第九章解析几何9.4直线与圆圆与圆的位置关系

洪老师的高考必备资料库特供-1-§9.4直线与圆、圆与圆的位置关系考纲展示►1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．考点1直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系(1)三种位置关系：________、________、________.(2)两种研究方法：(3)圆的切线方程常用结论：①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.答案：(1)相交相切相离(2)①相交相切相离②相交2r2－d2洪老师的高考必备资料库特供-2-相切相离(1)[教材习题改编]圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是()A．相切B．相交但直线不过圆心C．相交过圆心D．相离答案：B解析：由题意知，圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离d＝|2×1－2－5|22＋1＝56，且2×1＋(－2)－5≠0，所以直线与圆相交但不过圆心．(2)[教材习题改编]圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，3)处的切线方程为________．答案：x－3y＋2＝0解析：圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，圆心坐标为(2,0)，半径为2，点P在圆上．易知切线的斜率存在，设切线方程为y－3＝k(x－1)，即kx－y－k＋3＝0，∴|2k－k＋3|k2＋1＝2，解得k＝33，∴切线方程为y－3＝33(x－1)，即x－3y＋2＝0.圆的切线：注意切线的条数．过点(2,3)作圆x2＋y2＝4的切线，则切线方程为________．答案：5x－12y＋26＝0或x－2＝0解析：当切线斜率不存在时，可得切线方程为x－2＝0.当切线斜率存在时，设切线方程为y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0，由圆心到切线的距离等于半径得|3－2k|k2＋1＝2，解得k＝512，洪老师的高考必备资料库特供-3-所以切线方程为y－3＝512(x－2)，即5x－12y＋26＝0.综上可知，切线方程为5x－12y＋26＝0或x－2＝0.[典题1](1)[2017·湖北七市联考]将直线x＋y－1＝0绕点(1,0)沿逆时针方向旋转15°得到直线l，则直线l与圆(x＋3)2＋y2＝4的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．相交或相切[答案]B[解析]依题意得，直线l的方程是y＝tan150°(x－1)，即x＋3y－1＝0，圆心(－3,0)到直线l的距离d＝|－3－1|3＋1＝2，因此该直线与圆相切．(2)[2017·陕西西安一模]直线(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)与圆x2＋y2－2x＋2y－7＝0的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定[答案]B[解析]解法一：x2＋y2－2x＋2y－7＝0化为圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝9，故圆心坐标为(1，－1)，半径r＝3，圆心到直线的距离d＝a＋－a－＋2a|a＋2＋a－2＝|2a＋2|2a2＋2.再根据r2－d2＝9－4a2＋8a＋42a2＋2＝7a2－4a＋7a2＋1，而7a2－4a＋7＝0的判别式Δ＝16－196＝－180＜0，故有r2＞d2，即d＜r，故直线与圆相交．解法二：由(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)，整理得x－y＋a(x＋y＋2)＝0，则由x－y＝0，x＋y＋2＝0，解得x＝－1，y＝－1，即直线(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)过定点(－1，－1)，又(－1)2＋(－1)2－2×(－1)＋2×(－1)－7＝－5＜0，则点(－1，－1)在圆x2＋y2－2x＋2y－7＝0的内部，故直线(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a洪老师的高考必备资料库特供-4-∈R)与圆x2＋y2－2x＋2y－7＝0相交．(3)已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12.①求证：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；②求直线l被圆C截得的最短弦长．解法一：①[证明]由y＝kx＋1，x－2＋y＋2＝12消去y，得(k2＋1)x2－(2－4k)x－7＝0，因为Δ＝(2－4k)2＋28(k2＋1)0，所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．②[解]设直线与圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则直线l被圆C截得的弦长|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝28－4k＋11k21＋k2＝211－4k＋31＋k2，令t＝4k＋31＋k2，则tk2－4k＋(t－3)＝0，当t＝0时，k＝－34；当t≠0时，因为k∈R，所以Δ＝16－4t(t－3)≥0，解得－1≤t≤4，且t≠0，故t＝4k＋31＋k2的最大值为4，此时|AB|最小为27.则直线l被圆C截得的最短弦长为27.解法二：①[证明]因为不论k为何实数，直线l总过点P(0,1)，而|PC|＝523＝r，所以点P(0,1)在圆C的内部，即不论k为何实数，直线l总经过圆C内部的定点P.所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．②[解]由平面几何知识知，过圆内定点P(0,1)的弦，只有与PC(C为圆心)垂直时才最短，而此时点P(0,1)为弦AB的中点，由勾股定理知，|AB|＝212－5＝27，即直线l被圆C截得的最短弦长为27.[点石成金]判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法．考点2切线、弦长问题洪老师的高考必备资料库特供-5-[教材习题改编]过点P(1,0)的直线l被圆O：(x－1)2＋(y－1)2＝1截得的弦长为2，则直线l的斜率为________．答案：1或－1解析：点P(1,0)在圆O上，而圆O的半径为1，由图(图略)可知直线l的斜率为1或－1.1.圆的弦长问题：几何法．直线x＋3y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于________．答案：23解析：由题意可知，圆心(0,0)到直线x＋3y－2＝0的距离为|0＋3×0－2|12＋32＝1，则|AB|＝222－12＝23.2．圆的切线方程问题：代数法或数形结合法．过点P(－1,0)作圆(x－1)2＋y2＝1的切线，则切线方程是________．答案：y＝±33(x＋1)解析：作出图形(图略)，可知过点P(－1,0)的圆的切线的倾斜角为30°或150°，所以切线方程为y＝±33(x＋1).[典题2](1)已知圆C过点(－1,0)，且圆心在x轴的负半轴上，直线l：y＝x＋1被该圆所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l平行的直线方程为________．[答案]x－y＋3＝0[解析]设圆心为(a,0)(a＜0)，则圆的半径r＝|a＋1|，圆心(a,0)到y＝x＋1的距离为|a＋1|2，洪老师的高考必备资料库特供-6-由截得的弦长为22，得|a＋1|2＝|a＋1|22＋2，解得a＝－3，所以过圆心且与l平行的直线为y－0＝x＋3，即x－y＋3＝0.(2)已知点P(2＋1,2－2)，点M(3,1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.①求过点P的圆C的切线方程；②求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．[解]由题意，得圆心C(1,2)，半径r＝2.①∵(2＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4，∴点P在圆C上．又kPC＝2－2－22－1－1＝－1，∴切线的斜率k＝－1kPC＝1.∴过点P的圆C的切线方程是y－(2－2)＝1×[x－(2＋1)]，即x－y＋1－22＝0.②∵(3－1)2＋(1－2)2＝54，∴点M在圆C外部．当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，即此时满足题意，所以直线x＝3是圆的切线．当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，则圆心C到切线的距离d＝|k－2＋1－3k|k2＋1＝r＝2，解得k＝34.∴切线方程为y－1＝34(x－3)，即3x－4y－5＝0.综上可得，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.∵|MC|＝－2＋－2＝5，∴过点M的圆C的切线长为|MC|2－r2＝5－4＝1.[点石成金]1.圆的切线方程的两种求法(1)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.(2)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.[提醒]若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则过点M的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.2．弦长的两种求法洪老师的高考必备资料库特供-7-(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2r2－d2.[提醒]代数法计算量较大，我们一般选用几何法.1.[2017·重庆调研]过点(－2,3)的直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|取得最小值时l的方程为()A．x－y＋5＝0B．x＋y－1＝0C．x－y－5＝0D．2x＋y＋1＝0答案：A解析：由题意，得圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，则圆心C(－1,2)．过圆心与点(－2,3)的直线l1的斜率为k＝3－2－2－－＝－1.当直线l与l1垂直时，|AB|取得最小值，故直线l的斜率为1，所以直线l的方程为y－3＝x－(－2)，即x－y＋5＝0.2．过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P，Q，则线段PQ的长为________．答案：4解析：将圆的方程化为标准方程(x－3)2＋(y－4)2＝5，则圆心为(3,4)，半径为5.由题意可设切线方程为y＝kx，则圆心(3,4)到直线y＝kx的距离等于半径，即|3k－4|k2＋1＝5，解得k＝12或k＝112，则切线方程为y＝12x或y＝112x.联立切线方程与圆的方程，解得两切点P，Q的坐标分别为(4,2)，45，225，由两点间的距离公式得|PQ|＝4.考点3圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系洪老师的高考必备资料库特供-8-设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r10)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r20).方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离________________________________外切________________________________相交________________________________内切________________________内含________________________答案：dr1＋r2无解d＝r1＋r2一组实数解|r1－r2|dr1＋r2两组不同的实数解d＝|r1－r2|(r1≠r2)一组实数解0≤d|r1－r2|(r1≠r2)无解(1)[教材习题改编]圆O1：(x＋2)2＋y2＝4与圆O2：(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为________．答案：相交解析：两圆圆心分别为O1(－2,0)，O2(2,1)，半径长分别为r1＝2，r2＝3.∵|O1O2|＝[2－－2＋－2＝17，3－2173＋2，∴两圆相交．(2)[教材习题改编]圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________．答案：22解析：由