3.4-线性方程组的解(教案)

《线性代数》教案-1-§3.3线性方程组的解【计划学时】2【教学目的与要求】（1）理解齐次与非齐次线性方程组解的判定的相关结论(无解,有唯一解或有无限多个解的充分必要条件，包括非齐次线性方程组有解的充分必要条件及齐次线性方程组有非零解的充要条件)；（2）掌握使用矩阵的初等行变换求解线性方程组；（3）会进行线性方程组解的判定与讨论。【教学重难点】（1）线性方程组求解；（2）线性方程组解的判定。【教学手段】讲授【知识回顾】前面学习了矩阵的初等变换以及对矩阵施以初等变换与左乘、右乘可逆矩阵的关系，从而给出了矩阵逆的新的计算方法，然后学习了矩阵秩的概念和求法。矩阵的秩是矩阵在初等变换过程中的一个不变量，体现了矩阵的某些内在的特性，有重要的意义和应用价值，本节将讨论矩阵的秩在线性方程组解的问题上的应用。将给出线性方程组解的判定方法以及在有解情况下解的表示。【教学内容】对于含有n个未知量m个方程的如下线性方程组：mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111(1)其矩阵形式为：bAX关于bXA,,所表示的矩阵在前面以及介绍，下面将要讨论的问题是线性方程组bAX的解的存在性、唯一性以及求解的方法。首先给出下面的定理：定理1对于线性方程组bAX，有以下结论：（ⅰ）bAX无解的充分必要条件是),()(bARAR(或),()(bARAR)（ⅱ）bAX有唯一解的充分必要条件nbARAR),()(（ⅲ）bAX有无数多解的充分必要条件nbARAR),()(.说明：下面首先讲解几个具体的例子，这样会有一个直观上的认识，然后再补充给出该定理的证明。《线性代数》教案-2-例1求解线性方程组0895443313432143214321xxxxxxxxxxxx解：对增广矩阵),(bA作初等行变换得176401764011311~089514431311311),(bA000004147231045432301~000004147231011311~可见2),()(bARAR，方程组有无数组解，且由上面的行最简形可得原方程组同解于：4147234543234433432431xxxxxxxxxx设2413,cxcx，其中21,cc为任意常实数，可将方程组的解记为：Rccccxxxx21214321,004145104743012323例2求解线性方程组32222353132432143214321xxxxxxxxxxxx解：对增广矩阵),(bA作初等行变换得200001045011321~104501045011321~322122351311321),(bA可见3),(,2)(bARAR，故方程组无解。说明：将以上的解题过程一般化，则可以得到定理1的证明。《线性代数》教案-3-定理1部分证明：设nrAR)(，对线性方程组bAX的增广矩阵),(bA进行初等行变换，总可以化为下面的行最简形：000000000000000001000100011,12,2211,111~rrrnrrrnrnddbbdbbdbbB记Trdddd)0,,0,,,,(121，则线性方程组bAX同解于方程组dXB~（要能写成相应的线性方程组形式）。(1)当01rd时，方程组dXB~无解，而此时1)~(),()(rBRbARAR。(2)反之，若01rd，则nrbARAR),()(，方程组dXB~有无数解（有效方程个数小于未知数个数）。~B对应的方程组为:rnrnrrrrnrnrnrnrdxbxbxdxbxbxdxbxbx,112,212121,11111令rnnrrcxcxcx,,,2211，即得方程组的含有rn个参数的解:0010011,,1111111,111,111111rrnrrnrnrrnrnrnrrrnrnnrrddbbcbbcccdcbcbdcbcbxxxx记为由于参数rnccc,,21可以任意取值，所以方程组有无数个解。（当rnccc,,21取定一组值，上式将得到原方程组的一组解，因此称之为原方程组的通解。）(3)若nAR)(，则bAX的增广矩阵),(bA进行初等行变换化成行最简形为：ndddB100010000121~则方程组bAX有唯一解:nndxdxdx,,,2211。《线性代数》教案-4-例3设有线性方程组32132132113101xxxxxxxxx）（）（）（问取何值时，此方程组（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无限解？并在有无数解时表示出所有解。解法1对增广矩阵作初等行变换得01113111111~11131110111),(bA)3)(1()3(0030111~)1()2(030111~（1）当3)()(3-0BRAR时，且，方程组有唯一解；（2）当2)(1)(0BRAR，时，，方程组无解；（3）当2)()(3-BRAR时，，方程组有无数解，这时00002-1-101-1-01~0000633-03-2-11~),(bA由此得到：213231xxxx设cx3，方程组的全部解可以表示为：Rccxxx,021111321解法2由于系数矩阵A为3阶方阵，则3),()(bARAR，则方程组有唯一解的充要条件是3)(AR，则0A，则有2)3(111111111A（1）当0且3时，方程组有唯一解。（2）当0时000010000111~011131110111),(bA《线性代数》教案-5-此时2),(,1)(bARAR，故方程组无解。（3）当3时000021101101~321131210112),(bA此时32),()(bARAR，方程组有无数多个解，其全部解为：Rccxxx,021111321【思考】解法1和解法2的比较？（比较发现，解法2较解法1简单，但解法2只适合于系数矩阵为方阵时的情形。）由定理1容易得到下面的定理2和定理3，将线性方程组bAX推广到矩阵方程BAX，又可以得到下面的定理4。定理2线性方程组bAX有解的充分必要条件是),()(bARAR。定理3n元齐次线性方程组0AX有非零解的充分必要条件是nAR)(。例4（自学P72例10）定理4矩阵方程BAX有解的充分必要条件是),()(BARAR。证明：设A为nm矩阵，设B为lm矩阵，设X为ln矩阵，把X和B按列分块，记为),,(),,,(2121llBBBBXXXX，则矩阵方程BAX等价于l个向量方程),2,1(liBAXii。（1）充分性：设),()(BARAR，由于),(),()(BARBARARi∴),()(iBARAR),2,1(li。由上面的定理2的结论知),2,1(liBAXii都有解，故矩阵方程BAX有解。（2）必要性：矩阵方程BAX有解，则),2,1(liBAXii都有解，设它们的解分别为),2,1(21lixxxXniiii记),,(21nA，其中),2,1(njj是矩阵A的列向量，则有),2,1(12211liBxxxxnjinniiijji《线性代数》教案-6-对矩阵),,,,,(),(2121lnBBBAAABA作初等列变换可以把),(BA的第lnnn,2,1列都变成了0向量，即),(~),(OABAC，)(),(ARBAR证毕定理5)}(),(min{)(BRARABR证明：设CAB则矩阵方程CAX有解为BX，由定理4有),()(CARAR，显然有),()(CARCR，则)()(ARCR，又考虑TTTCAB同理得到)()(TTBRCR，则)()(BRCR，综合之得)}(),(min{)(BRARABR证毕。【小结】本课学习的主要内容有：（1）n元线性方程组bAX的解的判定（ⅰ）无解的充分必要条件是),()(bARAR（ⅱ）有唯一解的充分必要条件nbARAR),()(（ⅲ）有无限多解的充分必要条件nbARAR),()(.（2）求解线性方程组的步骤（ⅰ）写出增广矩阵并化行最简形；（ⅱ）有解判定；（ⅲ）有解的情况下，表示出解（特别对于有无数解的情形）。（3）一些结论（ⅰ）bAX有解),()(bARAR（ⅱ）0AX有非零解nAR)(（ⅲ）BAX有解),()(BARAR（iV）)}(),(min{)(BRARABR【作业】P79T13(2),T14(2),T16