上海高二数学矩阵及其运算

第1页矩阵及其运算矩阵的概念1、形如13、512128363836232128、2332441mn、2313242414mn这样的矩形数表叫做矩阵。2、在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量12,,naaa称为行向量；垂直方向排列的数组成的向量12nbbb称为列向量；由m个行向量与n个列向量组成的矩阵称为mn阶矩阵，mn阶矩阵可记做mnA，如矩阵13为21阶矩阵，可记做21A；矩阵512128363836232128为33阶矩阵，可记做33A。有时矩阵也可用A、B等字母表示。3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，在一个mn阶矩阵mnA中的第i（im）行第j（jn）列数可用字母ija表示，如矩阵512128363836232128第3行第2个数为3221a。4、当一个矩阵中所有元素均为0时，我们称这个矩阵为零矩阵。如000000为一个23阶零矩阵。5、当一个矩阵的行数与列数相等时，这个矩阵称为方矩阵，简称方阵，一个方阵有n行（列），可称此方阵为n阶方阵，如矩阵512128363836232128、2332441mn均为三阶方阵。在一个n阶方阵中，从左上角到右下角所有元素组成对角线，如果其对角线的元素均为1，其余元素均为零的方阵，叫做单位矩阵。如矩阵1001为2阶单位矩阵，矩阵100010001为3阶单位矩阵。6、如果矩阵A与矩阵B的行数和列数分别相等，那么A与B叫做同阶矩阵；如果矩阵A与矩阵B是同阶矩阵，当且仅当它们对应位置的元素都相等时，那么矩阵A与矩阵B叫做相等的矩阵，记为AB。第2页7、对于方程组231324244xymzxyzxynz中未知数zyx,,的系数按原来的次序排列所得的矩阵2332441mn，我们叫做方程组的系数矩阵；而矩阵2313242414mn叫做方程组的增广矩阵。应用举例：例1、已知矩阵222,22xxybaABxabyxy且AB，求a、b的值及矩阵A。例2、写出下列线性方程组的增广矩阵：（1）23146xyxy；（2）23203250230xyzxyzxyz例3、已知线性方程组的增广矩阵，写出其对应的方程组：（1）235124（2）210203213023例4、已知矩阵sincos0sincos1为单位矩阵，且,,2，求sin的值。第3页矩阵的基本变换：（1）互换矩阵的两行或两列；（2）把某一行同乘（除）以一个非零的数；（3）某一行乘以一个数加到另一行。显然，通过以上三个基本变换，可将线性方程组的系数矩阵变成单位矩阵，这时增广矩阵的最后一个列向量给出了方程组的解。应用举例：例1、用矩阵变换的方法解三元一次方程组4357245238xyzxyzxyz的解。例2、运用矩阵变换方法解方程组：322axyxyb（a、b为常数）课堂练习：用矩阵变换方法解下列问题：（1）若方程组2(1)(1)4xykxky的解x与y相等，求k的值。第4页（3）解方程组：320255781xyzxyzxyz矩阵运算（对从实际问题中抽象出来的矩阵，我们经常将几个矩阵联系起来，讨论它们是否相等，它们在什么条件下可以进行何种运算，这些运算具有什么性质等问题，这是下面所要讨论的主要内容.）1．相等定义如果两个矩阵nmijaA，psijbB满足：(1)行、列数相同，即pnsm,；(2)对应元素相等，即aij=bij(i=1,2,…,m；j=1,2,…,n)，则称矩阵A与矩阵B相等，记作A=B（由矩阵相等定义可知，用等式表示两个mn矩阵相等，等价于元素之间的mn个等式.）例如，矩阵A=232221131211aaaaaa，B=412503那么A=B，当且仅当a11=3，a12=0，a13=-5，a21=-2，a22=1，a23=4而C=22211211cccc因为B,C这两个矩阵的列数不同，所以无论矩阵C中的元素c11,c12,c21,c22取什么数都不会与矩阵B相等.2．加法定义2.3设nmijaA，psijbB是两个mn矩阵，则称矩阵C=mnmnmmmmnnnnbababababababababa221122222221211112121111第5页为A与B的和，记作C=A+B=ijijba（由定义2.3可知，只有行数、列数分别相同的两个矩阵，才能作加法运算.）同样，我们可以定义矩阵的减法：D=A-B=A+(-B)=ijijba称D为A与B的差.例1设矩阵A=152403，B=130432，求A+B，A-B.例2、矩阵coscos0tan1A，00tantantanB，201017C，若ABC，(0,)2，(,)2，求sin2的值。矩阵加法满足的运算规则是什么？设A,B,C,O都是mn矩阵，不难验证矩阵的加法满足以下运算规则1.加法交换律：A+B=B+A；2.加法结合律：(A+B)+C=A+(B+C)；3.零矩阵满足：A+O=A；4.存在矩阵-A，满足：A-A=A+(-A)=O.3．数乘定义2.4设矩阵nmijaA，为任意实数，则称矩阵nmijcC为数与矩阵A的数乘，其中),2,1;,,2,1(njmiacijij，记为C=A（由定义2.4可知，数乘一个矩阵A，需要用数去乘矩阵A的每一个元素.特别地，当=-1时，A=-A，得到A的负矩阵.）第6页例3设矩阵A=062504713，用2去乘矩阵A，求2A.数乘矩阵满足的运算规则是什么？对数k,l和矩阵A=nmija，B=nmijb满足以下运算规则：1.数对矩阵的分配律：k(A+B)=kA+kB；2.矩阵对数的分配律：(k+l)A=kA+lA；3.数与矩阵的结合律：(kl)A=k(lA)=l(kA)；4.数1与矩阵满足：1A=A.例4设矩阵A=610523，B=712834，求3A-2B.4．乘法矩阵乘积的定义设A=ija是一个ms矩阵，B=ijb是一个sn矩阵，则称mn矩阵C=ijc为矩阵A与B的乘积，记作C=AB.其中cij=ai1b1j+ai2b2j+…+aisbsj=abikkjks1(i=1,2,…,m；j=1,2,…,n).（由矩阵乘积的定义可知：）(1)只有当左矩阵A的列数等于右矩阵B的行数时，A,B才能作乘法运算AB；(2)两个矩阵的乘积AB亦是矩阵，它的行数等于左矩阵A的行数，它的列数等于右矩阵B的列数；(3)乘积矩阵AB中的第i行第j列的元素等于A的第i行元素与B的第j列对应元素的乘积之和，故简称行乘列的法则.例6设矩阵A=530412，B=10789，计算AB.第7页例7设矩阵A=2142，B=1122，求AB和BA.由例6、例7可知，当乘积矩阵AB有意义时，BA不一定有意义；即使乘积矩阵AB和BA有意义时，AB和BA也不一定相等.因此，矩阵乘法不满足交换律，在以后进行矩阵乘法时，一定要注意乘法的次序，不能随意改变.在例6中矩阵A和B都是非零矩阵（AO,BO）,但是矩阵A和B的乘积矩阵AB是一个零矩阵（AB=O），即两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.因此，当AB=O，不能得出A和B中至少有一个是零矩阵的结论.一般地，当乘积矩阵AB=AC，且AO时，不能消去矩阵A，而得到B=C.这说明矩阵乘法也不满足消去律.那么矩阵乘法满足哪些运算规则呢？矩阵乘法满足下列运算规则：1.乘法结合律：（AB）C=A（BC）；2.左乘分配律：A（B+C）=AB+AC；右乘分配律：（B+C）A=BA+CA；3.数乘结合律：k（AB）=（kA）B=A（kB），其中k是一个常数.例8：已知0110A，矩阵12B，求AB。练习：计算下列矩阵的乘法（1）1212()nnbbaaab；（2）1212()nnaabbba。第8页例9、已知矩阵)(xfA，xxB1，a2xC，若A=BC，求函数)x(f在[1,2]上的最小值.例10：将下列线性方程组写成矩阵乘法的形式（1）21437xyxy；（2）2314231241xyzxyzxyz。例11：若ABBA，矩阵B就称为与A可变换，设1101A，求所有与A可交换的矩阵B。课堂练习与课后作业一、选择题1、“两个矩阵的行数和列数相等”是“两个矩阵相等”的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件是C、充要条件D、既不充分又不必要条件2、用矩阵与向量的乘法的形式表示方程组1y2x2y3x2其中正确的是（）A、122132yxB、122312yxC、122132yxD、121223yx第9页3、若211403201453AB，，且23AXB，则矩阵X___________.4、点A（1，2）在矩阵1022对应的变换作用下得到的点的坐标是___________5、已知ba2000是一个正三角形的三个顶点坐标所组成的矩阵，那么a+b=.6、若点A)22,22(在矩阵cossinsincos对应的变换作用下得到的点为（1，0），那么α=.7、若点A在矩阵1222对应的变换作用下下得到的点为（2，4），那么点A的坐标为.8、已知1sincossincos1A，1221B若A=B，那么α+β=.9、设A为二阶矩阵，其元素满足，0aajiiji=1，2，j=1，2，且2aa2112，那么矩阵A=.10：46xAy，13uBv，且AB，那么A+AB=。11、一个线性方程组满足，系数矩阵为单位矩阵，解为1行3列的矩阵(1,2,1)，那么该线性方程组为。12、计算:若矩阵13cos60sin6022sin60cos603122AB，，则AB___________.13、计算：342112546110221=.14.线性方程组603540xyxy对应的系数矩阵是___________，增广矩阵是___________.15、已知矩阵2301(1,2)123ABC，，，则()ABC___________.二、简答题第10页1.已知1011A，分别计算23AA、，猜测*(2)nAnnN，；2.将下列线性方程组写成矩阵形式，并用矩阵变换的方法求解:⑴