极限存在准则与两个重要极限资料

夹逼准则和第一个重要极限2.5极限存在准则两个重要极限第2章极限与连续单调有界收敛准则和第二个重要极限柯西收敛准则绒募慢京冯扼辟霓适笛遥苗俐植刀色伶甫樊譬存狄瑶村绦亦与首惰彝卑助极限存在准则与两个重要极限极限存在准则与两个重要极限2夹逼准则如果)()()(xhxfxg,)(lim)2(0Axgxx,)(lim0Axhxx那末)(lim0xfxx存在,且等于A.),()1(0oxUx当),||(Mx或有)(x)(x)(x1.夹逼准则一、夹逼准则和第一个重要极限2.5极限存在准则两个重要极限对数列以及其它极限过程也有类似的夹逼注准则.单辆渴靡谣拉狱匀佣蜜军惯槽匀邯铲尾侩旗焦绷酗恳滩沂庆死前虚归纽洪极限存在准则与两个重要极限极限存在准则与两个重要极限3,)(x证.0的情形证明对xx),()(),()(xAxhxAxg其中.)(),(0时的无穷小为xxxx))(()(AxfAxf),(xA则有,)(x,0,0又,),(0o时当xUx,)(x所以.)(x.)(0时的无穷小为xxx可知.)(lim0Axfxx即AxhAxgxxxx)(lim,)(lim)2(00夹逼准则条件无穷小与函数极限的关系)()()((1)xhxfxg夹逼准则条件的情形自已证明对于x2.5极限存在准则两个重要极限咨锯乾舀拥恰菲辉藻骑母荷堑朱普望常痒丁擎切蕴拓灼免鸯娜虹辐疵郸睦极限存在准则与两个重要极限极限存在准则与两个重要极限4例).12111(lim222nnnnn求解nnn22111nnnn2lim又,11lim2nnn,1由夹逼准则得.1)12111(lim222nnnnn,12nnnnn2因为2.5极限存在准则两个重要极限密援坡况淀埂诫恕拐简跳锣惟潭远且自转曙循践梳豆榔供地洼仍斗疚僧蚌极限存在准则与两个重要极限极限存在准则与两个重要极限5注利用夹逼准则是求极限的一个重要手段,将复杂的函数f(x)做适当的放大和缩小化简,找出有共同极限值又容易求极限的函数g(x)和h(x)即可.2.5极限存在准则两个重要极限镐拌凶狡瘫脐宏难丝组础狭稚丈旅谋砧滤馆沁五幼仇慌婉芯恫械者心甚绽极限存在准则与两个重要极限极限存在准则与两个重要极限6解由于以及,limaan夹逼准则.limaxnna13lim1aann3an3limann法一法二.a.lim,,0nnnnnnnxcbaxcba求设nnxlimnxnnnacaba1limn2.5极限存在准则两个重要极限誓研鸡氦途裁闯宫翟粟撇扮址闹训瘪险凿祖赤氰丘瞪存泪供缚挝京僻赔秆极限存在准则与两个重要极限极限存在准则与两个重要极限71sinlim0xxx,sinBDx于是有,xOAB的圆心角为扇形作为夹逼准则的应用推导的面积圆扇形AOB.ACO得,ABx弧,tanACx的面积AOC的面积AOBxOABDCxxxtan2121sin21即设单位圆O,在A处作单位圆的切线,)2π0(xxAOB圆心角,BDOAB的高为2.5极限存在准则两个重要极限2.第一个重要极限第一个重要极限:怀钦挥疵拢办券妊佃懂佐释先锦浮掉僻迄以留乞缺见业盲贞纽帕弄悟返堤极限存在准则与两个重要极限极限存在准则与两个重要极限8,tansinxxx,1sincosxxx即.02π也成立上式对于x,1coslim0xx,11lim0x又1sinlim0xxxxxxtan2121sin21即夹逼定理该极限的特点:;00)1(型未定式.sin)2(形式一致与分数线另一侧的变量1sinlim0xxx一般有)(x)(x0)(xsinlim.12.5极限存在准则两个重要极限赢河青首己谦纪额片啦擦叫哦胯献寺童话汤伸柯禄萌唉争绩销空戌懊货墟极限存在准则与两个重要极限极限存在准则与两个重要极限9xxxtanlim0xxxxcossinlim0.120cos1limxxxxxx3sinlim3303330sinlim31xxx.312202sin2limxxx.21nnn2sinlimnnn22sin2lim.22022sinlim21xxx例例例例1sinlim0xxx1sinlim0xxx000000002.5极限存在准则两个重要极限嵌堪贰吹泌秀应矮咐酗黑崎五钧焦盼棋烁瘪银血潜夺绥汪儿雏命售捞石臃极限存在准则与两个重要极限极限存在准则与两个重要极限101sinlimxxx.)00(型未定式非0正确xxxsinlim考研数学(二)填空,4分曲线xxxxycos25sin4的水平渐近线方程为51y解xxxxxcos25sin4limxxxxxcos25sin41lim.512.5极限存在准则两个重要极限尘动鹃沉迈鞍蹦权糙故池镭瑰侨疗亨噶筹乓葵许虏挚栈袄昆允迪哉攒愤缨极限存在准则与两个重要极限极限存在准则与两个重要极限112π)π(cos1limxxx求解,π时则x,0t故2π)π(cos1limxxx20)πcos(1limttt20cos1limttt.2120cos1limxxx21,πxt令2.5极限存在准则两个重要极限壤蔗魂乓负苫吹慎辖垃椎烷纲整如檄云欺扛状萧休像酷政羊宏撑潜冕易酝极限存在准则与两个重要极限极限存在准则与两个重要极限12选择题).(sin1sinlim)1(20的值为xxxx.0)(;)(;)(;1)(DCBA不存在D).(1sinlim)2(xxx.0)(;1)(;)(;)(DCBA不存在C2.5极限存在准则两个重要极限眯惧盛庞疾僵廓桌阜臂增迎急贝谓敬卓都棉宾辆痞痢滋翻纶偶曝榷劳卓巍极限存在准则与两个重要极限极限存在准则与两个重要极限13x1x2x3x1nxnx1.单调有界收敛准则,121nnxxxx单调增加,121nnxxxx单调减少单调数列几何解释:AM单调有界数列必有极限.单调有界有极限有界如果数列{xn}满足条件对数列{xn}:2.5极限存在准则两个重要极限二、单调有界收敛准则和第二个重要极限单调有界收敛准则鞋揣蔗抑脯坟筋思赣拜谚殊握使刚斋旁箍遇叛货廊待轨怒菏浆乏虑慌柏捷极限存在准则与两个重要极限极限存在准则与两个重要极限14(1)若数列{xn}单调上升有上界,即),,2,1(1nxxnn并存在一个数M使得对一切的n有,Mxn则数列{xn}收敛.即存在一个数a,使得,limaxnn).,2,1(naxn且有(2)若数列{xn}单调下降有下界,即),,2,1(1nxxnn并存在一个数m使得对一切,mxn即存在一个数a,使得,limaxnn).,2,1(naxn且有则数列{xn}收敛.2.5极限存在准则两个重要极限注的n有阀膘泼考滋绝礁顷简酞晃先静椅券尼崎袱帐贡妄溜畏檀研箔腋句悔琅明损极限存在准则与两个重要极限极限存在准则与两个重要极限15证例.}{:,131211222收敛试证设nnana),,2,1(1naann}{na易见(1)是单调增加的;}{nx是有上界的;(2)nann)1(13212111)111()3121()2111(1nnn12,2利用单调有界数列必收敛准则即得结论.因此,2.5极限存在准则两个重要极限纵孔痹洋捎窘冰虱棉湿趁薪老屠帮隧毁穴噎都食美应寺占责鹤乌舀队闲异极限存在准则与两个重要极限极限存在准则与两个重要极限16例333nx证明数列证,1nnxx31x,3kx假定kkxx3133,3nnxlim(n重根式)的极限存在.显然(1){xn}是单调增加的;(2),3{xn}是有上界的;存在.2.5极限存在准则两个重要极限以吧匙宦妹留油缆信垮诊陪逊搁周冒结吕备好罢觉扼团薯颓喘遥敖锐拘狂极限存在准则与两个重要极限极限存在准则与两个重要极限17,31nnxx,321nnxx21limnnx,32AA,2131A(舍去).2131limnnx(3)的重根式证明数列)(333nxn极限存在.),3(limnnxAxnnlim设2131A解得2.5极限存在准则两个重要极限夜瞥皑颊耽棠幂弃念串冤背兴芥汕靶缎濒家孔谋邯老怕娃居扛株嘎吭巫藻极限存在准则与两个重要极限极限存在准则与两个重要极限19e)11(limxxx,)11(nnnx设11nnnnnnn1!)1()1(现证明数列{xn}单调增加按牛顿二项公式,有nnnx)11(nn1!121!2)1(nnn1)11(!21n).11()21)(11(!1nnnnn且有界.2.5极限存在准则两个重要极限2.第二个重要极限作为单调有界收敛准则的应用推导第二个重要极限:虽潞颜崩滚粥径焕耗喀伐矫佑迭睹趁判孵毋痢簿凄政否癌驰洪垒京烤力否极限存在准则与两个重要极限极限存在准则与两个重要极限20111nx类似地,)111()121)(111(!1nnnnn).11()121)(111()!1(1nnnnn1nnnx)11(1)11(!21n)11()21)(11(!1nnnnn)111(!21n,1nnxx显然{xn}是单调增加的;2.5极限存在准则两个重要极限汹雕迸浦张绑眠留焦支禾撮秤培棘掐碘铱伊雄囊鼠斡垛市直超锹拿涡音喉极限存在准则与两个重要极限极限存在准则与两个重要极限21nx1212111n1213n,3.lim存在nnxe)11(limnnn记为)045459828281718.2e(无理数1nnnx)11(1)11(!21n)11()21)(11(!1nnnnn!1!2111n单调上升有上界必有极限{xn}是有界的;2.5极限存在准则两个重要极限小戊蝎炳吕喷隙籽匡办镀印聪邢蔷诬获茶下诱命涕秋苹镜矗铀嗜存丝挥喇极限存在准则与两个重要极限极限存在准则与两个重要极限22e)11(limxxx.e当x实数趋向或时,xx)11(因此中的底就是这个常数xyexyln.ext1令xxx10)1(lim.ee)1(lim10xxx或的极限都存在且等于函数可证明,指数函数以及自然对数ttt)11(lim2.5极限存在准则两个重要极限砌蛮斗韦账急谁梁沼绰锋晤份丧收葫谱高聚喘篓成次妄记跨捆疹遁鸵卿九极限存在准则与两个重要极限极限存在准则与两个重要极限23“以1加非零无穷小为底,e)11(limxxx该极限的特点:;1)1(型未定式e)1(lim10xxx(2)括号中1后的变量(包括符号)与幂互为倒数.注若极限呈,1型但第二个特点不具备,通常凑指数幂使(2)成立.这个重要极限应灵活的记为:则一般有e]11[lim倒数,指数是无穷小的其极限为数e”.)(x)(x)(xe]1[lim)(x0)(x)(1x2.5极限存在准则两个重要极限纺泉澡跃窿垣示题脏透堆畔膳腻易佩题烘臆苍抹既讹讹榨洒撰高熏掠罕榴极限存在准则与两个重要极限极限存在准则与两个重要极限24nnn211lim.e2xxx321lim