2012版中考数学精品课件(含11真题和12预测题)专题二 开放型问题

专题二开放型问题考点知识梳理中考典例精析专题训练专题训练【练习篇】1．条件开放型：所谓条件开放型试题是指在结论不变的前提下，条件不唯一的题目．温馨提示：用类比方法、归纳总结法和分类的思想,来确定、补充、创设以“题设条件为目的”的开放题.旨在考查学生的汇聚思维能力,让考生殊途同归,起到归纳总结的作用.2．结论开放型：所谓结论开放题是指判断部分是未知要素的开放题．数学命题根据思维形式可分成三部分：假设——推理——判断．温馨提示：可用数形结合的思想挖掘“结论”开放题.3．条件、结论开放型：所谓条件、结论开放型是指条件和结论都不唯一，此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有开放性，它要求学生通过自己的观察和思考，将已知的信息集中进行分析，通过这一思维活动揭示事物的内在联系．4．探究问题在中考中常以压轴题出现，它的基本类型一般包括存在型、规律型、决策型等．(1)解答存在型问题的一般思路先假设结论的某一方面存在，然后在这个假设下进行演绎推理，若推出矛盾即可否定假设；若推出合理结论，则可肯定假设．(2)解答规律型问题的一般思路通过对所给的具体的结论进行全面而细致的观察、分析、比较，从中发现其变化规律，并由此猜出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以运用．(3)解答决策型问题的一般思路通过对题设信息进行全面的分析、综合比较、判断优劣，从中寻得适合题意的最佳方案．（2011·绥化）如图所示，点B、F、C、E在同一条直线上，点A、D在直线BE的两侧，AB∥DE，BF＝CE，请添加一个适当的条件______，使得AC＝DF.【点拨】明确全等三角形的五种判定方法分别是“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”、“HL”，再明确已知条件是“边”还是“角”，补充“边”或“角”之后，凑成判定方法中的一种．【解答】AB＝DE或∠A＝∠D等由已知条件可得∠B＝∠E，BC＝EF.只需再有AB＝DE或∠A＝∠D或∠ACB＝∠DFE都可证明△ABC≌△DEF，从而得出AC＝DF.（2011·益阳）小红设计的钻石形商标如图所示，△ABC是边长为2的等边三角形，四边形ACDE是等腰梯形，AC∥ED，∠EAC＝60°，AE＝1.(1)证明：△ABE≌△CBD；(2)图中存在多对相似三角形，请你找出一对进行证明，并求出其相似比(不添加辅助线，不找全等的相似三角形)；(3)小红发现AM＝MN＝NC，请证明此结论；(4)求线段BD的长．【点拨】本题是一道几何综合题，解答第(2)问的关键是通过已知线段寻找相似的三角形；第(4)问中求线段的长度,一般需构造直角三角形．【解答】(1)∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠BAC＝∠BCA＝60°.∵四边形ACDE是等腰梯形，∠EAC＝60°，∴AE＝CD，∠ACD＝∠CAE＝60°，∴∠BAC＋∠CAE＝120°＝∠BCA＋∠ACD，即∠BAE＝∠BCD＝120°.在△ABE和△BCD中∵AB＝CB，∠BAE＝∠BCD，AE＝CD，∴△ABE≌△CBD.(2)答案不唯一，如△ABN∽△CDN.证明：∵∠BAN＝60°＝∠DCN，∠ANB＝∠DNC，∴△ANB∽△CND.其相似比为ABDC＝21＝2.(3)由(2)得ANCN＝ABCD＝2，∴CN＝12AN＝13AC.同理AM＝13AC，∴AM＝MN＝NC.(4)如图，作DF⊥BC交BC的延长线于F.∵∠BCD＝120°，∴∠DCF＝60°.在Rt△CDF中，∴∠CDF＝30°，∴CF＝12CD＝12，∴DF＝CD2－CF2＝12－122＝32.在Rt△BDF中，BF＝BC＋CF＝2＋12＝52，DF＝32，∴BD＝BF2＋DF2＝522＋322＝7.1．如图，已知AC⊥BD于点P，AP＝CP，请增加一个条件，使得△ABP≌△CDP(不能添加辅助线)，你增加的条件是______．答案：答案不唯一，如：∠B＝∠D或∠A＝∠C或PB＝PD或AB∥CD答案：答案不唯一，如：m＝2或k＝1或b＝1等2．反比例函数y＝mx(m≠0)与一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象如图所示，请写出一条正确的结论：______.3．在平面上，七个边长均为1的等边三角形，分别用①至⑦表示(如图所示)．从④⑤⑥⑦组成的图形中，取出一个三角形，使剩下的图形经过一次平移，与①②③组成的图形拼成一个正六边形．答案：(1)取出⑦，向上平移1个单位(2)可以做到(1)你取出的是哪个三角形？写出平移的方向和平移的距离；(2)将取出的三角形任意放置在拼成的正六边形所在平面上，问：正六边形没有被三角形盖住的面积能否等于52？请说明理由．开放型问题训练时间：60分钟分值：100分一、选择题(每小题4分，共4分)1．(2010中考变式题)已知⊙O1、⊙O2的半径分别是r1＝2、r2＝4，若两圆相交，则圆心距O1O2可能取的值是()A．2B．4C．6D．8【解析】由题意知4－2O1O24＋2，即2O1O26.【答案】B二、填空题(每小题6分，共42分)2．(2011·陕西)如图，在△ABC中，D是AB边上一点，连接CD.要使△ADC与△ABC相似，应添加的条件是________．【答案】∠ACD＝∠B或∠ADC＝∠ACB或ADAC＝ACAB(答案不唯一，只需写出一个条件即可)3．(2012中考预测题)如图，已知AC＝FE，BC＝DE，点A、D、B、F在一条直线上，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是________．【答案】∠C＝∠E或AB＝FD或AD＝FB(答案不唯一)4．(2011·临沂)如图，∠1＝∠2，添加一个条件使得△ADE∽△ACB，这个条件可以是________．【答案】∠D＝∠C或∠B＝∠E或ADAC＝AEAB(答案不唯一，只写出一个即可)5．(2011·贵阳)写出一个开口向下的二次函数的表达式________．【解析】对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当a＜0时，开口向下．【答案】答案不唯一，如y＝－x2；y＝－x2＋2x等6．(2012中考预测题)如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，DE∥AC，DE交AB于点E，M为BE的中点，连接DM.在不添加任何辅助线和字母的情况下，图中的等腰三角形是________．(写出一个即可)【答案】△ADE或△DME或△BMD(答案不唯一，只写出一个即可)7．(2010中考变式题)在同一坐标平面内，图象不可能由函数y＝3x2＋1的图象通过平移变换、轴对称变换得到的二次函数的一个解析式是________．【解析】答案不唯一，只要写出的y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，|a|≠3即可．【答案】y＝2x28．(2012中考预测题)抛物线y＝－x2＋bx＋c的部分图象如图所示，请写出与其关系式、图象相关的2个正确结论：________，________.(对称轴方程，图象与x正半轴、y轴交点坐标例外)【答案】开口方向向下，与x轴的另一交点坐标为(－3,0)，c0，b0，b2－4ac0等．三、解答题(共54分)9．(10分)(2011·德州)如图，AB＝AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O.(1)求证：AD＝AE；(2)连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．【答案】(1)证明：如图所示，在△ACD与△ABE中，∵∠CAD＝∠BAE，∠ADC＝∠AEB＝90°，AC＝AB，∴△ACD≌△ABE(AAS)．∴AD＝AE.(2)解：互相垂直．在Rt△ADO与Rt△AEO中，∵OA＝OA，AD＝AE，∴△ADO≌△AEO(SSS)．∴∠DAO＝∠EAO，即OA是∠BAC的平分线．又∵AB＝AC，∴OA⊥BC.10.(8分)(2010中考变式题)如图，已知：点B、F、C、E在一条直线上，FB＝CE，AC＝DF.能否由上面的已知条件证明AB∥ED？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使AB∥ED成立，并给出证明．供选择的三个条件(请从中选择一个)：①AB＝ED；②BC＝EF；③∠ACB＝∠DFE.【答案】解：由题中已知两个条件不能证明AB∥ED.(以下给出两种添加方法，写出其一即可)方法一FB＝CE，AC＝DF，添加①AB＝ED.证明：因为FB＝CE，所以BC＝EF.又AC＝DF，AB＝ED，所以△ABC≌DEF(SSS)．所以∠ABC＝∠DEF，所以AB∥ED.方法二FB＝CE，AC＝DF，添加③∠ACB＝∠DFE.证明：因为FB＝CE，所以BC＝EF.又∠ACB＝∠DFE，AC＝DF，所以△ABC≌DEF(SAS)．所以∠ABC＝∠DEF，所以AB∥ED.11．(12分)(2011·南通)(1)将一批重490吨的货物分配给甲、乙两船运输．现甲、乙两船已分别运走其任务量的57、37，在已运走的货物中，甲船比乙船多运30吨，求分配给甲、乙两船的任务量各多少吨？(2)自编一道应用题，要求如下：①是路程应用题．三个数据100，25，15必须全部用到，不添加其他数据．②只要编题，不必解答．故分配给甲、乙两船的任务量分别是210吨、280吨．【答案】解：(1)设分配给甲、乙两船的任务量分别是x吨、y吨，根据题意，可列方程组57x－37y＝30，x＋y＝490，解得x＝210，y＝280.(2)本题答案不唯一，示例如下：甲、乙二人同时从A、B两地相向而行，当甲行驶全部路程的25，乙行驶全部路程的15时，甲、乙两人相距100m，求A、B两地的距离．12．(12分)(2012中考预测题)如图AB＝AC，AD⊥BC于点D，AD＝AE，AB平分∠DAE交DE于点F，请写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明．【答案】图中全等三角形有△ADB≌△ADC、△ABD≌△ABE、△AFD≌△AFE、△BFD≌△BFE(写出其中的三对即可)．下面以△ADB≌△ADC为例进行证明．证法1：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在Rt△ADB和Rt△ADC中，∵AB＝AC，AD＝AD，△ADB≌△ADC(HL)．证法2：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC.在△ABD和△ACD中，∵AD＝AD，∠ADB＝∠ADC＝90°，BD＝DC，∴△ABD≌△ACD(SAS)．13．(12分)(2012中考预测题)如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A，它的对称轴x＝2与x轴交于点C，直线y＝－2x－1经过抛物线上一点B(－2，m)，且与y轴、直线x＝2分别交于点D、E.(1)求m的值及该抛物线对应的函数关系式；【答案】解：(1)把B(－2，m)代入y＝－2x－1得m＝3，∴B为(－2,3)．设抛物线对应的函数关系式为y＝a(x－2)2＋k.把A(4,0)，B(－2,3)分别代入解得y＝14x2－x.(2)求证：①CB＝CE；②D是BE的中点；(3)若P(x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P，使得PB＝PE.若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．(2)①证明：∵B(－2,3)，C(2,0)，∴CB＝2＋22＋32＝5，把x＝2代入y＝－2x－1得y＝－5，∴E(2，－5)，∴CE＝0－(－5)＝5，∴CB＝CE.②把x＝0代入y＝－2x－1得y＝－1，∴D(0，－1)．根据中点坐标公式，BE的中点坐标就是D(0，－1)．(3)作直线CD，因为CB＝CE，D是BE的中点，所以直线CD是BE的垂直平分线．求出直线CD与抛物线的交点坐标即为点P.根据待定系数法易得直线CD的解析式为y＝12x－1.由y＝12x－1y＝14x2－x得x＝3＋5y＝1＋52或x＝3－5y＝1－52.所以存在符合条件的点P，坐标为(3＋5，1＋52)或(3－5，1－52)．