2013-2014学年 高中数学 人教A版选修1-1 第三章 3.3.3函数的最大(小)值

3.3.33.3.3函数的最大(小)值与导数【学习要求】1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会用导数求某定义域上函数的最值.【学法指导】弄清极值与最值的区别是学好本节的关键.函数的最值是一个整体性的概念.函数极值是在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较.本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.31.函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在处或处取得.2.求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤：(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的；(2)将函数y＝f(x)的各极值与的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是，最小的一个是.端点极值点极值端点处最大值最小值填一填·知识要点、记下疑难点本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.3探究点一求函数的最值问题1如图，观察区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象，你能找出它的极大值、极小值吗？答案f(x1)，f(x3)，f(x5)是函数y＝f(x)的极小值；f(x2)，f(x4)，f(x6)是函数y＝f(x)的极大值.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.3问题2观察问题1的函数y＝f(x)，你能找出函数f(x)在区间[a，b]上的最大值、最小值吗？若将区间改为(a，b)，f(x)在(a，b)上还有最值吗？由此你得到什么结论？答案函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是f(a)，最小值是f(x3).若区间改为(a，b)，则f(x)有最小值f(x3)，无最大值.结论一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，且最值必在端点处或极值点处取得.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.3问题3函数的极值和最值有什么区别和联系？答案函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.3问题4怎样求一个函数在闭区间上的最值？答案只要求出函数的各个极值和端点处的函数值，进行比较即可.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.3例1求下列函数的最值：(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－1,3]；(2)f(x)＝12x＋sinx，x∈[0,2π].解(1)f(x)＝2x3－12x，∴f′(x)＝6x2－12＝6(x＋2)(x－2)，令f′(x)＝0，解得x＝－2或x＝2.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－2)－2(－2，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.3所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞).因为f(－1)＝10，f(3)＝18，f(2)＝－82，f(－2)＝82；所以当x＝2时，f(x)取得最小值－82；当x＝3时，f(x)取得最大值18.(2)f′(x)＝12＋cosx，令f′(x)＝0，又x∈[0,2π]，解得x＝23π或x＝43π.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.3当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x00，23π23π23π，43π43π43π，2π2πf′(x)＋0－0＋f(x)0↗极大值π3＋32↘极小值23π－32↗π∴当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.3小结(1)求函数的最值，显然求极值是关键的一环.但仅仅是求最值，可用下面简化的方法求得.①求出导数为零的点.②比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值.(2)若函数在闭区间[a，b]上连续单调，则最大、最小值在端点处取得.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.3跟踪训练1求下列函数的最值：(1)f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，x∈[－3,1]；(2)f(x)＝ex(3－x2)，x∈[2,5].解(1)∵f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，∴f′(x)＝3x2＋4x－4.令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝23.∵f(－2)＝13，f23＝9527，f(－3)＝8，f(1)＝4，∴函数f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为9527.(2)∵f(x)＝3ex－exx2，研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.3∴f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx)＝－ex(x2＋2x－3)＝－ex(x＋3)(x－1)，∵在区间[2,5]上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)0，即函数f(x)在区间[2,5]上单调递减，∴x＝2时，函数f(x)取得最大值f(2)＝－e2；x＝5时，函数f(x)取得最小值f(5)＝－22e5.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.3探究点二含参数的函数的最值问题例2已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a).(1)若f′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程.(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值.解(1)f′(x)＝3x2－2ax.因为f′(1)＝3－2a＝3，所以a＝0.又当a＝0时，f(1)＝1，f′(1)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为3x－y－2＝0.(2)令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝2a3.当2a3≤0，即a≤0时，f(x)在[0,2]上单调递增，研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.3从而f(x)max＝f(2)＝8－4a.当2a3≥2，即a≥3时，f(x)在[0,2]上单调递减，从而f(x)max＝f(0)＝0.当02a32，即0a3时，f(x)在0，2a3上单调递减，在2a3，2上单调递增，从而f(x)max＝8－4a0a≤202a3，综上所述，f(x)max＝8－4aa≤20a2.小结由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化.所以解决这类问题常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.3跟踪训练2已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值.解f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去).(1)当a0时，列表如下：x－1(－1,0)0(0,2)2f′(x)＋0－f(x)－7a＋b↗b↘－16a＋b由表可知，当x＝0时，f(x)取极大值，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝3，即b＝3.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.3又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3f(－1)，∴f(2)＝－16a＋3＝－29，∴a＝2.(2)当a0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取极小值，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝－29，即b＝－29.又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29f(－1)，∴f(2)＝－16a－29＝3，∴a＝－2.综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.3探究点三函数最值的应用问题函数最值和“恒成立”问题有什么联系？答案解决“恒成立”问题，可将问题转化为函数的最值问题.如f(x)0恒成立，只要f(x)的最小值大于0即可.对含参不等式恒成立问题，求参数范围时，可先分离参数.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.3例3已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－x＋1.若xf′(x)≤x2＋ax＋1恒成立，求a的取值范围.解f′(x)＝x＋1x＋lnx－1＝lnx＋1x，xf′(x)＝xlnx＋1，而xf′(x)≤x2＋ax＋1(x＞0)等价于lnx－x≤a.令g(x)＝lnx－x，则g′(x)＝1x－1.当0＜x＜1时，g′(x)＞0；当x≥1时，g′(x)≤0，x＝1是g(x)的最大值点，∴g(x)≤g(1)＝－1.综上可知，a的取值范围是－1，＋∞.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.3小结“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可.一般地，可采用分离参数法.λ≥f(x)恒成立⇔λ≥[f(x)]max；λ≤f(x)恒成立⇔λ≤[f(x)]min.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.3跟踪训练3设函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，若对任意的x∈[0,3]，都有f(x)c2成立，求c的取值范围.解∵f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2).∴当x∈(0,1)时，f′(x)0；当x∈(1,2)时，f′(x)0；当x∈(2,3)时，f′(x)0.∴当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝5＋8c.又f(3)＝9＋8cf(1)，∴x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.∵对任意的x∈[0,3]，有f(x)c2恒成立，∴9＋8cc2，即c－1或c9.∴c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞).研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.31.函数y＝f(x)在[a，b]上()A.极大值一定比极小值大B.极大值一定是最大值C.最大值一定是极大值D.最大值一定大于极小值解析由函数的最值与极值的概念可知，y＝f(x)在[a，b]上的最大值一定大于极小值.D练一练·当堂检测、目标达成落实处本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.32.函数f(x)＝x3－3x(|x|1)()A.有最大值，但无最小值B.有最大值，也有最小值C.无最大值，但有最小值D.既无最大值，也无最小值解析f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1,1)时，f′(x)0，所以f(x)在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.D练一练·当堂检测、目标达成落实处本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.33.函数y＝x－sinx，x∈π2，π的最大值是()A.π－1B.π2－1C.πD.π＋1解析因为y′＝1－cosx，当x∈π2，π时，y′0，则函数y在区间π2，π上为增函数，所以y的最大值为ymax＝π－sinπ＝π，故选C.C练一练·当堂检测、目标达成落实处本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.34.函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为________.解析f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1).由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1.又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，∴f(x)min＝k－76＝－71.－71练一练·当堂检测、目标达成落实处本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.31.求函数在