【创新方案】2013年高考数学一轮复习 第九篇 解析几何 第1讲 直线的方程教案 理 新人教版

1第1讲直线的方程【2013年高考会这样考】1．考查直线的有关概念，如直线的倾斜角、斜率、截距等；考查过两点的斜率公式．2．求不同条件下的直线方程(点斜式、两点式及一般式等)．3．直线常与圆锥曲线结合，属中高档题．【复习指导】1．本讲是解析几何的基础，复习时要掌握直线方程的几种形式及相互转化的关系，会根据已知条件求直线方程．2．在本讲的复习中，注意熟练地画出图形，抓住图形的特征量，利用该特征量解决问题往往能达到事半功倍的效果．基础梳理1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角，当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)倾斜角的取值范围：[0，π)．2．直线的斜率(1)定义：当α≠90°时，一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是90°的直线，其斜率不存在．(2)经过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝y2－y1x2－x1.3．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y－y1＝k(x－x1)不含垂直于x轴的直线斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1(x1≠x2，y1≠y2)不含垂直于坐标轴的直线截距式xa＋yb＝1(ab≠0)不含垂直于坐标轴和过2原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)平面直角坐标系内的直线都适用4.过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程(1)若x1＝x2，且y1≠y2时，直线垂直于x轴，方程为x＝x1.(2)若x1≠x2，且y1＝y2时，直线垂直于y轴，方程为y＝y1.(3)若x1≠x2，且y1≠y2时，方程为y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1.5．线段的中点坐标公式若点P1、P2的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则x＝x1＋x22，y＝y1＋y22，此公式为线段P1P2的中点坐标公式．一条规律直线的倾斜角与斜率的关系：斜率k是一个实数，当倾斜角α≠90°时，k＝tanα.直线都有倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为90°的直线无斜率．两种方法求直线方程的方法：(1)直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，直接求出方程中系数，写出直线方程；(2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程．再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程．两个注意(1)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论．(2)在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论．双基自测1．(人教A版教材习题改编)直线经过点(0,2)和点(3,0)，则它的斜率为()．A.23B.32C．－23D．－32解析k＝0－23－0＝－23.答案C32．直线3x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角为()．A．30°B．60°C．150°D．120°解析直线的斜率为：k＝tanα＝3，又∵α∈[0，π)∴α＝60°.答案B3．(2011·龙岩月考)已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－34.则直线l的方程为()．A．3x＋4y－14＝0B．3x－4y＋14＝0C．4x＋3y－14＝0D．4x－3y＋14＝0解析由y－5＝－34(x＋2)，得3x＋4y－14＝0.答案A4．(2012·烟台调研)过两点(0,3)，(2,1)的直线方程为()．A．x－y－3＝0B．x＋y－3＝0C．x＋y＋3＝0D．x－y＋3＝0解析由两点式得：y－31－3＝x－02－0，即x＋y－3＝0.答案B5．(2012·长春模拟)若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为________．解析∵kAC＝5－36－4＝1，kAB＝a－35－4＝a－3.由于A、B、C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4.答案4考向一直线的倾斜角与斜率【例1】►若直线l：y＝kx－3与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是()．A.π6，π3B.π6，π2C.π3，π2D.π3，π2[审题视点]确定直线l过定点(0，－3)，结合图象求得．解析由题意，可作两直线的图象，如图所示，从图中可以看出，直线l的倾斜角的取值范围为π6，π2.答案B4求直线的倾斜角与斜率常运用数形结合思想．当直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需根据正切函数y＝tanα的单调性求k的范围，数形结合是解析几何中的重要方法．【训练1】(2012·贵阳模拟)直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是()．A．－1＜k＜15B．k＞1或k＜12C．k＞15或k＜1D．k＞12或k＜－1解析设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，直线在x轴上的截距为1－2k，令－3＜1－2k＜3，解不等式可得．也可以利用数形结合．答案D考向二求直线的方程【例2】►求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的－14；(3)过点A(1，－1)与已知直线l1：2x＋y－6＝0相交于B点且|AB|＝5.[审题视点]选择适当的直线方程形式，把所需要的条件求出即可．解(1)法一设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，∴l的方程为y＝23x，即2x－3y＝0.若a≠0，则设l的方程为xa＋ya＝1，∵l过点(3,2)，∴3a＋2a＝1，∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0，综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.法二由题意，所求直线的斜率k存在且k≠0，设直线方程为y－2＝k(x－3)，令y＝0，得x＝3－2k，令x＝0，得y＝2－3k，由已知3－2k＝2－3k，解得k＝－1或k＝23，5∴直线l的方程为y－2＝－(x－3)或y－2＝23(x－3)，即x＋y－5＝0或2x－3y＝0.(2)设所求直线的斜率为k，依题意k＝－14×3＝－34.又直线经过点A(－1，－3)，因此所求直线方程为y＋3＝－34(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.(3)过点A(1，－1)与y轴平行的直线为x＝1.解方程组x＝1，2x＋y－6＝0，求得B点坐标为(1,4)，此时|AB|＝5，即x＝1为所求．设过A(1，－1)且与y轴不平行的直线为y＋1＝k(x－1)，解方程组2x＋y－6＝0，y＋1＝kx－，得两直线交点为x＝k＋7k＋2，y＝4k－2k＋2.(k≠－2，否则与已知直线平行)．则B点坐标为k＋7k＋2，4k－2k＋2.由已知k＋7k＋2－12＋4k－2k＋2＋12＝52，解得k＝－34，∴y＋1＝－34(x－1)，即3x＋4y＋1＝0.综上可知，所求直线的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．6【训练2】(1)求过点A(1,3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的13的直线方程．(2)求经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．解(1)设所求直线的斜率为k，依题意k＝－4×13＝－43.又直线经过点A(1,3)，因此所求直线方程为y－3＝－43(x－1)，即4x＋3y－13＝0.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为x2a＋ya＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－12，此时，直线方程为x＋2y＋1＝0.当直线过原点时，斜率k＝－25，直线方程为y＝－25x，即2x＋5y＝0，综上可知，所求直线方程为x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0.考向三直线方程的应用【例3】►已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如右图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．[审题视点]设直线l的方程为截距式，利用基本不等式可求．解设A(a,0)，B(0，b)，(a＞0，b＞0)，则直线l的方程为xa＋yb＝1，∵l过点P(3,2)，∴3a＋2b＝1.∴1＝3a＋2b≥26ab，即ab≥24.∴S△ABO＝12ab≥12.当且仅当3a＝2b，即a＝6，b＝4.△ABO的面积最小，最小值为12.7此时直线l的方程为：x6＋y4＝1.即2x＋3y－12＝0.求直线方程最常用的方法是待定系数法．若题中直线过定点，一般设直线方程的点斜式，也可以设截距式．注意在利用基本不等式求最值时，斜率k的符号．【训练3】在本例条件下，求l在两轴上的截距之和最小时直线l的方程．解设l的斜率为k(k＜0)，则l的方程为y＝k(x－3)＋2，令x＝0得B(0,2－3k)，令y＝0得A3－2k，0，∴l在两轴上的截距之和为2－3k＋3－2k＝5＋－3k＋－2k≥5＋26，(当且仅当k＝－63时，等号成立)，∴k＝－63时，l在两轴上截距之和最小，此时l的方程为6x＋3y－36－6＝0.难点突破18——直线的倾斜角和斜率的范围问题从近两年新课标高考试题可以看出高考对直线的倾斜角和斜率的考查一般不单独命题，常和导数、圆、椭圆等内容结合命题，难度中档偏上，考生往往对直线的倾斜角和斜率之间的关系弄不清而出错．【示例1】►(2010·辽宁)已知点P在曲线y＝4ex＋1上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是()．A.0，π4B.π4，π2C.π2，3π4D.3π4，π8【示例2】►(2011·济南一模)直线l过点(－2,0)，l与圆x2＋y2＝2x有两个交点时，则直线l的斜率k的取值范围是()．A.()－22，22B．(－2，2)C.－24，24D.－18，189