2020届重庆一中高三下学期期中考试文科数学试题(含答案)

秘密★启用前【考试时间：】2020年重庆一中高2020级高三下期期中考试数学（文科）试题卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答卷上。2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。3.考试结束后，将答题卡交回。第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.设集合22Pxxx，3QxNx，则PQ()A．[1,2]B．[0,2]C．0,1,2D．1,0,1,22.已知向量(1,2)a，(1,)bx，若ab∥，则b()A.3B.25C.5D.53.复数12zi，若复数1z与2z在复平面内的对应点关于虚轴对称，则12zz()A.B.C.D.4.一场考试之后，甲乙丙三位同学被问及语文、数学、英语三个科目是否达到优秀时，甲说：有一个科目我们三个人都达到了优秀；乙说：我的英语没有达到优秀；丙说：乙达到优秀的科目比我多.则可以完全确定的是()A．甲同学三个科目都达到优秀B．乙同学只有一个科目达到优秀C．丙同学只有一个科目达到优秀D．三位同学都达到优秀的科目是数学5.2020年，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援湖北共抗新型冠状病毒肺炎，重庆某医院派出3名医生，2名护士支援湖北，现从这5人中任选2人定点支援湖北某医院，则恰有1名医生和1名护士被选中的概率为()A．0.7B．0.4C．0.6D．0.36.已知一组数据12345,,,,xxxxx的平均数是m，方差是n，将这组数据的每个数都乘以(0)aa得到一组新数据，则下列说法正确的是()A．这组新数据的平均数是mB．这组新数据的平均数是amC．这组新数据的方差是anD．这组新数据的标准差是an7.已知107700,0xyxyxy表示的平面区域为D，若对(,)xyD都有2xya，则实数a的取值范围是()A．5,B．2,C．1,D．0,5534i34i8.将表面积为36的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为23的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为()A．183B．182C．123D．2439.若函数ln)()(fxaxaR与函数()gxx在公共点处有共同的切线，则实数a的值为()A．4B．12C．2eD．e10.已知12,FF是双曲线2222:1(0,0)xyEabab的左、右焦点，P是双曲线E右支上一点，M是线段1FP的中点，O是坐标原点，若1OFM的周长为3ca（c为双曲线的半焦距）且13FMO，则双曲线E的渐近线方程为()A．22yxB．2yxC．12yxD．2yx11.已知函数()2sin()(0,)2xfx的图象过点(0,1)A，且在(,)183上单调，同时将()fx的图象向左平移个单位后与原图象重合，当12172,(,)123xx且12xx时12()()fxfx，则12()fxx()A．3B．1C．1D．212.已知函数()fx是定义在(,0)(0,)上的偶函数，当(0,)x时，2(1),02()1(2),22xxfxfxx，则函数2()8()6()1gxfxfx的零点个数为()A.20B.18C.16D.14第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知等比数列na的前n项和为nS，且132455,24aaaa，则33Sa_________.14.已知抛物线212yx的焦点为F，过点(2,1)P的直线l与该抛物线交于,AB两点，且点P恰好为线段AB的中点，则AFBF_________.15.设nS为数列na的前n项和，若0na，11a，且2()nnnSaat（,tRnN），则100S_________.16.在三棱锥PABC中，2,1,90PAPCBABCABC，若PA与底面ABC所成的角C1CDA1ABB1月份代码月利润（百万元）9月8月7月10月6月5月2015654123O511131621αβCABD为60，则点P到底面ABC的距离是_________；三棱锥PABC的外接球的表面积是_________.（本小题第一空2分，第二空3分）三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）如图，ABC是等边三角形，D是BC边上的动点（不含端点），记BAD,ADC.（1）求2coscos的最大值；（2）若11,cos7BD，求ABD的面积.18.（12分）如图，在直三棱柱111ABCABC中，1111ABAC，D是11BC的中点，1112AAAB.（1）求证：11ABACD∥平面；（2）若异面直线1AB和BC所成角为60，求四棱锥11ACDBB的体积.19.（12分）某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2019年连续六个月（5—10月）的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如右图所示.（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润y（单位：百万元）与月份代码x之间的关系，求y关于x的线性回归方程，并据此预测该公司2020年5月份的利润；（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有,AB两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不同，现对,AB两种型号的新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的频数统计表（表1）.若从产品使用寿命的角度考虑，甲公司的负责人选择采购哪款新型材料更好？使用寿命/材料类型1个月2个月3个月4个月总计A20353510100B10304020100(表1)参考数据：6196iiy；61371iiixy.参考公式：回归直线方程ˆˆˆybxa，其中1122211ˆ=nniiiiiinniiiixxyyxynxybxxxnx，ˆ.ˆˆayxb20.（12分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的长轴长为4，且经过点2(2,)2P.（1）求椭圆C的方程；（2）直线l的斜率为12，且与椭圆交于,AB两点（异于点P），过点P作APB的角平分线交椭圆于另一点Q.证明：直线PQ与坐标轴平行.21.（12分）已知函数2ln1,.fxxaxxaR（1）当14a时，求函数()yfx的极值；（2）若对于任意实数(1,2)b，当(1,]xb时，函数fx的最大值为fb，求实数a的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分.22.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为22cos2sinxy(为参数).以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为4sin．（1）求曲线1C的极坐标方程；（2）设点M的极坐标为(4,0)，射线(0)4分别交1C、2C于点,AB（,AB异于极点），当4AMB时，求tan的值.23.[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知0a，0b，22143abab.（1）求证：1ab；（2）若ba，求证：3311113abab.2020年重庆一中高2020级高三下期期中考试数学（文科）试题卷（参考答案）C1ECDA1BAB1一、选择题题号123456789101112答案CDACCDABCBBC二、填空题13.714.1015.505016.3;5三、解答题17.解：（1）,(0,)33，2cos－cos=2cos－cos+3＝3sin+3，又2(0,)(,)3333，，故当32时，原式取最大值3.····································6分（2）由cosβ＝17，得sinβ＝437，故sinα＝sin3＝sinβcos3－cosβsin3＝3314，在ABD中，由正弦定理sinsinABBDADBBAD，得AB＝sinsinBD＝4373314×1＝83，故S△ABD＝12AB·BD·sinB＝1832312323.·······································································12分18.（1）证明：如图，连1AC交1AC于点E，连DE.因为直三棱柱111ABCABC中，四边形11AACC是矩形，故点E是1AC中点，又D是11BC的中点，故1DEAB∥，又111,,ABACDDEACD平面平面故11ABACD∥平面.·························································6分（2）解：由（1）知1DEAB∥，又1CDBC∥，故1CDE或其补角为异面直线1AB和BC所成角.设2ACm，则22111,1,2CEmCDmDE，故1CDE为等腰三角形，故160CDE，故1CDE为等边三角形，则有212m，得到1m.故111ABC为等腰直角三角形，故111ADCB，又11111111BBABCADABC平面，平面，故11ADBB，又1111BBCBB，故11ADCDBB平面，又梯形1CDBB的面积111(222)23222CDBBSAD，，则四棱锥11ACDBB的体积1111322233CDBBVSAD.················································12分19.解：（1）由折线图可知统计数据,xy共有6组，即(1,11)，(2,13)，(3,16)，(4,15)，(5,20)，(6,21)，计算可得1234563.56x，y6111961666iiy，所以616221ˆ=iiiiixynxybxnx37163.516217.5，1623.59aybx.所以月度利润y与月份代码x之间的线性回归方程为29yx.·····················································6分由题意推得2020年5月份对应的年份代码为13，故当13x时，213935y（百万元），故预计甲公司2020年5月份的利润为35百万元.························································································8分（2）A型新材料对应产品的使用寿命的平均数为12013523531042.35100x（个月），B型新材料对应的产品的使用寿命的平均数为21013024032042.7100x（个月），12xx，采购B型新材料更好.························································································12分注：若采用其他数字特征（如中位数、众数等）进行合理表述，也可酌