反比例函数实际应用的七种情况

反比例函数的应用本节课知识点•在面积中的应用•在速度和工程中的应用•在电学中的应用•在光学中的应用•在排水中的应用•在经济预算中的应用在面积中的应用PDoyx1.如图,点P是反比例函数图象上的一点,PD⊥x轴于D.则△POD的面积为.xy212.如图,点P是反比例函数图象上的一点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,若阴影部分面积为1,则这个反比例函数的关系式是.PDoyxPyxOCxy22KSSK的面积不变性(0)kykx(0)2kk(0)kk注意：（1）面积与P的位置无关（2）当k符号不确定的情况下须分类讨论PQ0xy）（yx,P0xy）（yx,S△ABC=︱K︱SABCD=2︱K︱BDS=︱k︱21oyP(m,n)xkyxABCDCoxxkyyA4yxA(2,2)Oyx⑴直线OA与双曲线的另一交点B的坐标．BDC⑵△BDA的面积是多少？B（-2,-2）8曲直结合3、在双曲线上任一点分别作x轴、y轴的垂线段，与x轴y轴围成矩形面积为12，求函数解析式__________。xky(X0)yxOxy12xy12或AoyxBS1S2xy3如图，A,B是双曲线上的点，分别经过A,B两点向X轴、y轴作垂线段，若.211SSS，则阴影4Oyxs1s2如图,点P、Q是反比例函数图象上的两点,过点P、Q分别向x轴、y轴作垂线,则S1(黄色三角形）S2(绿色三角形）的面积大小关系是：S1____S2.PQ趁热打铁，大显身手（提高篇）∟∟=xyOP1P2P3P41234如图，在反比例函数的图象上，有点，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则1234PPPP，，，xy2yx（x0)123SSS，，123SSS．（x0)2yx3216思考：1.你能求出S2和S3的值吗？132.S1呢？1yxoBEACD若A(m，n)是反比例函数图象上的一动点，其中0m3，点B的坐标(3，2)，过点A作直线AC∥x轴，交y轴于点C；过点B作直线BD∥y轴交x轴于点D，交直线AC于点E，当四边形OBEA的面积为6时，请判断线段AC与AE的大小关系，并说明理由。yBAxo如图，已知，A,B是双曲线上的两点，)0(kxky（2）在(1)的条件下，若点B的横坐标为3，连接OA,OB,AB，求△OAB的面积。（1）若A(2,3)，求K的值yBAxo（3）若A,B两点的横坐标分别为a,2a，线段AB的延长线交X轴于点C，若，求K的值C6AOCSyBAxo如图，已知，A,B是双曲线上的两点，)0(kxky（1）若A(2,3)，求K的值（2）在(1)的条件下，若点B的横坐标为3，连接OA,OB,AB，求△OAB的面积。CDEyBAxo如图，已知，A,B是双曲线上的两点，)0(kxky（1）若A(2,3)，求K的值（2）在(1)的条件下，若点B的横坐标为3，连接OA,OB,AB，求△OAB的面积。C(5,0)yBAxo如图，已知，A,B是双曲线上的两点，)0(kxky（1）若A(2,3)，求K的值（2）在(1)的条件下，若点B的横坐标为3，连接OA,OB,AB，求△OAB的面积。CDE.1,6)2(:xyxy解.3,22,3yxyx或解得).2,3(),3,2(BAAyOBxMNy=kx+1的图像交于A、B两点,点A的纵坐标是3.已知：如图,反比例函数与一次函数xy6（1）求这个一次函数的解析式（2）求△AOB的面积.变式练习2、正比例函数y=x与反比例函数y=的图象相交于A、C两点.AB⊥x轴于B,CD⊥y轴于D(如图),则四边形ABCD的面积为()（A）1（B）（C）2（D）1x3252DCBAOyx如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数y=k/x的图象上，点P(m,n)是图象上任意一点，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为E,F，拓展提高G若设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积为S，写出S关于m的函数关系式．总结提高一个性质：反比例函数的面积不变性两种思想：分类讨论和数形结合在工程与速度中的应用工程、速度的数量关系一、自主预习：1、工作总量、工作效率、工作时间的关系：工作总量=工作效率=工作时间=2、路程、速度、时间的关系：路程=速度=时间=工作效率工作效率××工作时间工作时间工作总量工作总量÷÷工作时间工作时间工作总量工作总量÷÷工作效率工作效率速度速度××时间时间路程路程÷÷时间时间路程路程÷÷速度速度码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物,把轮船装载完毕恰好用了8天时间.(1)这批货物的总量是多少吨？（2）轮船到达目的地后开始卸货,卸货速度v(单位:吨/天)与卸货时间t(单位:天)之间有怎样的函数关系?（3）若工人以每天40吨的速度卸货，需要几天卸完？(4)由于遇到紧急情况,船上的货物必须在不超过5天内卸载完毕,那么平均每天至少要卸多少吨货物?（5）若工人每天卸货在40—48吨之间，那么卸货时间范围是多少？探究一(1)这批货物的总量是多少吨？（分析：这批货物的总量=）解：装货速度×装货时间30×8=240（吨）答：这批货物的总量是240吨。码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物,把轮船装载完毕恰好用了8天时间.解:因为vt=240所以v与t的函数关系为码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物,把轮船装载完毕恰好用了8天时间.(2)轮船到达目的地后开始卸货,卸货速度v(单位:吨/天)与卸货时间t(单位:天)之间有怎样的函数关系?tv240分析等量关系式：卸货速度×卸货时间=货物总量码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物,把轮船装载完毕恰好用了8天时间.（3）若工人以每天40吨的速度卸货，需要几天卸完？分析：可以看作函数关系中已知,求解：把v=40代入，得解得ttv240t24040t=6答：若工人以每天40吨的速度卸货，需要6天卸完。v=40码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物,把轮船装载完毕恰好用了8天时间.(4)由于遇到紧急情况,船上的货物必须在不超过5天内卸载完毕,那么平均每天至少要卸多少吨货物?分析：可以看作函数关系中已知求解:思考:还有其他方法吗?图象法不等式法卸货时间的最大值t=5卸货速度的最小值v把t=5代入，得从结果可以看出，如果全部货物恰好用5天卸完，则平均每天卸载48吨，若货物在不超过5天内卸完，则每天至少要卸载48吨。tv240485240vk=2400，所以在每个象限内，v随t的增大而减小。把v=40代入，得解得t=6把v=48代入，得解得t=5所以，当时，因此卸货时间在5天到6天之间。码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物,把轮船装载完毕恰好用了8天时间.（5）若工人每天卸货在40—48吨之间，那么卸货时间范围是多少？分析：可以看作函数关系中已知，求4840vtv240t的范围解：t24040tv240t240484840v65t一辆汽车往返于甲,乙两地之间,如果汽车以50千米/小时的平均速度从甲地出发,则经过6小时可以到达乙地.(1)甲乙两地相距多少千米?(2)如果汽车把速度提高到v千米/小时,那么从甲地到乙地所用时间t(小时)将怎样变化?(3)写出t与v之间的函数关系.(4)因某种原因,这辆汽车需在5小时内从甲地到达乙地,则此时的汽车的平均速度至少应是多少?（5）汽车按每小时60千米的速度行驶2小时时，司机接到通知必须在之后2小时之内到达目的地。之后每小时至少加速多少，才能准时到达？试一试300千米变小vt30060千米/小时30千米/小时随堂练习自我发展的平台1.京沈高速公路全长658km，汽车沿京沈高速公路从沈阳驶往北京，则汽车行完全程所需时间t(h)与行驶的平均速度v(km/h)之间的函数关系式为：2.小明家用购电卡买了1000度电，那么这些电能够使用的天数y与平均每天用电度数x之间的函数关系式是________，如果平均每天用5度，这些电可以用___天；如果这些电想用250天，那么平均每天用电___度.3.请举出生活中反比例函数应用的事例，并以问题的形式考考大家.xy10002004vt6581、通过本环节的学习,你有哪些收获?小结本节课是继续用函数的观点处理实际问题，关键在于分析实际情景，建立函数模型，并且进一步明确数学问题将实际问题置于已学的知识背景之中，用数学知识重新解释这是什么？可以看作什么？逐步形成考察实际问题的能力，在解决实际问题时，不仅要充分利用函数图象的性质，参透数形结合的思想，也要注意函数、不等式、方程之间的联系。三、反比例函数在电学中的运用在物理学中，有很多量之间的变化是反比例函数的关系，因此，我们可以借助于反比例函数的图象和性质解决一些物理学中的问题，这也称为跨学科应用。•例1在某一电路中，保持电压不变，电流I(安培)和电阻R(欧姆)成反比例，当电阻R＝5欧姆时，电流I＝2安培．•(1)求I与R之间的函数关系式；•(2)当电流I＝0.5时，求电阻R的值．•(1)解：设I＝∵R＝5，I＝2，于是=2×5＝10，所以U＝10，∴I＝．•(2)当I＝0.5时，R＝=＝20(欧姆)．•点评：反比例函数与现实生活联系非常紧密，特别是为讨论物理中的一些量之间的关系打下了良好的基础。用数学模型的解释物理量之间的关系浅显易懂，同时不仅要注意跨学科间的综合，而本学科知识间的整合也尤为重要，例如方程、不等式、函数之间的不可分割的关系．四、在光学中运用•例2近视眼镜的度数y（度）与焦距x（m）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m．•（1）试求眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式；•（2）求1000度近视眼镜镜片的焦距．•分析：把实际问题转化为求反比例函数的解析式的问题．•解：（1）设y=，把x=0.25，y=400代入，得400=，•所以，k=400×0.25=100，即所求的函数关系式为y=．•（2）当y=1000时，1000=，解得=0.1m．•点评：生活中处处有数学。用反比例函数去研究两个物理量之间的关系是在物理学中最常见的，因此同学们要学好物理，首先要打好数学基础，才能促进你对物理知识的理解和探索。五、在排水方面的运用例3如图所示是某一蓄水池每小时的排水量V（m3/h）与排完水池中的水所用的时间t（h）之间的函数关系图象．（1）请你根据图象提供的信息求出此蓄水池的蓄水量；（2）写出此函数的解析式；（3）若要6h排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？（4）如果每小时排水量是5000m3，那么水池中的水将要多少小时排完？分析：当蓄水总量一定时，每小时的排水量与排水所用时间成反比例．解：（1）因为当蓄水总量一定时，每小时的排水量与排水所用时间成反比例3所以根据图象提供的信息可知此蓄水池的蓄水量为：4000×12=48000（m3）．（2）因为此函数为反比例函数，所以解析式为：V=48000t；（3）若要6h排完水池中的水，那么每小时的排水量为：V=480006=8000（m3）；（4）如果每小时排水量是5000m3，那么要排完水池中的水所需时间为：t=480006=8000（m3）点评：学会把实际问题转化为数学问题，充分体现数学知识来源于实际生活又服务于实际生活这一原理。六、在解决经济预算问题中的应用．•例4某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿度，本年度计划将电价调至0.55～0.75元之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y(亿度)与(x－0.4)元成反比例.又当x＝0.65元时，y＝0.8•(1)求y与x之间的函数关系式；•(2)若每度电的成本价0.3元，电价调至0.6元，请你预算一下本年度电力部门的纯收人多少?•解：(1)∵y与x－0.4成反比例，∴设y＝(k≠0)．•把x＝0.65，y＝0.8代入•y＝，得0.8