2016高考数学理(全国通用)二轮复习课件：导数的概念及运算

考纲考向分析核心要点突破第一节导数的概念及运算考纲考向分析核心要点突破考点梳理考纲速览命题解密热点预测1.导数的概念.2.导数的几何意义.3.定积分.4.微积分基本定理.(1)了解导数概念的实际背景.(2)理解导数的几何意义.(3)能根据导数定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x的导数.(4)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数.(5)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.(6)了解微积分基本定理的含义.以导数的运算法则为基础，以导数的几何意义为重点，主要考查利用导数求切线的方程，利用微积分基本定理进行定积分计算，利用定积分的几何意义求图形的面积.高考仍将坚持考查导数的几何意义，利用定积分求平面图形的面积或求值，考查微积分基本定理的灵活运用.导数与解析几何等有关知识的综合题亦应重点关注.考纲考向分析核心要点突破知识点一导数的概念及运算1.导数的概念及几何意义(1)函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为，若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为ΔyΔx.f（x2）－f（x1）x2－x1考纲考向分析核心要点突破(2)函数f(x)在x＝x0处的导数①定义：称函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝__________________为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝___________________.②几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，y0)处的切线的_____.相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0).(3)函数f(x)的导函数称函数f′(x)为f(x)的导函数，导函数有时也记作y′.0limxyx000()()limxfxxfxx000()()limxfxxfxx斜率考纲考向分析核心要点突破2.导数的计算(1)基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝C(C为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝______f(x)＝sinxf′(x)＝______f(x)＝cosxf′(x)＝________f(x)＝axf′(x)＝_____________f(x)＝exf′(x)＝___f(x)＝logaxf′(x)＝_______(a0，且a≠1)f(x)＝lnxf′(x)＝___ex1axcosxsinxln()xaaa01lnxa1x考纲考向分析核心要点突破(2)导数的运算法则①[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；②[f(x)·g(x)]′＝__________________；(3)复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝_________，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)③f（x）g（x）′＝___________________________(g(x)≠0).f′（x）g（x）－f（x）g′（x）[g（x）]2y′u·u′x考纲考向分析核心要点突破知识点二定积分与微积分基本定理1.定积分的定义和相关概念(1)如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0x1…xi－1xi…xn＝b将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1，2，…，n)，作和式，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作abf(x)dx，即abf(x)dx＝_______________limni＝1nb－anf(ξi)1()niif1nibanΔx＝考纲考向分析核心要点突破(2)在abf(x)dx中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式.考纲考向分析核心要点突破2.定积分的几何意义(1)当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分abf(x)dx的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(甲图中阴影部分).考纲考向分析核心要点突破(2)一般情况下，定积分abf(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a、x＝b之间的曲边梯形面积的和(图乙中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数.考纲考向分析核心要点突破3.定积分的性质(1)abkf(x)dx＝kabf(x)dx(k为常数)；(2)ab[f1(x)±f2(x)]dx＝__________________；(3)abf(x)dx＝____________________________.abf1(x)dx±abf2(x)dxacf(x)dx＋cbf(x)dx(其中acb)考纲考向分析核心要点突破4.微积分基本定理一般地，如果f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)，那么abf(x)dx＝.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式.其中F(x)叫做f(x)的一个原函数.为了方便，我们常把F(b)－F(a)记作F(x)ba，即abf(x)dx＝F(x)ba＝F(b)－F(a).F(b)－F(a)考纲考向分析核心要点突破【名师助学】1.本部分知识可以归纳为：(1)四类法则：导数运算的四种法则：①加减法则，②乘法法则，③除法法则，④复合函数求导法则.(2)三个防范：①利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆.②要正确理解直线与曲线相切和直线与曲线只有一个交点的区别.③正确分解复合函数的结构，由外向内逐层求导，做到不重不漏.考纲考向分析核心要点突破2.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别.3.被积函数若含有绝对值号，应先去绝对值号，再分段积分.4.若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量.5.定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负.考纲考向分析核心要点突破方法1利用导数求切线的方程若已知曲线过点P(x0，y0)，求曲线过点P(x0，y0)的切线，则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解.(1)点P(x0，y0)是切点的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).(2)当点P(x0，y0)不是切点时可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))；第二步：写出过P′(x1，f(x1))的切线方程y－f(x1)＝f′(x1)·(x－x1)；第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1；第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)，可得过点P(x0，y0)的切线方程.考纲考向分析核心要点突破【例1】已知曲线y＝13x3＋43.(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程；(3)求满足斜率为1的曲线的切线方程.考纲考向分析核心要点突破解(1)∵y′＝x2，∴在点P(2，4)处的切线的斜率k＝y′|x＝2＝4.∴曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)设曲线y＝13x3＋43与过点P(2，4)的切线相切于点Ax0，13x30＋43，则切线的斜率k＝y′|x＝x0＝x20.∴切线方程为y－13x30＋43＝x20(x－x0)，即y＝x20·x－23x30＋43.∵点P(2，4)在切线上，∴4＝2x20－23x30＋43，考纲考向分析核心要点突破即x30－3x20＋4＝0，∴x30＋x20－4x20＋4＝0，∴x20(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.(3)设切点为(x0，y0)，故切线的斜率为k＝x20＝1，解得x0＝±1，故切点为1，53，(－1，1).故所求切线方程为y－53＝x－1和y－1＝x＋1，即3x－3y＋2＝0和x－y＋2＝0.考纲考向分析核心要点突破[点评]解决本题的关键是准确理解导数的几何意义并正确区分“在”与“过”的区别.考纲考向分析核心要点突破方法2利用定积分求图形的面积几种典型的平面图形面积的计算.求由一条曲线y＝f(x)和直线x＝a，x＝b(ab)及y＝0所围成的平面图形的面积S.(1)如图甲所示，f(x)≥0，abf(x)dx0，∴S＝abf(x)dx.考纲考向分析核心要点突破(2)如图乙所示，f(x)≤0，abf(x)dx0.∴S＝abf（x）dx＝－abf(x)dx.(3)如图丙所示，当a≤x≤c时，f(x)≤0，acf(x)dx0；当c≤x≤b时，f(x)≥0，cbf(x)dx0.∴S＝acf（x）dx＋cbf(x)dx＝－acf(x)dx＋cbf(x)dx.考纲考向分析核心要点突破【例2】由曲线y＝x，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为()A.103B.4C.163D.6[解题指导](1)已知：已知曲线方程为y＝x，直线y＝x－2，y轴即x＝0，(2)分析：画出图形，由图象交点确定积分区间，由图象中曲线间的位置关系确定被积函数，然后用积分求面积.考纲考向分析核心要点突破解析y＝x与y＝x－2以及y轴所围成的图形为如图所示的阴影部分，联立y＝x，y＝x－2得交点坐标为(4，2)，故所求面积为S＝04[x－(x－2)]dx＝23x32－x22－2x40＝163.答案C考纲考向分析核心要点突破[点评]利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上、下限及被积函数.当图形的边界不同时，要分情况讨论.若定积分为负值时，一定要通过取绝对值将其变为正值.