黄金分割比的应用

起源：公元前6世纪--古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，从而开始研究黄金分割。发展：2000多年前,古希腊雅典学派---计算黄金分割最简单的方法，是计算斐波契数列1，1，2，3，5，8，13，21，...后二数之比2/3,3/5,4/8,8/13,13/21,...近似值。称为“中外比”。形成：公元前300年前后--欧几里得撰写《几何原本》系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著。两千年前，希腊数学家考虑如下问题：设线段AB，在AB上找一点C，使得令,CBACACABx于是有,111xACCBACCBACx可化为一元二次方程.012xx该方程的根为,2511x.2512xABCCBACACAB于是,618.12511xACAB其倒数.618.0215512ABAC即C点约在AB长度的0.618的位置上．希腊数学家把这个几何问题里的点C叫作黄金分割点，这个比值称为黄金分割数．618.0215ABACABC如何找出黄金分割点如图,已知线段AB按照如下方法作图:AB1.经过点B作BD⊥AB,D2.连接AD,在AD上截取DE=DB.E3.在AB上截取AC=AE.C则点C是线段AB的黄金分割点黄金律历来被染上瑰丽诡秘的色彩，被人们称为“天然合理”的最美妙的形式比例。随着人类对自然界（动物、植物、宇宙、人类自身）的认识的日益深入，人类关于“黄金分割比”这一神奇比例的了解也越来越丰富，人们发现自然界中这一神奇比例几乎无所不在。从低等的动植物到高等的人类，从数学到天文现象中，几乎都暗含着这种比例结构。在植物世界，许多植物都体现出“黄金分割”原理。例如：雏菊花冠中的小花、向日葵果盘内的种子、蔷薇花的片片花瓣、梨树主干上的新枝，都是转过137.50776……度，才抽出一枝又一枝来。许多植物叶片、花瓣以及松果壳瓣，从小到大的序列是以0.618：1的近似值排列的。植物为什么会不谋而合地呈现黄金分割现象呢？原来，它们都是为了最大限度地接受阳光的照射，保留宽敞的空间进行呼吸，更有利于接受雨露的滋润。能更好地生长结实，繁衍后代。形体优美的动物形体，如马，骡、狮、虎、豹、犬等，凡看上去健美的，其身体部分长与宽的比例也大体上接近与黄金分割如：蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比也接近0.618。（如图1）蜗牛等动物的螺旋形外壳从内到外的直径之比也接近0.618,（如图2）而禽兽等高级温动物的体温介乎37-39℃，这一温度正是水的液态范围0--100℃，两个黄金点（0.618）之一，即100℃*0.328=38℃左右。经过多年的总结分析，人们发现，在人体中也包含着多种“黄金分割”的比例因素，至少可以找出18个“黄金点”（如：脐为头顶至脚底之分割点、喉结为头顶至脐分割点、眉间点为发缘点至颏下的分割点等）、15个“黄金矩形”（如躯干轮廓、头部轮廓、面部轮廓、口唇轮廓等）、6个“黄金指数”（如鼻唇指数是指鼻翼宽度与口裂长之比、唇目指数是指口裂长度与两眼外眦间距之比、唇高指数是指面部中线上下唇红高度之比等）、3个“黄金三角”（如外鼻正面观三角、外鼻侧面观三角、鼻根点至两侧口角点组成的三角等）。只要留心，就会在生活的方方面面发现其“魅影”，如果我们灵活地加以运用，将大大提高我们的生活质量。例如，根据广泛调查，所有让人感到赏心悦目的矩形，包括电视屏幕、写字台面、书籍、门窗等，其短边与长边之比大多为0.618。甚至连火柴盒、国旗的长宽比例，都恪守0.618比值。在音乐会上，报幕员在舞台上的最佳位置，是舞台宽度的0.618之处；最有趣的是，在消费领域中也可妙用0.618这个“黄金数”，获得“物美价廉”的效果。据专家介绍，在同一商品有多个品种、多种价值情况下，将高档价格减去低档价格再乘以0.618，即为挑选商品的首选价格。对它的各种神奇的作用和魔力，数学上至今还没有明确的解释，只是发现它屡屡在实际中发挥我们意想不到的作用。内含“黄金分割比”的五角星形状也非常耐人寻味，世界上有将近40个国家（如中国、美国、朝鲜、土耳其、古巴等等）的国旗上上的“星”都是五角形的星。斐波那契(意，约1170-1250)兔子问题如果每对兔子（一雄一雌）每月能生殖一对小兔子（也是一雄一雌，下同），每对兔子第一个月没有生育能力，但从第二个月以后便能每月生一对小兔子。假定这些兔子都不发生死亡现象，那么从一对刚出生的兔子开始，一年之后会有多少对兔子呢？3、斐波那契数列与黄金分割解答可以将结果以列表形式给出：1月2月3月5月4月6月7月8月9月11月10月12月1123581321345589144因此，斐波那契问题的答案是144对。1,1,2,3,5,8,13,…..4,...,3,2,,11121naaaaannn斐波那契数列用数学归纳法，可推得斐波那契数列的通项公式：,25125151nnun斐波纳契数列的性质8213511321345589144・・・各项分别为前项的多少倍？前一项后一项的观察123581321345589144112358132134558911.51.61.61531.61761.617921.6661.6251.61901.61811.6180・・・黄金比，黄金数随着项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887……1limnnnxxnnnxxu11111111nnnnnnnuxxxxxuabbabaaa11215a.618.02151lim1axxnnn下面，我们考虑Fibonacci数列中相邻两项比的极限.设，则，.由于，均不等于0，故可将上面第一式同乘以减去第二式同乘以，得到.因此，由可解得，，从而4.得到黄金分割比的不同方法从不同途径导出黄金比：1．黄金分割：510.6182ABC线段的分割点满足.618.0215ACCBABAC2．斐波那契数列前一项与后面一项的比的极限：618.0215lim1nnnuu3．方程x2+x–1=0的正根：.2154．黄金矩形的宽长之比：.2155．优选法的试验点：.618.02156．连分数111111x的值：.215………………谢谢大家！