【聚焦典型题】(苏教版)2014届高考一轮数学(理)：《数列的概念与简单表示法》

【2014年高考会这样考】1．考查已知数列的通项公式或递推关系，求数列的某项．2．考查由数列的递推关系求数列的通项公式．第1讲数列的概念及简单表示法B级A级抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考活页限时训练数列的概念数列的递推公式an与Sn的关系考向一考向二考向三助学微博考点自测【例2】【训练2】【例1】【训练1】【例3】【训练3】由递推公式求数列的通项公式已知数列的前几项求通项公式由数列的前n项和求通项选择题填空题解答题123、、、选择题填空题解答题123、、、高考中对Sn与an的关系的考查单击标题可完成对应部分的学习1．数列的概念考点梳理(1)定义按照__________排列着的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为这个数列的第1项，通常也叫做_________(2)数列与函数的关系数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大依次取值时，所对应的一列函数值．反过来，对于函数y＝f(x)，如果f(i)(i＝1,2,3，…)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1)，f(2)，f(3)，…，f(n)，….(3)数列的通项公式如果数列{an}的第n项与_______之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．一定顺序首项．序号n2．数列的递推公式考点梳理如果已知数列{an}的________(或______)，且任何一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即an＝f(an－1)或an＝f(an－1，an－2)，那么这个式子叫做数列{an}的递推公式．3．an与Sn的关系若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝____n＝______n第一项第n项S1Sn-Sn-1(1)解决与数列周期性有关的题目，关键是找出数列的周期．(2)求数列最大项的方法：①判断{an}的单调性；②解不等式组ak≥ak－1，ak≥ak＋1，求数列最小项依此类推．两类特殊问题助学微博三种方法由递推式求通项an的方法：(1)an＋1－an＝f(n)型，采用叠加法；(2)an＋1an＝f(n)型，采用叠乘法；(3)an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)型，采用待定系数法转化为等比数列解决．1．(2013·珠海模拟)设数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，则a7的值为()．A．13B．14C．15D．162．在数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1，则a5的值为()．A．30B．31C．32D．333．(2012·浙江)设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误的是()．A．若d＜0,则数列{Sn}有最大项B．若数列{Sn}有最大项,则d＜0C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*，均有Sn＞0D．若对任意n∈N*，均有Sn＞0，则数列{Sn}是递增数列考点自测单击题号显示结果答案显示单击图标显示详解BBC123单击转4-5题4．下列关于星星的图案个数构成一个数列,则该数列的一个通项公式是()．A．an＝n2－n＋1B．an＝nn－12C．an＝nn＋12D．an＝nn＋225．(2013·苏州模拟)函数y＝x2(x0)的图象在点(ak，a2k)处的切线与x轴交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*.若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．考点自测单击题号显示结果答案显示单击图标显示详解C2145单击转1-3题【例1】►根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)2,0,2,0，…；(2)12，34，78，1516，…；(3)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…；(4)7,77,777,7777，….【审题视点】解(1)考向一已知数列的前几项求通项公式通过分析各数列已知项的数字特征的共性，及常见的描述方法写出各数列的通项公式．所给数列可改写为1＋1，－1＋1,1＋1，－1＋1，…，可以看作数列1，－1,1，－1，…的各项都加1，因此所给数列的通项公式an＝(－1)n＋1＋1.所给数列也可看做2,0,2,0，…周期性变化，因此所给数列的通项公式an＝2n为奇数，0n为偶数.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以an＝2n－12n.将数列各项分成若干部分，观察某一部分是否是常见特殊数列。再寻找其他部分与其之间的关系【例1】►根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)2,0,2,0，…；(2)12，34，78，1516，…；(3)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…；(4)7,77,777,7777，….解(3)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n1nn＋1.(4)所给数列7,77,777,7777，…可以改写成79×9，79×99，79×999，79×9999，…，可以看作79×(10－1)，79×(100－1)，79×(1000－1)，79×(10000－1)，…，根据数列的前几项求通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征：把数列的项分成变化的部分和不变的部分；(4)各项符号特征．若关系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一成相同的形式，让规律凸现出来．【方法锦囊】考向一已知数列的前几项求通项公式【训练1】根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)1，－3,5，－7,9，…；(2)12，2，92，8，252，…；(3)0.8,0.88,0.888,0.8888，….解(1)an＝(－1)n＋1(2n－1)；(2)an＝n22；(3)an＝891－110n.根据数列的前几项求通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征：把数列的项分成变化的部分和不变的部分；(4)各项符号特征．若关系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一成相同的形式，让规律凸现出来．【方法锦囊】考向一已知数列的前几项求通项公式【审题视点】【例2】►已知下面数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式：(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n＋b.解(1)a1＝S1＝2－3＝－1，当n＝1时，由a1＝S1，求a1；当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1消去Sn，得an＋1与an的关系．转化成由递推关系求通项．当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.（2）a1＝S1＝3＋b，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1.【方法锦囊】数列的通项an与前n项和Sn的关系是an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.当n＝1时，a1若适合Sn－Sn－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；当n＝1时，a1若不适合Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示．考向二由数列的前n项和求通项公式当b＝－1时，a1适合此等式．当b≠－1时，a1不适合此等式．∴当b＝－1时，an＝2·3n－1；当b≠－1时，an＝3＋b，n＝1，2·3n－1，n≥2.【审题视点】利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求解．【方法锦囊】数列的通项an与前n项和Sn的关系是an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.当n＝1时，a1若适合Sn－Sn－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；当n＝1时，a1若不适合Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示．【训练2】已知各项均为正数的数列{an}的前n项和满足Sn＞1，且6Sn＝(an＋1)(an＋2)，n∈N*.求{an}的通项公式．解由a1＝S1＝16(a1＋1)(a1＋2)，解得a1＝1或a1＝2，由已知a1＝S1＞1，因此a1＝2.又由an＋1＝Sn＋1－Sn＝16(an＋1＋1)(an＋1＋2)－16(an＋1)(an＋2)，得an＋1－an－3＝0或an＋1＝－an.因为an＞0，故an＋1＝－an不成立，舍去．因此an＋1－an－3＝0.即an＋1－an＝3，从而{an}是公差为3，首项为2的等差数列，故{an}的通项为an＝3n－1.考向二由数列的前n项和求通项公式【审题视点】考向三由递推公式求数列的通项公式【例3】►(1)在数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，有an＝an－1＋2n－1(n≥2)，求数列的通项公式；(2)在数列{an}中，已知a1＝1，nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，求数列{an}的通项公式．解析(1)∵an＝an－1＋2n－1(n≥2)．观察递推式的特点可知利用累加法或累乘法求通项公式．【方法锦囊】由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an＋1＝an＋f(n)或an＋1＝f(n)·an，则可以分别通过叠加、叠乘法求得通项公式，另外，通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公式，如第(2)题．注意：有的问题也可利用构造法，即通过对递推式的等价变形，转化为特殊数列求通项．则有a2－a1＝3，a3－a2＝5，a4－a3＝7，…an－an－1＝2n－1.上述n－1个等式两边分别相加可得：an－a1＝n2－1，∴an＝n2.又∵a1也满足上式，所以an＝n2.(2)an＝anan－1·an－1an－2·an－2an－3·…·a3a2·a2a1·a1＝nn＋1×n－1n×n－2n－1×…×34×23×1＝2n＋1，又∵a1也满足上式，∴an＝2n＋1(n∈N*)．∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1.考向三由递推公式求数列的通项公式【训练3】(1)在数列{an}中,a1＝1,前n和Sn＝n＋23求{an}的通项公式．(2)已知a1＝1，an＋1＝3an＋2，求an.解析(1)由题设知，a1＝1.当n1时，an＝Sn－Sn－1＝n＋23an－n＋13an－1.∴anan－1＝n＋1n－1.∴a2a1＝3，a3a2＝42，a4a3＝53，…，anan－1＝n＋1n－1以上n个式子的两端分别相乘，得到ana1＝nn＋12，又∵a1＝1，(2)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，∴an＋1＋1an＋1＝3，∴数列{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，公比q＝3的等比数列，∴an＝nn＋12规范解答9——高考中对Sn与an的关系的考查揭秘3年高考【命题研究】已知an与Sn的关系式求通项公式是高考中的常见题型，既可以考选择、填空题，也可以考解答题．就考查形式来看，有些题目很容易看出an与Sn的关系式，但有时可能需要我们去抽象出一个新数列的和与项之间的关系，比如a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n2，此时我们可以把上式看成数列{nan}的前n项和为n2来求解．揭秘3年高考【真题探究】►(2012·广东)设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N*.(1)求a1的值；(2)求数列{an}的通项公式．第1步：【教你审题】赋值n＝1，可求a1；第2步：当n≥2时，由Sn＝Tn－Tn－1，an＝Sn－Sn－1找出an＋1与an的关系式；【规范解答】(1)令n＝1时，T1＝2S1－1，第3步：变形∵T1＝S1＝a1，∴a1＝2a1－1，∴a1＝1.(2分)(2)n≥2时，Tn－1＝2Sn－1－(n－1)2，则Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2]＝2(Sn－Sn－1)－2n＋1＝2an－2n＋1.因为当n＝1时，a1＝S1＝1也满足上式，所以Sn＝2an－2n＋1(n≥1)，(8分)当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2(n－1)＋1两式相减得an＝2an