1.3《反证法》课件(北师大版选修2-2)

课程目标设置主题探究导学2.反证法解题的实质是什么？提示：用反证法解题的实质就是否定结论导出矛盾，从而证明原结论正确.否定结论：对结论的反面要一一否定，不能遗漏；否定一个反面的反证法称为归谬法，否定两个或两个以上反面的反证法称为穷举法；要注意用反证法解题，“否定结论”在推理论证中作为已知使用，导出矛盾是指在假设的前提下，逻辑推理结果与“已知条件、假设、公理、定理或显然成立的事实”等相矛盾.典型例题精析思路点拨：分析点A和平面α的位置关系，然后用反证法证明点在平面α内及在平面α外命题成立，最后可得结论.知能巩固提高一、选择题（每题5分，共15分）1.有下列叙述：①“ab”的反面是“ab”；②“x=y”的反面是“xy或xy”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形的内角中最多有一个钝角”的反面是“三角形的内角中没有钝角”.其中正确的叙述有（）（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个【解析】选B.①错，应为a≤b,②对，③错，应为三角形的外心在三角形内或三角形边上；④错,应为三角形的内角中有两个或三个钝角.2.若一个命题的结论是“直线l在平面α内”，则用反证法证明这个命题时，第一步应作的假设是（）（A）假设直线l∥平面α（B）假设直线l∩平面α于点A（C）假设直线l∥平面α或直线l∩平面α于点A（D）假设直线l⊥平面α【解析】选C.“直线l在平面α内”的反面应为“直线l不在平面α内”.即直线l与平面α平行或相交.3.下列命题错误的是（）（A）三角形中至少有一个内角不小于60°（B）四面体的三组对棱都是异面直线（C）闭区间［a,b］上的单调函数f(x)至多有一个零点（D）设a,b∈Z，若a+b是奇数，则a,b中至少有一个为奇数【解析】选D.由于a+b是奇数，则a,b必为一奇一偶，而不是a,b中至少有一个为奇数.二、填空题（每题5分，共10分）4.（2010·济宁高二检测）“自然数a,b,c中恰有一个偶数”的否定为_______.【解析】三个数中偶数的个数可能为0,1,2,3,因此恰有一个的否定为“没有或至少两个”，因此“自然数a,b,c中恰有一个偶数”的否定为“自然数a,b,c都是奇数或至少有两个偶数”.答案：自然数a,b,c都是奇数或至少有两个偶数.5.用反证法证明命题“若正实数a,b,c满足a+b+c=1.则a,b,c中至少有一个数不小于”时应假设______.【解析】此命题的结论也可以表述为“a、b、c中至少有一个数大于等于”因此用反证法证明时应假设“a、b、c中大于等于的一个也没有”即“a、b、c都小于”.答案：a、b、c都小于1313131313三、解答题（6题12分，7题13分，共25分）6.设实数a∈R,f(x)=x2+ax+a,求证：|f(1)|与|f(2)|中至少有一个不小于【解题提示】假设结论不成立，则|f(1)||f(2)|同时成立，利用不等式求a的取值范围，与已知a∈R矛盾.1.21,212此时a无解，与已知a∈R矛盾,所以假设不成立.因此|f(1)|与|f(2)|中至少有一个不小于1.2【证明】7.（2010·宜春高二检测）已知x,y∈R+，且x+y＞2，求证：中至少有一个小于2.1+x1+yyx与【证明】1.（5分）设a,b,c∈(-∞,0),则（）（A）都不大于-2（B）都不小于-2（C）至少有一个不大于-2（D）至少有一个不小于-2【解析】（A）对任意的正整数n,有xn=xn+1（B）存在正整数n,有xn≤xn+1（C）存在正整数n,使得xn≥xn+1,xn≥xn-1（D）存在正整数n,使得(xn-xn+1)(xn-xn-1)≥0【解析】选B.由于结论是一个全称命题，故结论的否定应该是一个特称命题“存在正整数n,有xn≤xn+1.”3.（5分）完成反证法证题的全过程.题目设a1,a2,…,a7是1，2,…，7的一个全排列，求证：p=(a1-1)(a2-2)…(a7-7)为偶数.证明：假设p为奇数，则________均为奇数.因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数=________=________=0.但奇数≠偶数，这一矛盾说明p为偶数.【解析】在推理过程中我们将(a1-1),(a2-2),…,(a7-7)重新分组，会有a1+a2+…+a7与1+2+…+7，这两个式子相等，从而会得出矛盾.答案：a1-1,a2-2,…,a7-7;(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7);(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7).4.（15分）已知a+b+c0,ab+bc+ca0,abc0,求证：a0.【解题提示】由于本题的证明结果从正面较难分析全面，故应选用反证法，先假设a≤0,然后证明与已知条件矛盾.【证明】假设a≤0，即a0或a=0.（1）若a=0,则abc=0,这与abc0矛盾；（2）若a0，则由abc0，知bc0,又因为bc-(ac+ab),所以-(ac+ab)0∴ac+ab0,即a(c+b)0，而a0,所以b+c0所以a+b+c0,这与a+b+c0相矛盾，综上所述，假设不成立，从而a0.