高考总复习直线与圆的方程知识点及习题答案

用心爱心专心第九章解析几何初步★知识网络★圆的方程圆的标准方程圆的一般方程圆的参数方程圆与圆的位置关系外离外切相交内切内含倾斜角和斜率斜截式点斜式两直线位置关系两点式截距式一般式平行重合斜交垂直距离点到直线的距离的距离两平行线间的距离直线与方程程相交直线方程直线与圆的位置关系相离相切相交空间直角坐标系空间两点间的距离公式圆与方程平面解析几何初步用心爱心专心第1讲直线的倾斜角与斜率及直线方程★知识梳理★1、直线的倾斜角与斜率:对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在直线绕着它与直线的交点按照逆时针方向旋转到和直线重合时，所转过的最小正角叫倾斜角；倾斜角的取值范围是[00，1800)直线的倾斜角α与斜率k的关系:当α090时，k与α的关系是tank；α090时，直线斜率不存在；经过两点P1(x1,y1)P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式是1212xxyyk；三点CBA,,共线的充要条件是ACABkk2.直线方程的五种形式:点斜式方程是yykxx00；不能表示的直线为垂直于x轴的直线斜截式方程为bkxy；不能表示的直线为垂直于x轴的直线两点式方程为121121xxxxyyyy；不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线截距式方程为1byax；不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线和过原点的直线.一般式方程为0cbyax.3.几种特殊直线的方程:①过点),(baP垂直于x轴的直线方程为x=a;过),(baP垂直于y轴的直线方程为y=b②已知直线的纵截距为b,可设其方程为bkxy;③已知直线的横截距为a,可设其方程为amyx;④过原点的直线且斜率是k的直线方程为y=kx★重难点突破★重点:理解倾斜角与斜率的对应关系,熟练利用五种形式求直线方程难点:在求直线方程时,条件的转化和设而不求的运用重难点:结合图形,把已知条件转化为确定直线位置的要素,从而顺利求出直线方程（1）倾斜角与斜率的对应关系涉及这类问题的题型一般有：（1）已知倾斜角(或范围)求斜率(范围)（2）已知斜率(或范围)求倾斜角(或范围)，如：用心爱心专心问题1：直线023tanyx的倾斜角是A.3B.6C.32D.3点拨:转化为:已知),0[,3tantan,求,答案:C问题2:求直线023cosyx的倾斜角的取值范围点拨:要从tank和正切函数的单调性来理解倾斜角与斜率的对应关系，①当)2,0[时,),0[k,k随的增大而增大;②当),2(时,)0,(k,k随的增大而增大.本题可先求出斜率的取值范围,再利用倾斜角与斜率的对应关系,求出倾斜角的取值范围.3cos3k，故：3333k当303k时，直线的倾斜角α满足：06当303k时，直线的倾斜角α满足56所以，直线的倾斜角的范围：06和56(2）利用直线方程的几何特征确定直线的位置问题3：已知函数)10(,)(aaaxfx且，当1)(0xfx时，，方程aaxy1表示的直线是点拨:这是直线方程中的参数的几何意义问题，可先确定直线的斜率和截距的范围,再确定直线的位置,由已知可得)1,0(a,从而斜率)1,0(k,截距1b,故选C（3）选择恰当的形式求直线方程问题4:过点)2,1(P的直线分别交x轴、y轴的负半轴于BA,两点，当||||PBPA最小时，求直线l的方程。点拨:设直线方程要从条件和结论两方面考虑，为更好表示||||PBPA,本题用点斜式设出方xyAOxyBOyxDOyOxC用心爱心专心yxOMQP程最简便。解：设直线l的方程为)1(2xky,2,0kyx得,12,0kxy得,)2,0(),0,12(kBkA,4844144||||2222kkkkPBPA,当且仅当221kk，即k=±1时等号成立，但k0,故直线l的方程为：x+y+3=0；（4）设直线方程时要考虑是否会有丢解的情况，如：问题5:求过点)4,3(P，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程。点拨:设直线方程都要考虑是否丢解的问题，本题用截距式设直线方程容易漏掉过原点的直线，应警惕。解：当直线过原点时,方程为xy34;当直线不经过原点时,设方程为12ayax,把)4,3(P代入得5a,102yx综上,所求方程为xy34或102yx★热点考点题型探析★考点1直线的倾斜角和斜率题型1：已知倾斜角(或范围)求斜率(或范围)或已知斜率(或范围)求倾斜角(或范围)[例1]已知经过),12,(),2,(mmBmA的直线的倾斜角为，且oo13545，试求实数m的取值范围。【解题思路】由倾斜角的范围得出斜率k的范围,从而求出参数m的取值范围.【解析】01113545mkkoo或或，1232mm或01232mmm或，解得：00430mmm或或m的取值范围是)43,(【名师指引】根据正切函数在),0[上的单调性,要分)90,45(00;090)135,90(00三种情况讨论,特别注意090时容易遗漏.题型2：动直线与线段(曲线段、区域)相交[例2]已知直线l:y=kx-2和两点P（1，2）、Q（-4，1）,若l与线段PQ相交，求k的取值范围；【解题思路】用运动的观点,结合图形得出倾斜角的范围,从而得出斜率取值范围[解析]由直线方程y=kx-2可知直线过定点（0，-2），2(2)410MPk1(2)3(4)04MQk用心爱心专心DCx+y=-2OBAxx+y=1∵∴要使直线l与线段PQ有交点，则k的取值范围是k≥4和k≤-3/4【名师指引】（1）用“运动的观点”是解决这类问题的根本方法，注意“两条直线相交”和“直线与线段相交”的区别（2）在观察动直线在运动过程中,要特别注意倾斜角是否含有090角,若含有,则斜率的范围是),[],(21kk,若不含有,则斜率的范围是],[21kk（21,kk分别为线段端点与直线所过定点连线的斜率）【新题导练】1.下列多组点中，三点共线的是()A.(1，4)，(-1，2)，(3，5)B.(-2,-5),(7,6),(-5,3)C.(1,0),(0,-31),(7，2)D.(0，0)，(2，4)，(-1，3)【解析】C.由KAB=KBC可得2.（广东省四校联合体2007-2008学年度联合考试）若函数f(x)=log2（x+1）且a＞b＞c＞0，则aaf)(、bbf)(、ccf)(的大小关系是A、aaf)(＞bbf)(＞ccf)(B、ccf)(＞bbf)(＞aaf)(C、bbf)(＞aaf)(＞ccf)(D、aaf)(＞ccf)(＞bbf)(【解析】B把aaf)(、bbf)(、ccf)(分别看作函数f(x)=log2（x+1）图像上的点))(,()),(,()),(,(bfcbfbafa与原点连线的斜率,对照草图可得答案3.(华南师大附中2009届高三综合测试（一）)已知直线3443xtyt（t为参数），则下列说法错误的是（）A．直线的倾斜角为3arctan4B．直线必经过点11(1,)2C．直线不经过第二象限D．当t=1时，直线上对应点到点（1,2）的距离为32【解析】D.将直线方程化为02543yx，直线的斜率为43，直线的倾斜角为3arctan4，将点11(1,)2代入，满足方程，斜率为正，截距为负，直线不经过第二象限4.若A为不等式组002xyyx表示的平面区域，则当a从－2用心爱心专心连续变化到1时，动直线xya扫过A中的那部分区域的面积为[解析]如图，当a从－2连续变化到1时,动直线xya扫过A中的那部分(四边形OBCD)区域的面积与区域A(ABO)的面积之比为87，而区域A的面积为2，故所求的面积为745.在平面直角坐标系中，点ABC，，的坐标分别为(01)(42)(26)，，，，，．如果()Pxy，是ABC△围成的区域（含边界）上的点，则1xy的取值范围是[解析]：把1xy看作区域上的点与点（-1，0）连线的斜率,结合图形可得结果为]2,52[6.已知点A（-2，3），B（3，2），P（0，-2），过P点的直线与线段AB有公共点，求直线的斜率k的变化范围;[解析]25PAk,34PBk,画出图形，数形结合可得结果k54(,][,)23考点2求直线方程题型：根据题目条件，选择方程的形式求直线方程[例3]等腰直角三角形ABC的直角顶点C和顶点B都在直线2x+y–6=0上，顶点A的坐标是(1,–1)，求边AB,AC所在的直线方程.【解题思路】从确定直线AB,AC的条件入手，直线AC满足:经过点A且垂直于直线2x+y–6=0,直线AB满足:经过点A且与直线2x+y–6=0成4角，（或|AB|等于点A到直线2x+y–6=0的距离的2倍）解法1:由条件知直线AC垂直于直线2x+y–6=0，设直线AC的方程为x-2y+c=0,把A(1,–1)代入得c=-3,故直线AC的方程为x-2y-3=0,10||555||ABAC，设B(x,y),则06210)1()1(22yxyx，解得)2,2(B或)2,4(B，所以直线AB的方程为043yx或023yx解法2:直线AC的斜率为21，由点斜式并化简得，直线AC的方程为x-2y-3=0考虑直线AB,AC的夹角为4，设直线AB,AC的方向向量分别为),1(),1,2(knm则22)1(5|2||,cos|2kknm，解得3k或31k，所以直线AB的方程为043yx或023yx用心爱心专心【名师指引】求直线方程的一般步骤:(1)寻找所求直线的满足的两个条件(2)将条件转化,使转化后的条件更利于列出方程组(3)列方程组求解[例4]过点P（0，1）作直线l，使它被两直线l1:2x+y-8=0和l2：x-3y+10=0所截得的线段被点P平分的直线的方程.【解题思路1】：设出直线l的点斜式方程，分别与直线l1，l2建立方程组，求出交点坐标，再用中点坐标公式求出k,即可求出l的方程；解析1：由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+1联立1280{,ykxxy解得交点坐标是782(,)22KAKK联立13100{,ykxxy解得交点坐标是7101(,)3131KBKK而点P（0，1）是AB的中点，∴7723102kk，解得k=-14，故所求的直线方程为：x+4y-4=0；【解题思路2】：设出l,l1的交点A坐标（x1,y1），通过中点坐标公式求出l与l2的交点B的坐标，然后分别将A,B两点的坐标带入直线l1，l2的方程,联立方程组进行求解;解析2：设直线l与已知l1，l2的交点A（x1,y1）,B（x2,y2）∵P是AB的中点∴12120212{,xxyy即21212{,xxyy带入l2的方程的，得（-x1）-3(2-y1)+10=0,即x1-3y1-4=0联立1111340280{xyxy解得A(4,0)故所求的直线方程为：041004yx，即x+4y-4=0.【名师指引】（1）解法1思路明显,但运算量较大,解法2使用“设而不求”减少了运算量（2）中点弦问题和两条曲线关于某点对称的问题，都可以考虑运用解法2中的“设而不求”【新题导练】7.已知点A（3，4）（1）经过点A且在两坐标轴上截距相等的直线方程为：；（2）经过点A且与两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程为：（3）经过点A且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程为：；（4）经过点A且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线方程为：；[解析]（1）4x－3y＝0或x＋y－7＝0[当直线经过原