高考数学应用题归类解析 (2)

高考数学应用题归类解析张家港市常青藤实验中学何睦类型一：函数应用题1.1以分式函数为载体的函数应用题例1.工厂生产某种产品，次品率p与日产量x(万件)间的关系为：10,623xcxpxc（c为常数，且0c6）.已知每生产1件合格产品盈利3元，每出现1件次品亏损1.5元.（1）将日盈利额y(万元)表示为日产量x(万件)的函数；（2）为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？(注：次品率＝次品数产品总数×100%)【解】（1）若cx0，则)6(293623)6(3xxxxxxxxy，若cx，则03223)32(3xxxy，0)6(2)29(32xxxycxcx0（2）当cx0，则222')6()9)(3(3))6()1)(29()6)(49(23xxxxxxxxy若30c，则0'y，函数在c,0上为增函数，)6(2)29(3,2maxcccycx若63c，在)3,0(上为增函数，在),3(c上为减函数，∴当3x时，29max)3(fy.综上，若30c，则当日产量为c万件时，日盈利额最大；若63c，则当日产量为3万件时，日盈利额最大.例2.近年来，某企业每年消耗电费约24万元,为了节能减排,决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网,安装这种供电设备的工本费(单位:万元)与太阳能电池板的面积(单位:平方米)成正比,比例系数约为0.5.为了保证正常用电,安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.假设在此模式下,安装后该企业每年消耗的电费C（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位:平方米)之间的函数关系是()(0,20100kCxxkx为常数).记F为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和.（1）试解释(0)C的实际意义,并建立F关于x的函数关系式；（2）当x为多少平方米时,F取得最小值？最小值是多少万元？【解】（1）(0)C的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用，即未安装电阳能供电设备时全村每年消耗的电费，由(0)24100kC,得2400k，所以24001800150.50.5,0201005Fxxxxx；（2）因为18000.5(5)0.25218000.50.2559.755Fxx.当且仅当18000.5(5)5xx，55x时取等号，所以当x为55平方米时,F取得最小值为59.75万元.1.2以分段函数为载体的函数应用题例3.在等边ABC中,AB=6cm，长为1cm的线段DE两端点,DE都在边AB上，且由点A向点B运动（运动前点D与点A重合），FDAB,点F在边AC或边BC上；GEAB,点G在边AC或边BC上，设ADxcm.（1）若ADF面积为1()Sfx,由,,,DEEGGFFD围成的平面图形面积为2()Sgx，分别求出函数(),()fxgx的表达式；（2）若四边形DEGF为矩形时0xx，求当0xx时,设()()()fxFxgx，求函数()Fx的取值范围.解：（1）①当03x时，F在边AC上，0tan603FDxx，23()2fxx；当35x时，F在边BC上，0(6)tan603(6)FDxx,3()(6)2fxxx，23,032()3(6),352xxfxxxx②当02x时，F、G都在边AC上，0tan603FDxx，3(1)EGx33(1)3()1322xxgxx；当23x时，F在边AC上，G在边BC上,3FDx,3(5)EGx53()2gx；当35x时，F、G都在边BC上,3(6)FDx,3(5)EGx11()332gxx33,02253(),2321133,352xxgxxxx.（2）052x①当532x时，259(),()545xFxFx②当35x时，22'26533(),()40211211xxxxFxFxxx518(),5,1045Fx的取值范围为例4.如图，长方体物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为v（v＞0），雨速沿E移动方向的分速度为ccR，E移动时单位时间．．．．内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与vc×S成正比，比例系数为1；（2）其他面的淋雨量之和，其值为12.记y为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离100d，面积23SS=32.（1）写出y的表达式；（2）设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少.1.3以二次函数为载体的函数应用题例5.轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动．如图，助跑道ABC是一段抛物线，某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为1米的平台上E处，飞行的轨迹是一段抛物线CDE（抛物线CDE与抛物线ABC在同一平面内），D为这段抛物线的最高点．现在运动员的滑行轨迹所在平面上建立如图所示的直角坐标系，x轴在地面上，助跑道一端点A(0，4)，另一端点C(3，1)，点B(2，0)，单位：米．（1）求助跑道所在的抛物线方程；（2）若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点C处有相同的切线，为使运动员安全和空中姿态优美，要求运动员的飞行距离在4米到6米之间（包括4米和6米），试求运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围？（注：飞行距离指点C与点E的水平距离，即这两点横坐标差的绝对值．）24yOxEDCBA【解】（1）设助跑道所在的抛物线方程为2000()fxaxbxc，依题意：00000004,420,931,cabcabc解得，01a，04b，04c，∴助跑道所在的抛物线方程为2()44fxxx．（2）设飞行轨迹所在抛物线为2()gxaxbxc（0a），依题意：(3)(3),'(3)'(3),fgfg得931,62,abcab解得26,95,baca∴22311()(26)95()1agxaxaxaaxaa，令()1gx得，22311()axaa，∵0a，∴31123axaaa，当31axa时，()gx有最大值为11a，则运动员的飞行距离2233daa，飞行过程中距离平台最大高度1111haa，依题意，246a，得123a，即飞行过程中距离平台最大高度的取值范围为在2米到3米之间．例6.某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x(x∈N)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为310500xa万元(a＞0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%．（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？【解】（1）由题意，得10(1000－x)(1＋0.2x%)≥10×1000，即2x－500x≤0，又x＞0，所以0＜x≤500．即最多调整500名员工从事第三产业．（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为310500xax万元，从事原来产业的员工的年总利润为110(1000)1500xx万元，则310500xax≤110(1000)1500xx，所以ax－23500x≤1000＋2x－x－21500x，所以ax≤22500x＋1000＋x，即a≤2500x＋1000x＋1恒成立．因为2500x＋1000x≥210002500xx＝4，当且仅当2500x＝1000x，即x＝500时等号成立，所以a≤5，又a＞0，所以0＜a≤5．所以a的取值范围为(0，5]．类型二：三角测量应用题2.1以三角函数的定义为载体的三角应用题例7.如图，两个圆形飞轮通过皮带传动，大飞轮1O的半径为r2（r为常数），小飞轮2O的半径为r，rOO421.在大飞轮的边缘上有两个点A，B，满足31ABO，在小飞轮的边缘上有点C．设大飞轮逆时针旋转一圈，传动开始时，点B，C在水平直线21OO上．m]（1）求点A到达最高点时A，C间的距离；（2）求点B，C在传动过程中高度差的最大值.【解】（1）以1O为坐标系的原点，12OO所在直线为x轴，如图所示建立直角坐标系．当点A到达最高点AOZOZCZBZ12．．．．．xy时，点A绕O1转过π6，则点C绕O2转过π3．此时A（0，2r），C93(,)22rr．∴2293()(2)252322ACrrrr．（2）由题意，设大飞轮转过的角度为θ，则小飞轮转过的角度为2θ，其中[0,2π]．此时B（2rcos，2rsin），C（4rrcos2，rsin2）．记点,BC高度差为d，则|2sinsin2|drr．即2|sinsincos|dr．设()sinsincosf，[0,2π]，则()(1cos)(2cos1)f．令()(1cos)(2cos1)0f，得1cos2或1．则2π3，4π3，0或2π．列表：02(0,π)32π324(π,π)334π34(π,2π)32π()f+00+()f0极大值f(2π3)]极小值f(4π3)0∴当θ2π3时，f(θ)取得极大值为334；当θ4π3时，f(θ)取得极小值为334．答：点B，C在传动中高度差的最大值max332dr．2.2以三角函数的图象为载体的三角应用题例8.如图，摩天轮的半径为m40，点O距地面的高度为m50，摩天轮做匀速转动，每min3转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处.（1）试确定在时刻(min)t时点P距离地面的高度；（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面超过m70？（3）求证：不论t为何值，)2()1()(tftftf是定值.2.3以解三角形为载体的三角应用题（例9不含分式结构的解三角形问题；例10和例11含有分式结构的解三角形问题，方法略有不同）例9.在路边安装路灯，灯柱AB与地面垂直，灯杆BC与灯柱AB所在平面与道路垂直，且120ABC，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知60ACD，路宽24AD米，设灯柱高ABh（米），ACB（3045）.（1）求灯柱的高h（用表示）；（2）若灯杆BC与灯柱AB所用材料相同，记此用料长度和为S，求S关于的函数表达式，并求出S的最小值．例10.如图，将边长为3的正方形ABCD绕中心O顺时针旋转(0＜＜π2)得到正方形A′B′C′D′．根据平面几何知识，有以下两个结论：①∠A′FE＝；②对任意(0＜＜π2)，△EAL，△EA′F，△GBF，△GB′H，△ICH，△IC′J，△KDJ，△KD′L均是全等三角形．（1）设A′E＝x，将x表示为的函数；（2）试确定，使正方形A′B′C′D′与正方形ABCD重叠部分面积最小，并求最小面积．【解】（1）在Rt△EA′F中，因为∠A′FE＝，A′E＝x，所以EF＝xsin，A′F＝xtan．由题意AE＝A′E＝x，BF＝A′F＝xtan，所以AB＝AE＋EF＋BF＝x＋xsin＋xtan＝3．所以x＝3sin1＋sin＋cos，(0，π2)（2）S△A′EF＝12•A′E•A′F