线性代数 朱玉清 第一章习题答案

1习题1.11.11.11.11．计算下列二阶行列式．（1）5324；（2）ααααcossinsincos．解（1）146205324=−=；（2）ααααcossinsincosαα22sincos−=．2．计算下列三阶行列式．（1）501721332−−；（2）00000dcba；（3）222111cbacba；（4）cbabaacbabaacba++++++232．解（1）原式62072)5(1)3(12317)3(301)5(22−=××−−××−−××−××−+××+−××=（2）原式00000000000=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=dcbacadb；（3）原式))()((222222bcacabcbacbacaabbc−−−=−−−++=；（4）原式)()()2()23)((baaccbaabbaaccbabaa+−++++++++=3)23())(2(acbaabcbabaa=++−+++−．3．用行列式解下列方程组．（1）⎩⎨⎧=+=+35324yxyx；（2）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++82683321321321xxxxxxxxx；（3）⎩⎨⎧=−=+0231322121xxxx；（4）⎪⎩⎪⎨⎧=−+=+=−−031231232132321xxxxxxxx．解（1）75341−==D，253421−==D，333212−==D，所以721==DDx，732==DDy．（2）2121111113−==D，21281161181−==D，41811611832−==D，68216118133−==D，所以111==DDx，222==DDx，333==DDx．（3）132332−=−=D，220311−=−=D，303122−==D，所以1321==DDx，1332==DDy．（4）8113230121−=−−−=D，81102311211−=−−−=D，281032101112=−−=D，20131301213=−=D，所以111==DDx，122−==DDx，333==DDx．4．已知xxxxxxf21112)(−−−=，求)(xf的展开式．解xxxxxxf21112)(−−−=22)(11)(1)(111)(2)()(2⋅⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−−⋅⋅+−⋅⋅−+⋅−⋅=xxxxxxxxxxxxx23223+−−=5．设ba,,,,为实数，问ba,,,,为何值时，行列式010100=−−−abba．解01010022=−−=−−−baabba0,022==⇒−=⇒baba．习题1.21.21.21.21．求下列各排列的逆序数．（1）1527364；（2）624513；（3）435689712；（4）)2(42)12(31nn⋯⋯−．解（1）逆序数为14，因为62402001527364it↓↓↓↓↓↓↓排列（2）逆序数为5，因为031010624513it↓↓↓↓↓↓排列（3）逆序数为19，因为554310010435689712it↓↓↓↓↓↓↓↓↓排列3（4）逆序数为2)1(−nn，因为02122210000421231↓↓−−−↓↓↓↓↓−nnnntni⋯⋯⋯⋯排列2．在由9,8,7,6,5,4,3,2,1组成的下述排列中，确定ji,的值，使得（1）9467215ji为奇排列；（2）4153972ji为偶排列．解（1）ji,为分别3和8；若8,3==ji，则93411)946378215(=+++=τ，为奇排列，因此取8,3==ji。（2）ji,为分别6和8；若8,6==ji，则205135231)397261584(=++++++=τ，为偶排列，因此取8,6==ji。3．在五阶行列式)det(ija=DDDD展开式中，下列各项应取什么符号？为什么？（1）5145342213aaaaa；（2）2544133251aaaaa；（3）2344153251aaaaa；（4）4512345321aaaaa．解（1）因5)32451(=τ，所以前面带“-”号；（2）因7)53142(=τ，所以前面带“-”号；（3）因10)12543()53142(=+ττ，所以前面带“+”号；（4)因7)13425()25314(=+ττ，所以前面带“-”号．4．下列乘积中，那些可以构成相应阶数的行列式的项?为什么？（1）12432134aaaa；（2）14342312aaaa；（3）5514233241aaaaa；（4）5512233241aaaaa．解（1）可以，由于该项的四个元素乘积分别位于不同的行不同的列；（2）不可以，由于14342312aaaa中的1434aa都位于第四列，所以不是四阶行列式的项；（3）可以，由于该项的五个元素乘积分别位于不同的行不同的列；（4）不可以，由于5512233241aaaaa中没有位于第四列的元素。5.六阶行列式展开式中含有因子23a的乘积项共有多少项？为什么？解！5项，因为六阶行列式中每项是六个元素相乘，并且六个元素取自不同行不同列，23a是取自第二行第三列的元素，所以其余五行从第一、二、四、五、六列里选取出其余的五个元素，共有！5种取法。6．用行列式定义计算下列行列式．（1）0001100000100100；（2）dcba000000000000．解（1）在展开式43214321)1(ppppaaaa∑−τ中，不为0的项取自于113=a，122=a，134=a，141=a，而4)3241(=τ，所以行列式值为11111)1(4=×××−．（2）在展开式43214321)1(ppppaaaa∑−τ中，不为0的项取自于aa=11，ba=23，ca=32，da=44，而1)1324(=τ，所以行列式值为abcdabcd−=−1)1(．7.在函数xxxxxxxf412412102132)(=的展开式中，4x的系数是什么？解)(xf中含x因子的元素有xa211=，xa=21，xa=22，xa=33，xa=41，xa444=，因此，含有x因子的元素iija的列标只能取11=j，212,,,,=j，33=j，414,,,,=j.于是含4x的项中元素列下标只能取11=j，22=j，33=j，44=j，相应的4个元素列标排列只有一个自然顺序排列1234，故含4x的项为4044332211(1234)842)1()1(xxxxxaaaa=⋅⋅⋅−=−τ，故)(xf中44x的系数为8.习题1.31.31.31.31．判定下列等式或命题是否正确，并说明理由．（1）2221112221118222cbacbacbacbacbacba=；（2）222111222111cbackcbkbakackbkakcbacbacba+++=；（3）如果n（1n）阶行列式的值等于零，则行列式中必有两行元素对应成比例；（4）如果n（1n）阶行列式的值等于零，则行列式中必有一行元素全为零；（5）333222111333222111333332222211111ecaecaecadbadbadbaedcbaedcbaedcba+=++++++．解（1）不正确，提取公因子是某一行（列）的元素有公因子；（2）不正确，222111222222111222111cbacbacbakcbackbkakckbkakcbacbackbkakcbackcbkbakackbkak=+=+++；（3）不正确，0111210321=，但是没有两行元素对应成比例；（4）不正确，例子同上；（5）不正确，333322221111333322221111333332222211111edcaedcaedcaedbaedbaedbaedcbaedcbaedcba+++++++=++++++333222111333222111333222111333222111ecaecaecadcadcadcaebaebaebadbadbadba+++=．2．设0333231232221131211≠==aaaaaaaaaaDDDD，据此计算下列行列式．（1）131211232221333231aaaaaaaaa；（2）333231232221131211555aaaaaaaaa；5（3）333231312322212113121111254254254aaaaaaaaaaaa−−−；（4）323233312222232112121311273227322732aaaaaaaaaaaa−−−−−−．解（1）aaaaaaaaaarraaaaaaaaa−=−↔33323123222113121131131211232221333231；（2）aaaaaaaaaakcaaaaaaaaa55)0(55553332312322211312113333231232221131211=≠÷，（3）333231232221131211333131232121131111333231312322212113121111242424545454254254254aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa−=−−−aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa880820333231232221131211333131232121131111−=−=−=．（4）32333122232112131132323233312222232112121311232232232c27c25732257322732aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa−−−−−−−−−−aaaaaaaaaaccaaaaaaaaaccc121212)2(3233323123222113121132323331222321121311321=↔−÷÷÷．3．用行列式性质计算下列行列式．（1）111210321；（2）；efcfbfdecdbdaeacab−−−；（3）yxyxxyxyyxyx+++；（4）9876876554324321；（5）2605232112131412−．解（1）0111210000111210321321=−−rrr；（2）0202001321ceecbadfrrrrecbecbecbadfefcfbfdecdbdaeacab−++−−−=−−−6abcdefececbadfrr420002032=−−↔；（3）yxyxxyxyxyxyyxcccyxyxxyxyyxyx222222321++++++++++xyyyxyxyyxrrrr−−−++−−00)(212232)22()()22(yyxxyxyx+−−+=)(2))((23322yxyxxyyx+−=−−+=；（4）098768765131197131197rrrr98768765543243213241=++（5）000002321121314122605232112131412214=−−−−rrr．4．把下列行列式化为上三角行列式，并计算其值．（1）3351110243152113−−−−−−；（2）107825513315271391−−−−−−−；（3）3214214314324321；（4）7222227222227222227222227．解（1）2113110243153351335111024315211341−−−−−−−↔−−−−−−rr11101605510019182403351325141312−−−−−−−−−+rrrrrr111016019182401120335155323−−−−−−↔÷rrr2000320011203351533200760011203351581243432423−−−−−↔+−−−−−−+rrrrrrrr402)2(215=×−×××−=；（2）78130210017251307139121078255133152713911224413−−−−−−++−−−−−−−−−rrrrrrr731224000210017251307139117324−=−−−−−++rrr．（3）321421431432432132142143143211111043