2017-2018学年浙江省宁波市镇海中学高三(上)期末数学试卷-普通用卷

第1页，共19页2017-2018学年浙江省宁波市镇海中学高三（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.若抛物线的准线方程为x=-7，则抛物线的标准方程为（）A.𝑥2=−28𝑦B.𝑥2=28𝑦C.𝑦2=−28𝑥D.𝑦2=28𝑥2.若双曲线E：𝑥29−𝑦216=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=3，则|PF2|等于（）A.11B.9C.5D.33.直线a与平面α所成角的为30o，直线b在平面α内，且与b异面，若直线a与直线b所成的角为φ，则（）A.0∘𝜑≤30∘B.0∘𝜑≤90∘C.30∘≤𝜑≤90∘D.30∘≤𝜑≤180∘4.设𝑎⃗⃗，𝑏⃗为向量，则|𝑎⃗⃗•𝑏⃗|=|𝑎⃗⃗||𝑏⃗|是“𝑎⃗⃗∥𝑏⃗”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A.𝑚⊥𝛼，𝑛⊥𝛽，且𝛼⊥𝛽，则𝑚⊥𝑛B.𝑚//𝛼，𝑛//𝛽，且𝛼//𝛽，则𝑚//𝑛C.𝑚⊥𝛼，𝑛⊂𝛽，𝑚⊥𝑛，则𝛼⊥𝛽D.𝑚⊂𝛼，𝑛⊂𝛼，𝑚//𝛽，𝑛//𝛽，则𝛼//𝛽6.椭圆M：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎＞𝑏＞0)长轴上的两个顶点A、B，点P为椭圆M上除A、B外的一个动点，若𝑄𝐴⃗⃗⃗⃗⃗•𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=0且𝑄𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗•𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=0，则动点Q在下列哪种曲线上（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线7.如图，小于90°的二面角α-l-β中O∈l，A，B∈α，且∠AOB为钝角，∠A′OB′是∠AOB在β内的射影，则下列结论一定错误的是（）A.∠𝐴′𝑂𝐵′为钝角B.∠𝐴′𝑂𝐵′∠𝐴𝑂𝐵C.∠𝐴𝑂𝐵+∠𝐴𝑂𝐴′𝜋D.∠𝐵′𝑂𝐵+∠𝐵𝑂𝐴+∠𝐴𝑂𝐴′𝜋8.在椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1（a＞b＞0）上有一点P，椭圆内一点Q在PF2的延长线上，满足QF1⊥QP，若sin∠F1PQ=513，则该椭圆离心率取值范围是（）第2页，共19页A.(15,1)B.(√2626,1)C.(15,√22)D.(√2626,√22)二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）9.双曲线𝑥25-𝑦24=1的焦距为______，渐近线方程为______．10.命题“若实数a满足a≤2，则a2＜4”的逆否命题是______命题（填“真”或者“假”）；否命题是______命题（填“真”或者“假”）．11.已知△ABC是边长为1的正三角形，PA⊥平面ABC，且PA=1，则PB与平面PAC所成角的正弦值为______．若点A关于直线PC的对称点为D，则直线AD与BC所成角的余弦值是______．12.已知A（1，14），B（-1，14），直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是12，则点M的轨迹C的方程是______．若点F为轨迹C的焦点，P是直线l：y=-1上的一点，Q是直线PF与轨迹C的一个交点，且𝐹𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=3F𝐹𝑄⃗⃗⃗⃗⃗，则|QF|=______．13.过正四面体ABCD的中心且与一组对棱AB和CD所在直线都成60°角的直线有______条．14.已知双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎＞0，𝑏＞0)上一点P到两渐近线的距离分别为d1，d2，若𝑑1𝑑2=25𝑎𝑏，则双曲线的离心率为______．15.四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠BAD=90°，PA=AB=BC=12AD=1，BC∥AD，已知Q为四边形ABCD内部一点，且二面角Q-PD-A的平面角大小为𝜋4，若动点Q的轨迹将四边形ABCD分成面积为S1，S2（S1＜S2）的两部分，则S1：S2=______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）16.已知从椭圆𝐶：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎＞𝑏＞0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1．又点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP，|𝐹1𝐴|=√10+√5．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）在椭圆C中，求以点D（-2，1）为中点的弦MN所在的直线方程．第3页，共19页17.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1，E，F，G分别是CC1，BC，AB1的中点．（Ⅰ）求证：①FG∥平面ACC1A1；②B1F⊥平面AEF；（Ⅱ）求直线GF与平面AEF所成角．18.如图，平行四边形ABCD⊥平面CDE，AD=DC=DE=4，∠ADC=60°，AD⊥DE（Ⅰ）求证：DE⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角C-AE-D的余弦值的大小．19.抛物线y2=2px，p＞0，F为抛物线的焦点，A，B是抛物线上两点，线段AB的中垂线交x轴于D（a，0），a＞0，m=|𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗|+|𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗|．（Ⅰ）证明：a是p，m的等差中项；（Ⅱ）若m=3p，l为平行于y轴的直线，其被以AD为直径的圆所截得的弦长为定值，求直线l的方程．第4页，共19页20.已知椭圆E：𝑥24+𝑦23=1的左、右顶点分别为A，B，M，N是椭圆E上异于A，B的两点，直线AM，BN交于点P（4，t）．（Ⅰ）若直线MN与x轴垂直，求实数t的值；（Ⅱ）记△PMN，△PAB的面积分别是S1（t），S2（t），求𝑆1(𝑡)𝑆2(𝑡)的最小值．第5页，共19页答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵准线方程为x=-7∴-=-7p=14∴抛物线方程为y2=28x故选：D．根据准线方程求得p，则抛物线方程可得．本题主要考查了抛物线的标准方程．属基础题．2.【答案】B【解析】解：由题意，双曲线E：=1中a=3．∵|PF1|=3，∴P在双曲线的左支上，∴由双曲线的定义可得|PF2|-|PF1|=6，∴|PF2|=9．故选：B．确定P在双曲线的左支上，由双曲线的定义可得结论．本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的定义，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：如图，设a∩α=A，a在平面α内的射影为b′，在平面α内过A与b′垂直的直线为b″，第6页，共19页b是平面α内与a异面的直线，当b∥b′时，a与b的角最小为30°，当b∥b″时，a与b的角最大为90°．∴30°≤φ≤90°．故选：C．由平面的一条斜线与平面内所有直线所成角的最小角为线面角，最大角为90°，可得直线a与直线b所成的角的范围．本题考查两条异面直线所成角的大小的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．4.【答案】C【解析】解：∵•=，若a，b为零向量，显然成立；若⇒cosθ=±1则与的夹角为零角或平角，即，故充分性成立．而，则与的夹角为为零角或平角，有．因此是的充分必要条件．故选：C．利用向量的数量积公式得到•=，根据此公式再看与之间能否互相推出，利用充要条件的有关定义得到结论．本题考查平行向量与共线向量，以及充要条件，属基础题．5.【答案】A【解析】解：对于A，m⊥α，n⊥β，且α⊥β，利用面面垂直的性质定理得到作垂直于交线的直线n'与β垂直，又n⊥β，得到n∥n'，又m⊥α，得到m⊥n'，所以m⊥n；故A正确；对于B，m∥α，n∥β，且α∥β，则m与n位置关系不确定，可能相交、平行或者异第7页，共19页面；故B错误；对于C，m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α与β可能平行；故C错误；对于D，m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α与β可能相交；故D错误；故选：A．利用线面垂直、面面垂直的性质定理和判定定理对选项分别分析选择．本题考查了线面垂直、面面垂直的性质定理和判定定理的运用；关键是由已知条件，正确运用定理的条件进行判断．6.【答案】B【解析】解：设P（m，n），Q（x，y）∵椭圆M的方程为，∴作出椭圆如图所示，可得长轴的端点为A（-a，0），B（a，0）∴=（x+a，y），=（m+a，n）∵•=0，∴（x+a）（m+a）+ny=0，可得m+a=-…①同理根据•=0，可得m-a=-…②①×②，可得m2-a2=．…③∵点P（m，n）是椭圆上的动点，∴，整理得n2=（a2-m2），代入③可得：m2-a2=（a2-m2）•，化简得此方程对应的图形是焦点在y轴上的椭圆，可得动点Q的轨迹是一个椭圆，B项是正确答案故选：B．根据椭圆方程算出A（-a，0），B（a，0）．设P（m，n），Q（x，y），可得、关第8页，共19页于m、n、x、y的坐标形式，由•=0建立关系式，化简得m+a=-，同理由•=0建立关系式，得m-a=-，再将所得的两个式子对应相乘，结合点P（m，n）是椭圆上的点，化简得，即为动点Q的轨迹方程，可得本题答案．本题给出椭圆的长轴为AB，椭圆上的动点P满足若•=0且•=0，求动点Q的轨迹方程，着重考查了椭圆的简单几何性质、向量数量积的计算公式和动点轨迹方程的求法等知识，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：如图，在α内射线OA上取点A，过A作交线l的平行线AB交射线OB于点B，过A作AA′⊥β，垂足为A′，过B作BB′垂直于β，垂足为B′，连接A′B′，则有AB∥A′B′，且AB=A′B′，设OA=a，OB=b，AB=c，则OA′＜a，OB′＜b，∵∠AOB为钝角，∴a2+b2＜c2，则（OA′）2+（OB′）2＜a2+b2＜c2=（A′B′）2，在△A′OB′中，由余弦定理可得∠A′OB′＞∠AOB为钝角．∴∠AOB+∠AOA′＞π．∴错误的选项是C，故选：C．由题意画出图形，由已知二面角α-l-β小于90°，∠AOB为钝角，结合余弦定理可得∠A′OB′是钝角，由此可得答案．本题考查与二面角有关的立体几何综合题，考查空间想象能力和思维能力，关键是理解点在面上的射影的概念，是中档题．8.【答案】C【解析】第9页，共19页解：∵满足QF1⊥QP，∴点Q与点F2重合时，∵sin∠F1PQ=，不妨设|PF1|=13，则|PF2|=12．∴可得：e==．因此e．当点Q在最下端时，∠F1QF2最大，此时F1Q⊥F2Q．可得点Q在椭圆的内部，当b=c，e=，因此．综上可得：．故选：C．满足QF1⊥QP，点Q与点F2重合时，sin∠F1PQ=，不妨设|PF1|=13，则|PF2|=12．可得：e=．因此e．当点Q在最下端时，∠F1QF2最大，此时F1Q⊥F2Q．可得点Q在椭圆的内部，当b=c时，e=，即可得出．本题考查了椭圆的性质、直角三角形的边角关系、三角函数的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.【答案】6；y=±2√55x【解析】解：根据题意，双曲线的方程为-=1，其焦点在x轴上，且a=，b==2，则c==3，则双曲线的焦距2c=6，渐近线方程为y=±x；故答案为：6，y=±x．根据题意，由双曲线的标准方程分析可得双曲线的焦点位置以及a、b的值，计算可得c的值，即可得双曲线的焦距，由双曲线的渐近线方程分析可得答案．本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线标准方程的形式．第10页，共19页10.【答案】假；真【解析】解：命题“若实数a满足a≤2，则a2＜4”的逆否命题是“若a2≥4，则a＞2“，是假命题．命题“若实数a满足a≤2，则a2＜4”的否命题是“若实数a满足a＞2，则a2≥4，是真命题．故答案为假；真．根据四种命题的定义，写出原命题的否命题，逆否命题，判断真假即可．本题考察了命题的否定以及四种命题之间的关系，是一道基础题．11.【答案】√64；√24【解析】解：如图，取AC中点O，连接BO，PO，∵△ABC是边长为1的正三角形，PA⊥平面ABC∴BO⊥AC，∴BO⊥平面APC∴则PB与平面PAC所成角是∠BPO，可得BO=，PB=∴sin∠BPO==．如图，建立空间直角坐标系，易得AD与PC的交点H为PC中点，A（0，0，0），B（，，0），C（0，1，0），H（0，，）=（0，，），=（-，，0）co