第九章解析几何9.8曲线与方程

洪老师的高考必备资料库特供-1-§9.8曲线与方程考纲展示►了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.考点1直接法求轨迹方程1.曲线与方程一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是________的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是________的点．那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．曲线可以看作是符合某条件的点的集合，也可看作是适合某种条件的点的轨迹，因此，此类问题也叫轨迹问题．答案：(1)这个方程(2)曲线上2．求曲线方程的基本步骤洪老师的高考必备资料库特供-2-[典题1](1)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.①求动圆圆心的轨迹C的方程；②已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明：直线l过定点．①[解]如图，设动圆圆心为O1(x，y)，由题意，|O1A|＝|O1M|，当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点．∴|O1M|＝x2＋42，又|O1A|＝x－2＋y2，∴x－2＋y2＝x2＋42，化简得y2＝8x(x≠0)．当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0,0)也满足方程y2＝8x，∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.②[证明]由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将y＝kx＋b代入y2＝8x，得k2x2＋(2kb－8)x＋b2＝0.其中Δ＝－32kb＋640.由根与系数的关系，得x1＋x2＝8－2kbk2，①x1x2＝b2k2，②因为x轴是∠PBQ的角平分线，洪老师的高考必备资料库特供-3-所以y1x1＋1＝－y2x2＋1，即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0，2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0，③将①②代入③，得2kb2＋(k＋b)(8－2kb)＋2k2b＝0，∴k＝－b，此时Δ0，∴直线l的方程为y＝k(x－1)，即直线l过定点(1,0)．(2)在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1,1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于－13.求动点P的轨迹方程．[解]因为点B与点A(－1,1)关于原点O对称，所以点B的坐标为(1，－1)．设点P的坐标为(x，y)，由题意得y－1x＋1·y＋1x－1＝－13，化简得x2＋3y2＝4(x≠±1)．故动点P的轨迹方程为x2＋3y2＝4(x≠±1)．[点石成金]直接法求曲线方程时，最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系，则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．考点2定义法求轨迹方程[典题2]已知动圆C与圆C1：(x＋1)2＋y2＝1相外切，与圆C2：(x－1)2＋y2＝9相内切，设动圆圆心C的轨迹为T，且轨迹T与x轴右半轴的交点为A.(1)求轨迹T的方程；(2)已知直线l：y＝kx＋m与轨迹T相交于M，N两点(M，N不在x轴上)．若以MN为直径的圆过点A，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．[解](1)设动圆C的半径为r，则|CC1|＝r＋1，|CC2|＝3－r，∴|CC1|＋|CC2|＝4.∴点C的轨迹是以C1，C2为焦点(c＝1)，长轴长为2a＝4的椭圆，洪老师的高考必备资料库特供-4-∴点C的轨迹T的方程是x24＋y23＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，将y＝kx＋m代入椭圆方程，得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.∴x1＋x2＝－8km4k2＋3，x1x2＝4m2－124k2＋3.①∵以MN为直径的圆过点A，点A的坐标为(2,0)，∴AM→·AN→＝0，即(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0.②∵y1＝kx1＋m，y2＝kx2＋m，∴y1y2＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2.③将①③代入②，得7m2＋16km＋4k2＝0.∴mk＝－27或mk＝－2，且都满足Δ＞0.由于直线l：y＝kx＋m与x轴的交点为－mk，0，当mk＝－2时，直线l恒过定点(2,0)，不合题意，舍去．∴mk＝－27，∴直线l：y＝kx－27恒过定点27，0.[点石成金]1.运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可从曲线定义出发直接写出方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出方程．2．定义法和待定系数法适用于已知曲线的轨迹类型，其方程是几何形式的情况．利用条件把待定系数求出来，使问题得解.如图，已知△ABC的两顶点坐标A(－1,0)，B(1,0)，圆E是△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，|CP|＝1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等)，动点C的轨迹为曲线M.求曲线M的方程．洪老师的高考必备资料库特供-5-解：由题知|CA|＋|CB|＝|CP|＋|CQ|＋|AP|＋|BQ|＝2|CP|＋|AB|＝4＞|AB|，所以曲线M是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(挖去与x轴的交点)．设曲线M：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0，y≠0)，则a2＝4，b2＝a2－|AB|22＝3，所以曲线M的方程为x24＋y23＝1(y≠0)．考点3代入法求轨迹方程[典题3][2017·山东泰安质检]如图所示，动圆C1：x2＋y2＝t2,1＜t＜3，与椭圆C2：x29＋y2＝1相交于A，B，C，D四点，点A1，A2分别为C2的左，右顶点．(1)当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积；(2)求直线AA1与直线A2B的交点M的轨迹方程．[解](1)设A(x0，y0)，则S矩形ABCD＝4|x0y0|，由x209＋y20＝1得y20＝1－x209，从而x20y20＝x201－x209＝－19x20－922＋94.当x20＝92，y20＝12时，Smax＝6.从而t2＝x20＋y20＝5，t＝5，∴当t＝5时，矩形ABCD的面积取得最大值，最大值为6.洪老师的高考必备资料库特供-6-(2)由椭圆C2：x29＋y2＝1知，A1(－3,0)，A2(3,0)，由曲线的对称性及A(x0，y0)，得B(x0，－y0)，设点M的坐标为(x，y)，直线AA1的方程为y＝y0x0＋3(x＋3)，①直线A2B的方程为y＝－y0x0－3(x－3)．②由①②，得y2＝－y20x20－9(x2－9)．③又点A(x0，y0)在椭圆C上，故y20＝1－x209.④将④代入③得x29－y2＝1(x＜－3，y＜0)．∴点M的轨迹方程为x29－y2＝1(x＜－3，y＜0)．[点石成金]代入法求轨迹方程的四个步骤(1)设出所求动点坐标P(x，y)．(2)寻求所求动点P(x，y)与已知动点Q(x′，y′)的关系．(3)建立P，Q两坐标间的关系，并表示出x′，y′.(4)将x′，y′代入已知曲线方程中化简求解.1.[2017·宁夏银川模拟]动点A在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是________．答案：(2x－3)2＋4y2＝1解析：设中点M(x，y)，由中点坐标公式，可得A(2x－3,2y)，∵点A在圆上，将点A坐标代入圆的方程，∴轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.2．设F(1,0)，点M在x轴上，点P在y轴上，且MN→＝2MP→，PM→⊥PF→.当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程．解：设M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，∵PM→⊥PF→，PM→＝(x0，－y0)，PF→＝(1，－y0)，∴(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，洪老师的高考必备资料库特供-7-∴x0＋y20＝0.由MN→＝2MP→，得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)，∴x－x0＝－2x0，y＝2y0，即x0＝－x，y0＝12y，∴－x＋y24＝0，即y2＝4x.故所求点N的轨迹方程是y2＝4x.[方法技巧]求轨迹方程的三种方法：(1)直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量(如距离与角)的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系转化为x，y的等式就得到曲线的轨迹方程．(2)定义法：其动点的轨迹符合某一基本轨迹(如直线或圆锥曲线)的定义，则可根据定义设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程．(3)代入法(相关点法)：所求动点M是随着另一动点P(称之为相关点)而运动的．如果相关点P所满足某一曲线方程，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把相关点代入曲线方程，就把相关点所满足的方程转化为动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法．[易错防范]1.求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系．检验可从以下两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合题目的实际意义．2．求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等．真题演练集训1．[2016·新课标全国卷Ⅰ]设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．解：(1)因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC.所以|EB|＝|ED|，洪老师的高考必备资料库特供-8-故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4.由题设得A(－1,0)，B(1,0)，|AB|＝2，由椭圆定义可得，点E的轨迹方程为x24＋y23＝1(y≠0)．(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．由y＝kx－，x24＋y23＝1，得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，则x1＋x2＝8k24k2＋3，x1x2＝4k2－124k2＋3，所以|MN|＝1＋k2|x1－x2|＝k2＋4k2＋3.过点B(1,0)且与l垂直的直线m：y＝－1k(x－1)，A到m的距离为2k2＋1，所以|PQ|＝242－2k2＋12＝44k2＋3k2＋1.故四边形MPNQ的面积为S＝12|MN||PQ|＝121＋14k2＋3.可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12,83)．当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，四边形MPNQ的面积为12.综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12,83)．2．[2016·湖北卷]一种作图工具如图①所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN＝ON＝1，MN＝3.当栓子D在滑槽AB内做往复运动时，带动．．N绕O转动一周(D不动时，N也不动)，M处的笔尖画出的曲线记为C.以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图②所示的平面直角坐标系．①②(1)求曲线C的方程；(2)设动直线l与两定直线l1：x－2y＝0和l2：x＋2y＝0分别交于P，Q两点．若直线l洪老师的高考必备资料库特供-9-总与曲线C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．解：(1)设点D(t,0)(|t|≤2)，N(x0，y0)，M(x，y)，依题意，MD→＝2DN→，且|DN→|＝|ON→|＝1，所以(t－x，－y)＝2(x0－t，y0)，且x0－t2＋y20＝1，x20＋y20