e值的计算

密级公开学号081629毕业设计（论文）e值的计算院（系部）：数理系姓名：谢鹏燕年级：2008级2班专业：信息与计算科学指导教师：刘伟明教师职称：副教授2012年5月31日·北京I摘要e是数学中最重要的数学符号之一，称为自然常数，是自然对数的底数。它最先由瑞士数学家欧拉在1727年使用。18世纪以来，数学家们在e值的计算上不断取得成果。从最初的利用极限的定义计算，到级数、连分数，再到其它各种方法，计算得到的e的近似值精度越来越高。本文在阅读了相关文献的基础上，选择了七种前人研究的经典而又有代表性的方法来介绍e值的计算，理论上计算了近似值与真实值的误差和收敛速度，比较了各种方法的精度，分析了各种方法的优缺点，并利用MATLAB软件将各种方法编程，近似计算e值，比较结果。在定义的基础上，结合极限的思想，对极限的定义算法进行了改进。通过各种方法，可以了解一定的e值计算的历史，掌握计算e值的方法和技巧。e值的计算是一项伟大的数学工程，随着数学科学的快速发展，e值的计算的方法越来越多。e值的计算的理论研究很大程度的促进了数学和其它学科的发展。关键词：自然常数，e值的计算，近似计算IIAbstractThenumbereisoneofthemostimportantsymbolsinmathematics.ItiscalledNaturalConstant.Itisnaturallogarithmbase.Itwasfirstusedin1727byEulerwhowasaSwissmathematician.Sincethe18thcentury,mathematiciansobtainedlotsofachievementsinthecalculationofe.Itiscalculatedfromtheinitialdefinitionoflimittoseries,fractionsandothermethods.Theaccuracyoftheapproximationofewasgettinghigherandhigher.Havingreadtherelevantpaper,Iselectsevenkindsofmethodswhichareclassicalandrepresentativetointroducethecalculationofthenumbere.Thepapercalculatesthedeviationbetweeneanditsapproximationandtheconvergencerate.Italsocomparestheaccuracyofthesemethods.Anditanalyzestheadvantagesanddisadvantagesofthesemethods.Also,thepaperusesMATLABtowriteprogramsforthesemethodswhichwillcalculatedifferentapproximationofeandcomparestheresults.Basedonthedefinitionandthethoughtoflimit,itimprovesthealgorithmofthelimitofdefinition.Whenreadingthemethodsofthecalculationofe,wecanlearnaboutsomehistoryoftheresearchonemoreorlessandmastersomemethodsandskills.Thecalculationofeisagreatmathematicalproject.Withtherapiddevelopmentofmathematics,themethodsofthecalculationofearedevelopingmoreandmore.Thetheoreticalresearchofthecalculationofepromotesmuchtothedevelopmentofmathematicsandotherdisciplines.Keywords：NaturalConstant,thecalculationofe,thecalculationofapproximationIII目录第一章前言............................................................................................11.1e值计算的意义.............................................................................11.2e值计算的历史背景......................................................................11.3现有的e值计算方法.......................................................................31.4研究的基本内容，拟解决的主要问题...............................................3第二章e的综合知识................................................................................52.1极限定义.......................................................................................52.2e的无理性和超越性......................................................................82.3e的发展、应用............................................................................11第三章计算e值的方法..........................................................................123.1概述............................................................................................123.2七种计算e值的方法.....................................................................12第四章结论与展望.................................................................................30参考文献..................................................................................................31致谢.......................................................................................................32附录.......................................................................................................33e值的计算1第一章前言1.1e值计算的意义e是数学中最重要的数学符号之一，称为自然常数，是自然对数的底数。e的研究对时代的数学水平有一定的衡量作用，同时，在研究计算e值方法的同时，数学家们可以引发新的概念、方法和思想以及新的算法，从而产生新的问题，促进其他领域学科的发展。至今为止，e的大部分研究成果，已经应用到实际中了，比如金融、股票等行业，当然它应用的形式是利用数学模型进行计算以达到预测、分析等的目的。正因为e的作用越来越大，越来越明显，因此，e值的计算的研究显得尤为重要，具有实际意义，能促进数学和其它学科甚至社会生产的发展。在阅读了大量的相关文献之后，发现国内见诸于报刊的关于e值的计算的专业论文很少，多数文献提到e值的计算时只有定义和级数，最多能提到连分数，少数文献提到计算方法时也是一笔带过，并无解析过程，难求一篇详尽的关于e值的计算的文章。基于此，本文欲总结前人的研究成果，对e值计算的一些方法进行综述，对各种方法的精度进行理论分析，比较结果，分析各种方法的优缺点，并试图对定义的极限算法进行改进。1.2e值计算的历史背景1.2.1总述自然常数e最先是由瑞士数学家欧拉在1727年使用的。它是Euler名字的第一个字母，后来人们确定用e作为自然对数的底，以此来纪念欧拉。同时人们猜测，用e作为自然对数的底的另一个原因是指数的英文拼写为exponential，其首字母是e。e是个无理数，其值为2.718281828...e。自然常数使用之日起，历经的每个时代都有无数科学家致力于对它的研究。从最初得到的数列1{(1)}nn的极限作为其定义，欧拉自己还研究出了它的连分数表示法，到利用泰勒展开得到级数进行计算，无不是数学家们的努力成果，再到后现代的研究中，1980年发现的一种连乘的计算方法，都体现了e值的计算方法e值的计算2的发展。1.2.2e值计算的研究历史自然常数发现以来，对于它的研究从未停止过。欧拉在研究极限1lim(1)nnn时，发现这个极限值是存在的，并且不是一个有理数，为了表示这个极限，就将它记作e。e的使用最早见于1736年欧拉的《力学》著作中。在随后的研究中，欧拉又发现一些连分数可以表示e，由于极限计算e的收敛速度都相对较慢，欧拉发现连分数计算e的收敛速度要快得多。随着指数函数的发现，数学家们迫不及待的利用泰勒级数展开将xe展成级数的形式，从而得到e的级数计算公式，而级数计算的收敛速度较之极限也快得多。17世纪中期，欧拉首先证明e是一个无理数。19世纪末，法国数学家埃尔米特和德国数学家林德曼又证明e是一个超越数。19世纪以来，关于e的研究不断深入，从原来的对数理论拓展应用到其他理论。数学家们发现，e在素数理论，虚数理论，分形理论，级数理论，微积分，数值计算，概率论方面的研究都有很大的作用，甚至在某些尚未证明的猜想上也都有所联系。在分析学中，比较常用的计算e的方法主要有两种，其一是利用极限nn)n1(1lime另一种方法是利用级数!1!312!12en当n值取得足够大时，可以使得到的近似值与e的误差足够小。在后续的研究中比较典型有1980年发现的pippengger，是一种幂递减的连乘算法，算法简单且高效，收敛速度较快。e在其它领域的作用越来越多，越来越重要，随着数学的发展，计算e的方法将越来越多，并且借助于高级计算机，可以得到的e的精确度也越来越高。1.2.3近代研究e值的计算31854年，英国数学家桑克斯首次给出e的很多位数的小数值，但格莱歇尔指出了在桑克斯的数值中前137位是正确的，而后面出现了错误，他在纠正了错误之后给出了e的205位小数值。1884年，布尔曼算出了e的346位小数值，并且发现他的计算与桑克斯的前187位是相同的，而后面却不同。1887年，阿拉姆算出了以10为底的e的对数的272位小数值。到了20世纪60年代初，已经有人用计算机把e算到万位了。1.3现有的e值计算方法最早计算e值的方法是使用定义计算的，对式1(1)nn而言，整个式子的增加速度随着n的增大而减小。此方法计算简单但计算量大，由于收敛速度过慢，导致在开始的阶