3,∴=,∴BE=8,第4页共22页故选D.点评:本题考查了平行线分线段成比例定理,菱形的性质和判定,线段垂直平分线性质,等腰三角形的性质的应用,能根据定理四边形AEDF是菱形是解此题的关键,注意:一组平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.4.(2015•山东潍坊第9题3分)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,按如下步骤作图:第一步,分别以点A､D为圆心,以大于AD的长为半径在AD两侧作弧,交于两点M､N;第二步,连接MN分别交AB､AC于点E､F;第三步,连接DE､DF.若BD=6,AF=4,CD=3,则BE的长是()A.2B.4C.6D.8考点:平行线分线段成比例;菱形的判定与性质;作图—基本作图..分析:根据已知得出MN是线段AD的垂直平分线,推出AE=DE,AF=DF,求出DE∥AC,DF∥AE,得出四边形AEDF是菱形,根据菱形的性质得出AE=DE=DF=AF,根据平行线分线段成比例定理得出=,代入求出即可.解答:解:∵根据作法可知:MN是线段AD的垂直平分线,∴AE=DE,AF=DF,∴∠EAD=∠EDA,∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,∴∠EDA=∠CAD,∴DE∥AC,同理DF∥AE,∴四边形AEDF是菱形,第5页共22页∴AE=DE=DF=AF,∵AF=4,∴AE=DE=DF=AF=4,∵DE∥AC,∴=,∵BD=6,AE=4,CD=3,∴=,∴BE=8,故选D.点评:本题考查了平行线分线段成比例定理,菱形的性质和判定,线段垂直平分线性质,等腰三角形的性质的应用,能根据定理四边形AEDF是菱形是解此题的关键,注意:一组平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.二.填空题1､(2015•四川自贡,第15题4分)如图,将线段放在边长为1的小正方形网格,点ABA点均落在格点上,请用无刻度直尺在线段上画出点,BABP使,并保留作图痕迹.217AP3考点:矩形､正方形的性质､勾股定理､相似三角形的性质和判定.分析:本题根据勾股定理可求出在网格中的,由于网格线中的对边平行,所2AB4117以找点较容易,只需连接一对角线与的交点就满足(见图);根据的是平行线ABP217AP3所截得相似三角形的对应边成比例,所以,则.AP2PBAP2AB32217APAB33略解:见图作法.BA15题PBA15题第6页共22页2.(2015•北京市,第16题,3分)阅读下面材料:在数学课上,老师提出如下问题:小芸的作法如下:老师说:“小芸的作法正确.”请回答:小芸的作图依据是_________________________.【考点】点､线【难度】容易【答案】到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上;两个点确定一条直线｡【点评】本题考查线段的基本概念｡三.解答题1.(2015山东济宁,19,8分)(本题满分8分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠DAC是△ABC的一个外角.实践与操作:尺规作图：作一条线段的垂直平分线．已知：线段AB．如图，（1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C、D两点；（2）作直线CD第7页共22页根据要求尺规作图,并在图中标明相应字母(保留作图痕迹,不写作法).(1)作∠DAC的平分线AM;(2)作线段AC的垂直平分线,与AM交于点F,与BC边交于点E,连接AE､CF.猜想并证明:判断四边形AECF的形状并加以证明.【答案】试题解析:(1)第8页共22页(2)猜想:四边形AECF是菱形证明:∵AB=AC,AM平分∠CAD∴∠B=∠ACB,∠CAD=2∠CAM∵∠CAD是△ABC的外角∴∠CAD=∠B+∠ACB∴∠CAD=2∠ACB∴∠CAM=∠ACB∴AF∥CE∵EF垂直平分AC∴OA=OC,∠AOF=∠COE=∴AOF≌△COE∴AF=CE在四边形AECF中,AF∥CE,AF=CE∴四边形AECF是平行四边形又∵EF⊥AC∴四边形AECF是菱形考点:角平分线,线段的垂直平分线的基本作图,等腰三角形的内外角,三角形全等,菱形的判定2.(2015•广东省,第19题,6分)如图,已知锐角△ABC.(1)过点A作BC边的垂线MN,交BC于点D(用尺规作图法,保留作图痕迹,不要求写作法);【答案】解:(1)作图如答图所示,AD为所作.第9页共22页【考点】尺规作图(基本作图)【分析】(1)①以点A为圆心画弧交BC于点E､F;②分别以点E､F为圆心,大于长为半径画弧,两交于点G;12EF③连接AG,即为BC边的垂线MN,交BC于点D.3.(2015•浙江杭州,第21题10分)“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形,记这些三角形的三边分别为a,b,c,并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度(1)用记号(a,b,c)(a≤b≤c)表示一个满足条件的三角形,如(2,3,3)表示边长分别为2,3,3个单位长度的一个三角形,请列举出所有满足条件的三角形(2)用直尺和圆规作出三边满足abc的三角形(用给定的单位长度,不写作法,保留作图痕迹)位位位位【答案】解:(1)(2,2,2),(2,2,3),(2,3,3),(2,3,4),(2,4,4),(3,3,3),(3,3,4),(3,4,4),(4,4,4).(2)由(1)可知,只有(2,3,4),即时满足abc.2,3,4abc如答图的即为满足条件的三角形.ABC第10页共22页【考点】三角形三边关系;列举法的应用;尺规作图.【分析】(1)应用列举法,根据三角形三边关系列举出所有满足条件的三角形.(2)首先判断满足条件的三角形只有一个:,再作图:2,3,4abc①作射线AB,且取AB=4;②以点A为圆心,3为半径画弧;以点B为圆心,2为半径画弧,两弧交于点C;③连接AC､BC.则即为满足条件的三角形.ABC4.(2015•甘肃兰州,第22题,5分)如图,在图中求作⊙P,使⊙P满足以线段MN为弦,且圆心P到∠AOB两边的距离相等(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹,并把作图痕迹用黑色签字笔加黑)｡【考点解剖】本题考查线段垂直平分线的性质,角平分线的性质,基本作图第11页共22页【知识准备】角平分线上的点到角两边的距离相等,线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等【思路点拔】MN是⊙P的弦,那么圆心P到弦的两个端点的距离相等,所以圆心P在线段MN的垂直平分线上;圆心P到∠AOB两边的距离相等,则P在∠AOB的角平分线上,所以,圆心P在线段MN的垂直平分线和∠AOB的角平分线的交点｡【解答过程】作线段MN的垂直平分线;l作∠AOB的角平分线,并记之与的交点为P;l以P为圆心,PM为半径作圆,则⊙P为所求图形｡【易错点津】无论是否要求写出作图过程,千万不要漏写结论｡在书写结论时,一定要写明哪个图形是所求作的图形,是哪一条线段?还是哪个角?或者是哪个点等,千万不要笼统地说“如图为所求图形”｡例如在本题中,所求的图形是一个圆,那么结论就应该很明确地说“⊙P为所求图形”｡【题目星级】★★★★5.(2015•浙江省台州市,第24题)定义:如图1,点M,N把线段AB分割成AM,MN和BN,若以AM,MN,BN为边的三角形是一个直角三角形,则称点M,N是线段AB的勾股分割点(1)已知点M,N是线段AB的勾股分割点,若AM=2,MN=3求BN的长;(2)如图2,在△ABC中,FG是中位线,点D,E是线段BC的勾股分割点,且ECDE≥BD,连接AD,AE分别交FG于点M,N,求证:点M,N是线段FG的勾股分割点(3)已知点C是线段AB上的一定点,其位置如图3所示,请在BC上画一点D,使C,D是线段AB的勾股分割点(要求尺规作图,保留作图痕迹,画出一种情形即可)(4)如图4,已知点M,N是线段AB的勾股分割点,MNAM≥BN,△AMC,△MND和△NBM均是等边三角形,AE分别交CM,DM,DN于点F,G,H,若H是DN的中点,试探究,和的数量关系,并说明理由AMFSBENSMNHGS四边形第12页共22页第13页共22页第14页共22页6.(2015•广东梅州,第21题9分)如图,已知△ABC,按如下步骤作图:①以A为圆心,AB长为半径画弧;②以C为圆心,CB长为半径画弧,两弧相交于点D;③连接BD,与AC交于点E,连接AD,CD.(1)求证:△ABC≌△ADC;(2)若∠BAC=30°,∠BCA=45°,AC=4,求BE的长.考点:全等三角形的判定与性质;作图—复杂作图.分析:(1)利用SSS定理证得结论;(2)设BE=x,利用特殊角的三角函数易得AE的长,由∠BCA=45°易得CE=BE=x,解得x,得CE的长.第15页共22页解答:(1)证明:在△ABC与△ADC中,,∴△ABC≌△ADC(SSS);(2)解:设BE=x,∵∠BAC=30°,∴∠ABE=60°,∴AE=tan60°•x=x,∵△ABC≌△ADC,∴CB=CD,∠BCA=∠DCA,∵∠BCA=45°,∴∠BCA=∠DCA=90°,∴∠CBD=∠CDB=45°,∴CE=BE=x,∴x+x=4,∴x=2﹣2,∴BE=2﹣2.点评:本题主要考查了全等三角形的判定及性质,特殊角的三角函数,利用方程思想,综合运用全等三角形的性质和判定定理是解答此题的关键.7.(2015•广东佛山,第18题6分)如图,△ABC是等腰三角形,AB=AC,请你用尺规作图