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Borntowin2018年考研数学二试题与答案解析(完整版)——跨考教育数学教研室一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上.1.若2120lim1xxxeaxbx,则A.1,12abB.1,12abC.1,12abD.1,12ab【答案】B【解析】22022002lnlim21limlim22201limxxxxxxxeaxbeaxbxeaxbxeaxbxxxxxxeaxbxeee02lim02xxeaxbx00lim20112lim022xxxxeaxbbeaxbax2.下列函数中,在0x处不可导的是A.sinfxxxB.sinfxxxC.cosfxxD.cosfxx【答案】D【解析】A可导:-0000sinsinsinsin0limlim0,0limlim0xxxxxxxxxxxxffxxxxB可导:-0000sinsinsinsin0limlim0,0limlim0xxxxxxxxxxxxffxxxxC可导:22000011cos1cos1220limlim0,0limlim0xxxxxxxxffxxxxBorntowinD不可导:000011-cos1cos111220limlim,0limlim2200xxxxxxxxffxxxxff3.设函数2,11,0,,10,1,0,0axxxfxgxxxxxbx若fxgx在R上连续,则A.3,1abB.3,2abC.3,1abD.3,2ab【答案】D【解析】000000111111limlimlim101limlimlim1112limlimlim121limlimlim11221xxxxxxxxxxxxfxgxfxgxfxgxfxgxbbbfxgxfxgxaafxgxfxgxa3a4..设函数fx在0,1上二阶可导,且100,fxdx则A.当0fx时,102fB.当0fx时,102fC.当0fx时,102fD.当0fx时,102f【答案】D【解析】A错误:11000,10111,2,022fxfxdxdxfxxfxB错误:100212111111,033243120,20,fxdxdxfxxffxxBorntowinC错误:1100111,0220,10,2fxdfxxxfxdxfxD正确:由0fx可知函数是凸函数,故由凸函数图像性质即可得出102f5.设2222222211,,1cos,1xxxMdxNdxKxdxxe则A.MNKB.MKNC.KMND.KNM【答案】C【解析】222222(1)11,1cos1,22()1,(0)0,()10,()0;,0()0221,()01NM,C22xxxxMdxdxxxxKMfxxeffxexfxxfxxxfxe时,所以令当时,当时,所以时,有,从可有,由比较定理得故选6.2202121011xxxxdxxydydxxydyA.53B.56C.73D.76【答案】C【解析】如图,220212107(1)(1)(1)3xxDxxDDdxxydydxxydyxydxdydxdyS.Borntowin7.下列矩阵中,与矩阵110011001相似的为A.111011001B.101011001C.111010001D.101010001【答案】A【解析】方法一:排除法令110011001Q,特征值为1,1,1,2rEQ选项A:令111011001A,A的特征值为1,1,1,0110012000rEAr选项B:令101011001B,B的特征值为1,1,1,0010011000rEBr选项C:令111010001C,C的特征值为1,1,1,0110001000rECr选项B:令101010001D,D的特征值为1,1,1,0010001000rEDrBorntowin若矩阵Q与J相似,则矩阵EQ与EJ相似,从而rEQrEJ,故选(A)方法二:构造法(利用初等矩阵的性质)令110010001P,1110010001P1110111011011001001PP,所以110111011011001001与相似故选(A)8.设,AB为n阶矩阵,记()rX为矩阵X的秩,(,)XY表示分块矩阵,则A.()().rAABrAB.()().rABArAC.()max{()()}.rABrArB,D.()().TTrABrAB【答案】(A)【解析】(,)(,)[(,)]()rEBnrAABrAEBrA故选(A)二、填空题:914小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸...指定位置上.9.2lim[arctan(1)arctan]xxxx____________.【答案】1【解析】原式221lim1,(,1)1xxxx拉格朗日中值定理.10.曲线22lnyxx在其拐点处的切线方程是__________________.【答案】43yx【解析】22lnyxx,定义域为{0}xx,2'2yxx,22''2yx,令''0y,则01x,由于0x,故01x,故拐点为(1,1),0'()4yx,则过拐点(1,1)的切线方程为14(1)yx即43yx.Borntowin11.25143dxxx________________________.【答案】1ln22【解析】25143dxxx51(3)(1)dxxx5111()231dxxx513ln21xx1353limlnln2151xxx1ln2212.曲线33cossinxtyt,在4t对应点处的曲率为______________.【答案】23【解析】22sincos'tan3cos(sin)ttyttt,4'1ty,2244sec1''3cossin3cossinttytttt,45142''323()2ty,3322242''233(1')(11)yky.13.设函数(,)zzxy由方程1lnzzexy确定,则1(2,)2zx____________.【答案】14【解析】根据题意,得1z(2,)12,对方程两边同时对x偏导数并讲点代入,得1(2,)2zx14.14.设A为3阶矩阵,123,,为线性无关的向量组.若11232A,2232A,323A,则A的实特征值为_______________.【答案】2【解析】123123123200(,,)(,,)(,,)111121AAAABorntowin123,,线性无关,123,,P可逆,1200111121PAPBAB与相似,特征值相等22230EB实特征值2三、解答题:15—23小题,共94分.请将解答写在答题纸...指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本题满分10分)求不定积分2arctan1xxeedx.【答案】32211(tan1(1)1)23xxxxearceeeC【解析】2222223221arctan1211(arctan1)211211(arctan1)2211=(arctan1)22111=(arctan111)23xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxedeeeeedxeeeeedxeeeedeeeeeeC原式21xxxedee,令221,1,ln(1)xxetetxt3222322(1)211(1)(1)1213321xxxxxettdedttdtttCeeCtte故原式32211(tan1(1)1)23xxxxearceeeC16.(本题满分10分)已知连续函数()fx满足200()()xxftdttfxtdtax.Borntowin(I)求()fx;(II)若()fx在区间[0,1]上的平均值为1,求a的值。【答案】(I)()(22)xxfxeaea;(II)2ea【解析】(I)00020000()()()()()()()()2,()()2,()(2),0(0)02,()(22).xxxxxxxxxxxtfxtdtxtuxfuduufuduftdtxfuduufuduaxxfxfuduaxfxfxafxeaeCxfCafxeaea令则有,两边同时对求导,则有故由于当时,,则综上(II)由于10()1fxdx,则110(22)122(1)1.2xxeeaeadxaaea17.(本题满分10分)设平面区域D由曲线sin(02)1cosxtttyt与x轴围成,计算二重积分(2)Dxydxdy.【答案】235【解析】如图:则2()00()2200220(2)(2)[()][()(())]Dyxyxxydxdydxxydyxyydxxyxyxdx令sinxtt22320(sin)(1)(1cos)35.ttcosttdt18.(本题满分10分)已知常数ln21k,证明:2(1)(ln2ln1)0xxxkx【解析】当01x时,10x.只需证明2ln2ln10xxkx即可.设2ln2ln1,fxxxkx则Bornto
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