第5章--状态反馈与状态观测器

状态反馈与状态观测器1摘自中国气象网——仅供参考Thelastlesson状态反馈与状态观测器2第五章状态反馈与状态观测器状态反馈与状态观测器3主要内容5.1引言5.2状态反馈与输出反馈5.3反馈控制对能控性与能观测性的影响5.4闭环系统极点配置5.5状态观测器5.6采用状态观测器的状态反馈系统5.7解耦控制5.8MATLAB在闭环极点配置及状态观测器设计中的应用5.9线性控制系统理论的工程应用举例状态反馈与状态观测器45.1引言本章重点讲述对一个性能不好甚至不稳定的被控系统，如何设计系统的状态反馈控制律，使闭环系统稳定且具有优良的动态响应。状态反馈包含系统全部状态变量信息，是较输出反馈更全面的反馈，这本是状态空间综合法的优点，但并非所有被控系统的全部状态变量都可直接测量，这就提出了状态重构问题，即能否通过可测量的输出及输入重新构造在一定指标下和系统真实状态等价的状态估值？1964年，Luenberger提出的状态观测器理论有效解决了这一问题。状态反馈与状态观测器设计是状态空间综合法的主要内容，故如何设计状态观测器重构出所需状态估值也是本章重点讲述内容之一。状态反馈与状态观测器55.2状态反馈与输出反馈虚线框内系统的状态空间表达式)(oDC,B,A,多输入多输出系统的状态反馈结构图DuCxBuAxxy式中，分别为n维,r维和m维列向量；A,B,C,D分别为实数矩阵。y,u,xrmnmrnnn,,,状态反馈与状态观测器6对多数实际被控系统，由于输入与输出之间总存在惯性，所以传递矩阵D=0。)(oCB,A,CxBuAxxy若被控系统D=0，可简记为，对应的状态空间表达式为状态反馈与状态观测器7上图采用线性直接状态反馈（简称状态反馈）构成闭环系统以改善原被控系统的性能。将被控系统的每一个状态变量乘以相应的反馈增益值，然后反馈到输入端与参考输入v一起组成状态反馈控制律，作为被控系统的控制量uFxvu设v为r维参考输入列向量F为状态反馈增益实数矩阵nrDuCxBuAxxy代入DvxDFCBvxBFAx)()(y状态反馈与状态观测器8DvxDFCBvxBFAx)()(yCxBvxBFAxy)(D=0简记为)(FCB,BF,A传递函数矩阵BBFAICW1))(()(ssF系统矩阵变为A-BF，因此在被控系统状态完全能控的条件下，可通过适当选取反馈增益矩阵F自由改变其闭环系统特征值，以使系统达到期望性能。而且在D=0的条件下，引入状态反馈不改变输出方程。状态反馈与状态观测器95.2.2输出反馈输出反馈最常见的形式是用被控系统输出向量的线性反馈构成闭环系统H为维输出反馈实增益矩阵mr将被控系统的每一个输出变量乘以相应的反馈增益值，然后反馈到输入端与参考输入v一起组成线性非动态输出反馈（简称输出反馈）控制律，作为被控系统的控制量uHyvu设v为r维参考输入列向量y为m维参考输出列向量代入D=0CxBuAxxyCxBvxBHCAxy)(状态反馈与状态观测器10CxBvxBHCAxy)(BBHCAICW1))(()(ssH传递函数矩阵简记为)(HCB,BHC,A状态反馈与状态观测器11取的状态反馈即可达到与线性非动态输出反馈H相同的控制效果。HCFD=0时FxvuCxBvxBFAxy)(HyvuCxBvxBHCAxy)(但状态反馈F所能达到的控制效果，采用线性非动态输出反馈H却不一定能实现Cxy因为一般线性系统的输出只是部分状态变量的线性组合，故线性非动态输出反馈一般可视为一种部分状态反馈，其不能象全状态反馈那样任意配置反馈系统的极点。状态反馈与状态观测器125.3反馈控制对能控性与能观测性的影响定理状态反馈不改变被控系统的能控性，但不一定能保持系统的能观性。)(oCB,A,证明先从系统能控性的PBH秩判据出发证明状态反馈不改变被控系统的能控性。)(oCB,A,显然，对复数域C上的所有s,下式成立，即BBFAIBAI)(ssrnIF0I非奇异方阵BBFAIBAI)(rankrankssCs状态反馈与状态观测器13由能控性的PBH秩判据，上式表明状态反馈不改变系统的能控性BBFAIBAI)(rankrankssCs)(oCB,A,)(FCB,BF,A即1）当且仅当被控系统能控时，状态反馈系统能控；te)(oCB,A,)(FCB,BF,A2）若不能控，其不能控模态及相应的特征值也是的不能控模态及相应的特征值。状态反馈与状态观测器14关于状态反馈有可能改变系统的能观性，以单输入单输出系统为例解释如下：被控系统的传递函数)(oCB,A,)()()()()()()()()()(1osDsNsDssUsssUsYsGgCXCBAIC引入状态反馈后的闭环系统的传递函数可通过结构图等效变换求出，即)(FCB,BF,A)()()()()()()(1)(/)()()()()(1FsDsNssDssDssDsssVsYsGFFggCgFgCBBFAIC状态反馈与状态观测器15比较以上两式可见，引入状态反馈后传递函数的分子多项式不变，而分母多项式可通过选择状态反馈增益向量F而改变，即状态反馈只改变传递函数的极点而保持零点不变，若闭环系统的极点被配置到与的零点相等时，将使发生零极点对消而破坏的能观性。)(sN)(FCB,BF,A)(oCB,A,)(FsG)(oCB,A,)()()()()()()()()()(1osDsNsDssUsssUsYsGgCXCBAIC)()()()()()()(1)(/)()()()()(1FsDsNssDssDssDsssVsYsGFFggCgFgCBBFAIC状态反馈与状态观测器16定理输出反馈不改变被控系统的能控性与能观性。)(oCB,A,证明已知，输出反馈H可等效为的状态反馈，且状态反馈不改变被控系统的能控性HCF故输出反馈不改变被控系统的能控性。)(oCB,A,下面从系统能观性的PBH秩判据出发证明输出反馈不改变被控系统的能观性显然，对复数域C上的所有s,下式成立，即CBHCAII0BHICAIn)(ssm非奇异方阵CBHCAICAI)(rankrankssCs状态反馈与状态观测器17由能观性的PBH秩判据，上式表明和的状态能观性是一致的，即输出反馈不改变被控系统的能观性。)(oCB,A,)(HCB,BHC,ACBHCAICAI)(rankrankssCs状态反馈与状态观测器18状态反馈与状态观测器19状态反馈与状态观测器20状态反馈与状态观测器215.4闭环系统极点配置本节主要讨论两方面的问题：其一，闭环极点可任意配置的条件；其二，如何设计反馈增益阵使闭环极点配置在期望极点处。为简单起见，仅讨论单输入单输出系统。状态反馈与状态观测器225.4.1采用状态反馈配置闭环系统极点1.采用状态反馈任意配置闭环极点的充分必要条件定理采用状态反馈任意配置闭环极点的充分必要条件是被控系统状态完全能控。)(oCB,A,证明先证必要性。由定理5-1知，若不能控，则其不能控极点及其对应的不能控模态不能通过状态反馈改变。证毕。)(oCB,A,状态反馈与状态观测器23再证充分性。以下充分性证明过程实际上给出了单输入单输出系统设计反馈增益矩阵的规范算法。(1)若被控系统状态完全能控，且设其特征多项式和传递函数分别为)(oCB,A,CxBuAxxynnnnasasasssf111odet)(AInnnnnnnnasasasbsbsbsbssG111122111o)()(BAIC状态反馈与状态观测器24可通过如下变换（设为能控标准型变换矩阵）cTxTxc将化为能控标准型)(oCB,A,__o)(C,B,A即xCuBxAxy其中，121c1c121c1c1000,100001000010bbbbaaaannnnnCTCBTBATTA状态反馈与状态观测器25(2)针对能控标准型引入状态反馈__o)(C,B,AxFvu可求得对的闭环系统的状态空间表达式仍为能控标准型x__F)(C,B,FBAnffff321FxCBxFBAxyv)(即其中)()()()(100001000010132211nnnnfafafafaFBA状态反馈与状态观测器26则闭环系统的特征多项式和传递函数分别为__F)(C,B,FBA)()()()(det)(12111FfasfasfassspnnnnnFBAI)()()()]([)(12111122111FfasfasfasbsbsbsbssGnnnnnnnnnBFBAIC表明的n阶特征多项式的n个系数可通过即的特征值可任选。__F)(C,B,FBAnffff,,,,321)(FBA独立设置，故若被控系统能控，则其状态反馈系统极点可任意配置。)(oCB,A,)(det)(det)(FBFAIFBAIsssf又状态反馈与状态观测器27(3)事实上，由给定的期望闭环极点组可写出期望闭环特征多项式),,2,1(niinnnnniiasasasssp1111)()(可解出能控标准型使闭环极点配置到期望极点的状态反馈增益矩阵为__o)(C,B,A111121aaaaaafffnnnnnF)()()()(det)(12111FfasfasfassspnnnnnFBAI令两式相等状态反馈与状态观测器28则原被控系统即对应于状态x引入状态反馈使闭环极点配置到期望极点的状态反馈增益矩阵为)(oCB,A,1cTFF(4)将式代入式得xFxTFxFvvvu1cxTxcxFvu状态反馈与状态观测器292.采用状态反馈配置闭环极点的方法方法一规范算法对状态完全能控的单输入单输出被控系统,可采用以上状态反馈任意配置极点充分条件证明过程所给出的规范算法确定实现闭环极点配置目标的反馈增益矩阵F)(oCB,A,)(oCB,A,nnnnasasasssf111odet)(AInnnnniiasasasssp1111)()(即由确定开环系统特征多项式和期望闭环特征多项式系数的基础上状态反馈与状态观测器30先用求出能控标准型对应的下的状态反馈增益矩阵__o)(C,B,AxF111121aaaaaafffnnnnnF然后再根据将变换为原状态x下的状态反馈增益阵F，即F1cTFF11111cnnnnaaaaaaTF状态反馈与状态观测器31111111111aaanncBAABBT式中,为按式将化为能控标准型的变换矩阵的逆矩阵，1cT)(oCB,A,__o)(C,B,AcTxTxc11111cnnnnaaaaaaTFc1cc1c;;CTCBT