河南省南阳市2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试题

2018年春期高中二年级期终质量评估数学试题（理）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数21i（i为虚数单位）的共轭复数是（）A．1iB．1iC．1iD．1i2．已知变量,xy之间的线性回归方程为0.47.6yx，且变量,xy之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（）A．变量,xy之间呈现负相关关系B．m的值等于5C．变量,xy之间的相关系数0.4rD．由表格数据知，该回归直线必过点9,43．在等差数列na中，如果,,,mnpr*N，且3mnpr，那么必有3mnpraaaa，类比该结论，在等比数列nb中，如果,,,mnpr*N，且3mnpr，那么必有（）A．3mnprbbbbB．3mnprbbbbC．3mnprbbbbD．3mnprbbbb4．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球.从袋中任取3个球，所取的3个球颜色不同的概率为（）A．11110513315CCCCB．3103151CCC．2122105105315CCCCCD．353151CC5．设~1,1XN，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（）（注：若2~,XN，则68.26%PX，2295.44%PX）A．7539B．6038C．7028D．65876．已知03cos2mxdx，则23mxyz的展开式中，2mxyz项的系数等于（）A．180B．-180C．-90D．157．甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为34，各局比赛结果相互独立且没有平局，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（）A．13B．25C．23D．458．设01p，随机变量的分布列是则当p在0,1内增大时（）A．D减小B．D增大C．D先减小后增大D．D先增大后减小9．函数fx与它的导函数fx的图象如图所示，则函数xfxgxe的单调递减区间为（）A．0,4B．4,1,,43C．40,3D．0,1,4,10．已知函数33fxxxm，若方程0fx有两个相异实根12,xx，且120xx，则实数m的值等于（）A．-2或2B．-2C．2D．011．若,mn均为非负整数，在做mn的加法时各位均不进位（例如，13438023936），则称,mn为“简单的”有序对，而mn称为有序数对,mn的值，那么值为2964的“简单的”有序对的个数是（）A．525B．1050C．432D．86412．若直线yaxb与曲线ln1fxx相切，则ba的最小值为（）A．21eB．2eC．eD．1e第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．在某班举行的“庆五一”联欢晚会开幕前已排好有8个不同节目的节目单，如果保持原来的节目相对顺序不变，临时再插进去ABC、、三个不同的新节目，且插进的三个新节目按ABC、、顺序出场，那么共有种不同的插入方法（用数字作答）．14．观察下列各式：11，141123，1131121232，111811212312345，由此可猜想，若11111212312310mLL，则m．15．假设每一架飞机的每一个引擎在飞行中出现故障概率均为1p，且各引擎是否有故障是独立的，已知4引擎飞机中至少有3个引擎飞机正常运行，飞机就可成功飞行；2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机才可成功飞行.要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，则p的取值范围是．16．已知函数2cossin2fxxx，则fx的最大值是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知01ab.（1）试猜想lnab与lnba的大小关系；（2）证明（1）中你的结论.18．如图所示，在以AB为直径的半圆周上，有异于,AB的六个点126,,,CCCL，直径AB上有异于,AB的四个点1234,,,DDDD.则：（1）以这12个点（包括,AB）中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？（2）以这10个点（不包括,AB）中的3个点为顶点，可作出多少个三角形？19．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机对50名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在30名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有20人，不超过100km/h的有10人．在20名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有5人，不超过100km/h的有15人．（1）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过的人与性别有关；（2）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为女性且车速不超过100km/h的车辆数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的数学期望.参考公式：22nadbckabcdacbd，其中nabcd．参考数据：20．已知2012211nxaaxax1nnaxnL*N.（1）求0a及12nnSaaaL；（2）试比较nS与223nn的大小，并用数学归纳法证明.21．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20,25，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？22．设aR，函数211xfxxeax.（1）当1a时，求fx在3,24上的单调区间；（2）设函数11xgxfxaxe，当gx有两个极值点1212,xxxx时，总有211xgxfx，求实数的值.高二数学试题（理科）参考答案一、选择题1-5:BCDCD6-10:BADDC11、12：BC二、填空题13．16514．201115．1,1316．233三、解答题17．解：（1）猜想lnlnabba.（2）令()lnfxxx，则'1()1fxx，当01x时，'1()10fxx，即函数()fx在(0,1)上单调递减，又因为01ab，所以()()fafb，即lnlnaabb，故lnlnabba.18．解：（1）构成四边形，需要四个点，且无三点共线，可以分成三类：①四个点从126,,,CCCL中取出，有46C个四边形；②三个点从126,,,CCCL中取出，另一个点从1234,,,DDDD，,AB中取出，有3166CC个四边形；③二个点从126,,,CCCL中取出，另外二个点从1234,,,DDDD，,AB中取出，有2266CC个四边形．故满足条件的四边形共有4312266666360NCCCCC(个)．（2）类似于（1）可分三种情况讨论得三角形个数为3122166464116CCCCC(个)．19．解：（1）平均车速超过hkm/100人数平均车速不超过hkm/100人数合计男性驾驶员人数201030女性驾驶员人数51520合计252550∵22502015105258.3337.879302025253K，∴所以有%5.99的把握认为平均车速超过hkm/100与性别有关.（2）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随即抽取1辆，驾驶员为女性且车速不超过hkm/100的车辆的概率为1035015.所以的可能取值为0,1,2,3，且1033B~，，9.01033npE20．解：（1）令1x，则03na，令2x，则04nniia，所以143nnniia．（2）要比较nS与223nn的大小，只要比较4n与22n的大小．猜想：242,nnnN．下面用数学归纳法证明：①当1n时，42,结论成立．②假设当*()nkkN时结论成立，即242kk，则当1nk时，12222444422(2)kkkkkk++，因为*kN，所以22221kkk，所以222222(2)2(21)2(1)kkkkkk++所以1242(1)kk，即1nk+时结论也成立．由①②可知，nN时，242nn所以223,nnSnnN21．解：（1）由题意知，X所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知2162000.290PX，363000.490PX，25745000.490PX.因此X的分布列为X200300500P0.20.40.4（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑500200n当500300n时，若最高气温不低于25，则nnnY246；若最高气温位于区间20,25，则nnnY21200430023006；若最高气温低于20，则nnnY2800420022006因此nnnnYE4.06402.028004.0212004.02当300200n时，若最高气温不低于20，则nnnY246，若最高气温低于20，则nnnY2800420022006，因此nnnYE2.11602.028004.04.02所以300n时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元.22．解：（1）当1a时，)1()(12xexxfx，则1122)(xxeexxxf，令122)(xexxxh，则122)(xexxh.易知)(xh在2,43上单调递减，又0121)43(4eh，所以0)(xh所以)(xh在2,43上单调递减，又因为0)1(h，所以当1,43x时，0)(xh，从而0)(xf，这时)(xf单调递增，当2,1x时，0)(xh，从而0)(xf，这时)(xf单调递减.所以)(xf在2,43上的增区间是1,43x，减区间是2,1x（2）由题可知xeaxxg12)(，则xeaxxxg122)(.根据题意方程022axx有两个不等实数根12,xx且12xx令0得1a，且221xx，所以11x由)(112xfxgx，其中aexxxfx122)(，得aexxeaxxxx11112111222.将1211222xxaxx，代入左式得：2111211111222211xxexxexxxx，整理得01211111xxee