第2章-控制系统数学模型

自动控制理论自动控制理论2020/7/3主要内容:数学模型基础控制系统的微分方程控制系统的传递函数控制系统的结构图信号流图与梅逊公式第2章控制系统的数学模型自动控制理论自动控制理论2020/7/31.数学模型：用数学的方法和形式表示并描述系统中各物理量（或变量）的动态关系。2.建立数学模型的目的建立系统的数学模型，是定量分析和设计控制系统的首要工作（或基础工作）。不同类型自控系统可能具有完全相同的数学模型，可摆脱不同系统的外部特征，研究内在的共性运动规律。2.1数学模型基础自动控制理论自动控制理论2020/7/33.建模方法微分方程（或差分方程）（时域）传递函数（或结构图）（复域）频率特性（频域）状态空间表达式（或状态模型）4.常用数学模型系统辨识课研究实验法本课研究解析法自动控制理论自动控制理论2020/7/35.由数学模型求取系统性能指标的主要途径求解观察线性微分方程性能指标传递函数时间响应频率响应拉氏变换拉氏反变换估算估算计算傅氏变换S=jω频率特性自动控制理论自动控制理论2020/7/32.2控制系统的微分方程对单输入、单输出的线性定常系统，采用下列微分方程来描述。y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+…+a0y(t)=bmx(m)(t)+bm-1x(m-1)(t)+…+b0x(t)其中：y(t)为系统输出量，y(I)表示输出的I阶导数x(t)为系统输入量，x(I)表示输入的I阶导数自动控制理论自动控制理论2020/7/3１、根据系统情况，确定输入和输出量；２、从输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所遵循的物理定律，列写出各元器件的动态方程，一般为微分方程组；３、消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程；４、微分方程标准化。建立微分方程的一般步骤：自动控制理论自动控制理论2020/7/32.2.1电气系统由电阻、电容、电感、运算放大器等元件组成的装置。对于这类系统，要使用基尔霍夫电流和电压定律，以及理想电阻、电感、电容两端电压、电流与元件参数的关系。基尔霍夫电压定律：对于任意一个集中参数电路中的任意一个回路，在任何时刻，沿该回路的所有支路电压代数和等于零。∑u=0基尔霍夫电流定律：对于任意一个集中参数电路中的任意一个结点或闭合面，在任何时刻，通过该结点或闭合面的所有支路电流代数和等于零∑i=0自动控制理论自动控制理论2020/7/32.2.1电气系统[例2-1]：写出RLC串联电路的微分方程iu输入ou输出iuouLRCiiuidtCRidtdiL1①dtdouCi②[解]：据基尔霍夫电压定理：iooouudtduRCdtudLC22将②代入①得：这是一个线性定常二阶微分方程。自动控制理论自动控制理论2020/7/3[例2-2]：求理想运算放大器电路的微分方程RRUi(t)CUo(t)+-[解]：理想放大器正、反相输入端的电位相同，且输入电流为零。据基尔霍夫电流定理：00dt(t)duCR(t)ui)t(udt)t(duRCi0整理后得，这是一阶系统。自动控制理论自动控制理论2020/7/32.2.2机械系统22dtxdmdtdvmmaF机械系统：存在机械运动的装置，遵循物理学的力学定律。根据运动的方式，包括牛顿第二定律和牛顿转动定律等。牛顿第二定律：牛顿转动定律：22dtθdJdtdωJJαT自动控制理论自动控制理论2020/7/3直线运动物体受到的摩擦力：ffBcFdtdxfFFFffBcdtdTKTTTC转动的物体受到的摩擦力矩：FB为粘性摩擦力，Ff为恒值摩擦力，f为粘性阻尼系数。TB为粘性摩擦力，Tf为恒值摩擦力，KC为粘性阻尼系数，θ为角位移。自动控制理论自动控制理论2020/7/3[例2-3]求弹簧-阻尼-质量的机械位移系统的微分方程。输入量为外力F，输出量为位移y(t)。[解]：图1和图2分别为系统原理结构图和质量块受力分析图。图中，m为质量，f为粘性阻尼系数，k为弹性系数。mfmFFkfBF图2图1y(t)kmgF(t)ky(t)dtdy(t)fdty(t)dm22根据牛顿定理，可列出质量块的力平衡方程如下：这也是一个两阶定常微分方程。y为输出量，F为输入量。自动控制理论自动控制理论2020/7/3同一物理系统有不同形式的数学模型，而不同类型的系统也可以有相同形式的数学模型。相似系统：具有相同的数学模型的不同物理系统称为相似系统。例2-1与例2-3为力－－电荷相似系统。自动控制理论自动控制理论2020/7/3思考题：给出双RC电路的微分方程uiuouC2C1ici1R1R2i2iuudtdu)CRCRC(RdtudRRCC002221112022121解答自动控制理论自动控制理论2020/7/3连续时间对应的复频域是用直角坐标表示的复数平面，简称为S平面或连续时间复频域（s域）。sjS平面上的每一个点s都代表一个复指数信号,整个S平面上所有的点代表了整个复指数信号集。stej000sj00jS平面2.2.3拉普拉斯变换自动控制理论自动控制理论2020/7/30)()(dtetfsFst)]([)(tfLsF①定义：如果有一个以时间t为自变量的函数f(t)，它的定义域t0，那么下式即是拉氏变换式：)]([)(1sFLtf将一个时间域的函数变换到s域的复变函数，式中s为复数。记作F(s)—-象函数，f(t)—-原函数为反拉氏变换记自动控制理论自动控制理论2020/7/3)()()]()([2121sFsFtftfL⑴线性性质：n)(]))(([)(])([ssFdttfLssFdttfLn⑶积分定理：（设初值为零）②性质：)0()()(0)0()(])([)0()(])([)1(1222knkknnnnfssFsdttfdLfsfsFsdttfdLfssFdttdfL）（(2)微分定理：证明自动控制理论自动控制理论2020/7/3)(lim)(lim0ssFtfst⑹终值定理：)()(])()([21021sFsFdftfLt⑺卷积定理：)(lim)(lim0ssFtfst⑸初值定理：)()()]([0sFedtTtfeTtfLsTst⑷位移定理：)()]([asFtfeLat实域中的位移定理，当原函数沿时间轴平移T，相应于其象函数乘以sTe复域中的位移定理，当像函数的自变量s位移a时，相应于原函数乘以aTe自动控制理论自动控制理论2020/7/3③常用函数的拉氏变换：单位阶跃函数：单位脉冲函数：单位斜坡函数：单位抛物线函数：正弦函数：其他函数可以查阅相关表格获得。ssFttf1)(),(1)(1)]([)(tLsF21)(,)(ssFttf321)(,21)(ssFttf22)(,sin)(ssFttf自动控制理论自动控制理论2020/7/3研究控制系统在一定的输入作用下，输出量的变化情况经典法，拉氏变换法和数字求解在自动控制系统理论中主要使用拉氏变换法。拉氏变换求微分方程解的步骤：①对微分方程两端进行拉氏变换，将时域方程转换为s域的代数方程。②求拉氏反变换，求得输出函数的时域解。2.2.4线性方程的求解自动控制理论自动控制理论2020/7/3rccuudtduCR11)()()0()(1111sUsUuCRssUCRrccc)()(1.0)(sUsUssUrcc11.0)1(1)(ssssUcttceetu1.01)(R1C1i1(t)ur(t)uc(t)例2-4已知R1=1，C1=1F，uc(0)=0.1v,ur(t)=1(t)，求uc(t)解：)s(U)s(U)s(sUCRrcc11零初始条件下取拉氏变换：1sCR1)s(U)s(U11rc自动控制理论自动控制理论2020/7/32.3传递函数2.3.1传递函数的定义在，线性定常系统元件输出信号的拉氏变换式Y(s)与输入信号的拉氏变换式X(s)之比。X(s)Y(s)G(s)一定形式的传递函数对应于一定的微分方程。有了传递函数，在许多情况下，可以不用解微分方程，而直接研究传递函数，就可以了解系统的重要特性。初始条件为零时G(s)X(s)Y(s)自动控制理论自动控制理论2020/7/3[例2-5]求下图的传递函数：1RC2iiu1i2ROu0)(12111iiRdtiCiuiRiiR22121)(OuiR220)()()1(2111sIRsIRCs)()()()(22111sUsIRRsIRi)()(22sUsIRO进行拉氏变换自动控制理论自动控制理论2020/7/3TsTssUsUsGi111)()()(02121RRCRRT221RRR整理得：自动控制理论自动控制理论2020/7/3传递函数的性质适用于线性定常系统与线性常系数微分方程一一对应与系统的动态特性一一对应。不能反映系统或元件的学科属性和物理性质物理性质和学科类别截然不同的系统可能具有完全相同的传递函数研究某传递函数所得结论可适用于具有这种传递函数的各种系统。忽略了初始条件的影响。自动控制理论自动控制理论2020/7/3传递函数的性质仅与系统的结构和参数有关，与系统输入无关只反映了输入和输出之间的关系不反映中间变量的关系。主要适用于单输入单输出系统若系统有多个输入信号，求传递函数时，除了一个有关的输入外，其它的输入量一概视为零。是复变量s的有理分式，对实际系统，传递函数的分母阶次n总是大于或等于分子阶次m，此时称为n阶系统。自动控制理论自动控制理论2020/7/3[传递函数的几种表达形式]：有理分式形式：011011)()()(asasabsbsbsXsYsGnnnnmmmm式中：—为实常数，一般n≥m上式称为n阶传递函数，相应的系统为n阶系统。jiba,自动控制理论自动控制理论2020/7/3nmgabK零点、极点形式：))...()(())...()(()()()()()()()(212111nmgjnjimignmpspspszszszsKpszsKsPsQabsXsYsG式中：称为传递函数的零点，称为传递函数的极点。零点、极点可为实数，也可为共轭复数。izjp－－－传递系数自动控制理论自动控制理论2020/7/3•零、极点分布图•零点，在s平面上用“O”表示•极点，在s平面上用“×”表示例1()(1)(2)sHsssReIm-1xx2s=js-plane自动控制理论自动控制理论2020/7/3j)j)(s)(s(ss)s)(s(ssG(s)113222322[例2-6]:已知传递函数,试画出系统的零、极点分布图。)s)(s(ssG(s)22322其中，零点为－２，极点为－３，－１＋j，－１－j。0j-2-3-11-1S平面自动控制理论自动控制理论2020/7/3时间常数形式：01120121121212121212(1)(1)(1)(1)()()()(1)(1)(1)(1)()(()()()()111(1)(1)(1)11(1)(miimnnjjmgnmmgnτsbτsτs...τsQsGsKKaPsTsTs...TsTsszsz)...szKspsp...spzz...zss...szzzKpp...psspp11)(1)n...sp自动控制理论自动控制理论2020/7/3ijT，称为时间常数，K称为放大系数。显然：，1iiz，,1jjpTjnjimigpzKK11若零点或极点为共轭复数，则一般用2阶项来表示。若为共轭复极点，则：21,p