初中数学竞赛——圆6.圆与圆(二)

初二数学联赛班八年级1思维的发掘能力的飞跃第3讲圆与圆（二）典型例题【例1】分别以梯形ABCD的上底AD、下底BC的长为直径作⊙1O、⊙2O，若两圆的圆心距等于这个梯形的中位线长，则这两个圆的位置关系是____________．【例2】如图，AB⊙，⊙的半径分别为1cm，2cm，圆心距AB为5cm．如果A⊙由图示位置沿直线AB向右平移3cm，则此时该圆与B⊙的位置关系是_____________．【例3】如图，1O⊙和2O⊙的半径为1和3，连接12OO交2O⊙于点P，128OO，若将1O⊙绕点P按顺时针方向旋转360，则1O⊙与2O⊙共相切_______次．【例4】如图，ABC△是正三角形，点C在矩形ABDE的边DE上，ABC△的内切圆半径是1．则矩形ABDE的外接圆直径是．BAPO2O1图3BADCE初二数学联赛班八年级2思维的发掘能力的飞跃【例5】如图，已知半圆O的直径为AB，半径长为254，点D在AB上，74OD，CDAB，CD交半圆'O于D．那么与半圆相切，且与BCCD，相切的'O⊙的半径长为．【例6】如图，3PQ，以PQ为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P，正方形ABCD的顶点A、B在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD切于点Q．则AB．【例7】如图，10PQ，以PQ为直径的圆与一个以20为半径的圆相切于点P，正方形ABCD的顶点A、B在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD切于Q，若ABmn，其中，m，n是正数，求mn的值．【例8】如图，P为半圆弧上任意一点，圆⊙1O、⊙2O都与ABP△的一边和半圆相切的最大圆，⊙3O是ABP△的内切圆，其中⊙1O、⊙2O、⊙3O和半圆的半径分别1r、2r、3r、R，12r，21r，则3r为．QPDCBAQPDCBABAO3O2O1P初二数学联赛班八年级3思维的发掘能力的飞跃【例9】如图，11PQPOOQ、、分别是以123OOO、、为圆心的半圆123CCC、、的直径，圆4C内切于半圆1C及外切于半圆23CC、．若24PQ，求圆4C的面积．【例10】如图，大圆O⊙的直径cmABa，分别以OAOB、为直径作1O⊙和2O⊙，并在O⊙与1O⊙和2O⊙的空隙间作两个等圆3O⊙和4O⊙，这些圆互相内切或外切，则四边形1423OOOO的面积为___________2cm．【例11】已知A为O⊙上一点，B为A⊙与OA的交点，A⊙与O⊙的半径分别为rR、，且rR．（1）如图1，过点B作A⊙的切线与O⊙交于MN、两点．求证：2AMANRr；（2）如图2，若A⊙与O⊙的交点为EF、，C是EBF上任意一点，过点C作A⊙的切线与O⊙交于PQ、两点，试问2APAQRr是否成立？并证明你的结论．【例12】两个圆相交于点A和B，由点A作两个圆的切线，分别与两个圆相交于点M和N．直线BM和BN分别与两个圆交于另外两点P和Q（P在BM上，Q在BN上）．求证：MPNQ．C4C3C2C1PQO1O2O3O4O4O3O2O1OBA图1ONMBA图2ABEFCPQOQNMPBA初二数学联赛班八年级4思维的发掘能力的飞跃【例13】如图（1），两半径为r的等圆1O⊙和2O⊙相交于MN，两点，且2O⊙过点1O．过M点作直线AB垂直于MN，分别交1O⊙和2O⊙于AB，两点，连结NANB，．（1）猜想点与有什么位置关系，并给出证明；（2）猜想NAB的形状，并给出证明；（3）如图（2），若过M的点所在的直线AB不垂直于MN，且点AB，在点M的两侧，那么⑵中的结论是否成立，若成立请给出证明．【例14】如图，1O，2O交于AB，两点，直线MN垂直于AB于点A，分别与12OO，交于点NM，，P为MN中点，1122AOQAOQ，求证：12PQPQ．【例15】设圆O、圆P外切于A，外公切线BC分别切两圆于B、C，BC与OP的交点为Q，过Q引MNBC交BA、AC于S、R，求证：QSQR．2O1O图1O2O1MBAN图2NO1O2BMAQ2Q1O2O1PNMBANMSRQPACBO初二数学联赛班八年级5思维的发掘能力的飞跃【例16】半径为R的两圆之一过平行四边形ABCD的顶点A和B，而另一圆过顶点D和C，点M是两圆除B外的另一个交点，求证：AMD△的外接圆半径长也为R．【例17】如图，已知ABC△的高ADBE、交于H，ABCABH△、△的外接圆分别为O⊙和O⊙′．求证：O⊙与O⊙′的半径相等．【例18】在ABC△中，ABAC，圆1O与ABC的外接圆内切于D，与AB、AC分别相切于P、Q．求证：PQ的中点O是ABC△的内切圆圆心．【例19】A是O上一点，O的半径为R，以A为圆心，r为半径()rR作圆，设O的弦PQ与A切于点M，求证：不论PQ的位置如何，PAQA为定值．MO2O1DCBAO'OHEDCBADO1OQPCBAOMQPA初二数学联赛班八年级6思维的发掘能力的飞跃【例20】如图，圆O与圆D相交于AB，两点，BC为圆D的切线，点C在圆O上，且ABBC．（1）证明：点O在圆D的圆周上．（2）设ABC△的面积为S，求圆D的半径r的最小值．【例21】如图所示，过O⊙上的一点C作直径AB的垂线，垂足为D，'O⊙切AB于点E，切CD于点F，内切半圆O于点G，证明：ACAE．【例22】如右图a，在矩形ABCD中，20cmAB，4cmBC，点P从A开始沿折线ABCD以4cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CD边以1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为(s)t．（1）t为何值时，四边形APQD为矩形?（2）如右图b，如果P⊙和Q⊙的半径都是2cm，那么t为何值时，P⊙和Q⊙外切?ODCBAO'OGFEDCBA图b图aQPADBCPQDCBA初二数学联赛班八年级7思维的发掘能力的飞跃作业1.如图，AB⊙、⊙的圆心AB，在直线l上，两圆半径都为1cm，开始时圆心距4cmAB，现AB⊙，⊙同时沿直线l以每秒2cm的速度相向移动，则当两圆相切时，A⊙运动的时间为秒．2.如图，矩形内放置8个半径为1的圆，其中相邻两个圆都相切，并且左上角和右下角的两个圆和矩形的一边相切，则该矩形的面积为．3.把两个半径为5和一个半径为8的圆形纸片放在桌面上，使它们两两外切，若要用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆形纸片的最小半径等于________．PO2O1BAlOO1O2O3A初二数学联赛班八年级8思维的发掘能力的飞跃4.已知多边形ABDEC是由边长为2的等边三角形ABC和正方形BDEC组成，一圆过A、D、E三点，求该圆半径的长．5.过定圆的圆心O作A，设A与O的一个交点为B，过B作A的直径BC，BC与O交于点D，求证BDBC为定值．6.已知圆1O、2O外切于P，过圆1O上一点A作圆2O的切线AC，交圆1O于B，C为切点．求证：PAACPBBC．22EDCBADOCBABO2O1CA