1.3-反证法-课件(北师大选修2-2)

第一章§3理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三1．问题：在今天商品大战中，广告成了电视节目中的一道美丽的风景线，几乎所有的广告商都熟谙这样的命题变换艺术．如宣传某种食品，其广告词为：“拥有的人们都幸福，幸福的人们都拥有”．该广告词实际说明了什么？提示：说的是“不拥有的人们不幸福”．2．已知正整数a，b，c满足a2＋b2＝c2.求证：a，b，c不可能都是奇数．问题1：你能利用综合法和分析法给出证明吗？提示：不能．问题2：a，b，c不可能都是奇数的反面是什么？此时，还满足条件a2＋b2＝c2吗？提示：a，b，c都是奇数．此时不满足条件a2＋b2＝c2.1．反证法的定义在证明数学命题时，先假定成立，在这个前提下，若推出的结果与、、相矛盾，或与命题中的相矛盾，或与相矛盾，从而断定不可能成立，由此断定成立，这种证明方法叫作反证法．命题结论的反面定义公理定理已知条件假定命题的反面命题的结论2．反证法的证题步骤(1)作出的假设；(2)进行推理，；(3)，肯定结论．否定结论导出矛盾否定假设1．反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题结论的目的．2．可能出现矛盾的四种情况：(1)与题设矛盾；(2)与假定矛盾；(3)与公理、定理或已被证明了的结论矛盾；(4)在证明过程中，推出自相矛盾的结论．[例1]已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：a，b，c不成等差数列．[思路点拨]此题为否定形式的命题，可选用反证法，证题关键是利用等差中项、等比中项．[精解详析]假设a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，即a＋c＋2ac＝4b，而b2＝ac，即b＝ac，∴a＋c＋2ac＝4ac，∴(a－c)2＝0，即a＝c，从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，故a，b，c不成等差数列．[一点通](1)对于这类“否定”型命题，显然从正面证明需要证明的情况太多，不但过程繁琐，而且容易遗漏，故可以考虑采用反证法．一般地，当题目中含有“不可能”“都不”“没有”等否定性词语时，宜采用反证法证明．(2)反证法证明“肯定”型命题适宜于结论的反面比原结论更具体更容易研究和掌握的命题．1．用反证法证明2＋33.证明：假设2＋33不成立，则2＋3≤3.平方得：2＋26＋3≤9，即6≤2,6≤4，这与实数的大小关系相矛盾，所以2＋33.2．已知a是整数，a2是偶数，求证：a也是偶数．证明：假设a不是偶数，则a为奇数．设a＝2m＋1(m为整数)，则a2＝4m2＋4m＋1.∵4(m2＋m)是偶数，∴4m2＋4m＋1为奇数，即a2为奇数，与已知矛盾．∴a一定是偶数.[例2]求证函数f(x)＝2x＋1有且只有一个零点．[思路点拨]一般先证存在性，再用反证法证唯一性．[精解详析](1)存在性：因为2×(－12)＋1＝0，所以－12为函数f(x)＝2x＋1的零点．所以函数f(x)＝2x＋1至少存在一个零点．(2)唯一性：假设函数f(x)＝2x＋1除－12外还有零点x0x0≠－12，则f－12＝f(x0)＝0.即2×－12＋1＝2x0＋1.∴x0＝－12，这与x0≠－12矛盾．故假设不成立，即函数f(x)＝2x＋1除－12外没有零点．综上所述，函数f(x)＝2x＋1有且只有一个零点．[一点通](1)结论以“有且只有”、“只有一个”、“唯一存在”等形式出现的“唯一”型命题，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证明简单而又明了．(2)“有且只有”的含义有两层．①存在性：本题中只需找到函数f(x)＝2x＋1的一个零点即可．②唯一性：正面直接证明较为困难，故可采用反证法寻求矛盾，从而证明原命题的正确性．3．过平面α上一点A，作直线a⊥α，求证：a是唯一的．证明：假设a不是唯一的，则过点A至少还有一条直线b满足b⊥α.∵a，b是相交直线，∴a，b可以确定一个平面β.设α和β相交于过点A的直线c.∵a⊥α，b⊥α，∴a⊥c，b⊥c，又a∩b＝A，∴c⊥β.这与cβ矛盾．故过点A垂直于平面α的直线有且只有一条，即a是唯一的．4．用反证法证明：过已知直线a外一点A只有一条直线b与已知直线a平行．证明：假设过点A还有一条直线b′与已知直线a平行，即b∩b′＝A，b′∥a.因为b∥a，由平行公理知b′∥b.这与假设b∩b′＝A矛盾，所以过直线外一点只有一条直线与已知直线平行.[例3]已知a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋π2，b＝y2－2z＋π3，c＝z2－2x＋π6.求证：a，b，c中至少有一个大于0.[精解详析]假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0.所以a＋b＋c≤0.而a＋b＋c＝x2－2y＋π2＋y2－2z＋π3＋z2－2x＋π6＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3.所以a＋b＋c0.这与a＋b＋c≤0矛盾，故a，b，c中至少有一个大于0.[一点通](1)对于否定性命题或结论中出现“至多”“至少”“不可能”等字样时，常用反证法．(2)常用的“原结论词”与“反设词”归纳如下表：原结论词至少有一个至多有一个至少有n个至多有n个反设词一个也没有(不存在)至少有两个至多有n－1个至少有n＋1个5．已知x，y0，且x＋y2.求证：1＋xy，1＋yx中至少有一个小于2.证明：假设1＋xy，1＋yx都不小于2.即1＋xy≥2，1＋yx≥2.∵x0，y0，∴1＋x≥2y,1＋y≥2x.∴2＋x＋y≥2(x＋y)，即x＋y≤2，这与已知x＋y2矛盾．∴1＋xy，1＋yx中至少有一个小于2.6．用反证法证明：若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根．证明：假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个实根，不妨设α，β为其两个实根，且α＜β，则f(α)＝f(β)＝0.因为函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，又α＜β，所以f(α)＜f(β)，这与假设f(α)＝f(β)＝0相矛盾．所以方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根．用反证法证题要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的．(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．(3)推导出来的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与定理、公理相矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的．