线性代数-同济大学第七版

1线性代数副教授：黄振耀2课程简介《线性代数》是理工类和经管类高等院校学生必修的一门重要基础理论课程，它的基本概念、理论和方法具有较强的逻辑性、抽象性和广泛的实用性。通过该课程的学习，使学生掌握该课程的基本理论和基本方法，且对学生的逻辑推理能力、抽象思维能力的培养以及数学素养的提高也具有重要的作用。这些理论、方法和能力为一些后续课程的学习及在各个学科领域中进行理论研究和实践工作提供了必要的保证，因此该课程历来受到各高等院校的高度重视。根据成人的特点，在总结多年成人教育经验的基础下，对《线性代数》的教学内容作了认真精选，叙述间明扼要，由潜入深、通俗易懂，力求体现学科的系统性、科学性和实用性的要求。在本课程中主要讲解行列式、矩阵和线性方程组这三个线性代数的基本内容。3主要内容第一章行列式第二章矩阵第三章线性方程组4第一章行列式行列式是学习线性代数的重要基础知识。初等数学中曾讲解二阶、三阶行列式的计算，以及用这工具来解二元、三元线性方程组。式，为此首先引入行列式的概念。在本书研究多元线性方程组的解，以及研究矩阵性质时也要用到行列5第一章行列式第一节行列式的概念第二节行列式的性质第三节行列式按行（列）展开第四节行列式的计算举例第五节克莱姆法则主要内容6第一节行列式的概念一、行列式的概念为了更好掌握行列式的定义，我们采用数学归纳法的方法讲解行列【定义1.1】【例1.1】2121,11要指出在本课程中如遇绝对值我们将会作出特别的说明。式的定义。1111aa一阶行列式由一个数组成，记为7第一节行列式的概念1112111112122122aaaAaAaa表示，且规定：其中，元素称为行列式的第行第列的元素；iijajij，1，2称为元素的代数余子式；而是行列1ijijijAMijaij，1，2ijM【定义1.2】二阶行列式是由个元素排成2行2列，用11122122aaaa22素的余子式。ijaij，1，2式中划去第行和第列元素，后所剩下的元素组成的行列式，称为元ji8第一节行列式的概念则二阶行列式显然在定义中，，而；111111111AMM112222Maa1212121221211AMMaa1112112212212122aaaaaaaa这与中学里所学的对角交叉相乘之差所得结果一致。9第一节行列式的概念【例1.2】求二阶行列式的值。5632解111112125632aAaA1112512613101828或5652633210第一节行列式的概念【定义1.3】三阶行列式是由个元素排成的3行3列，用23表示，且规定：111213212223313233aaaDaaaaaa111112121313DaAaAaA其中：111122231111323311aaAMaa121221231212313311aaAMaa131321221313313211aaAMaa11第一节行列式的概念称为的余子式，它是在三阶行列式中划去所在的行及列后11M11a11a按原次序所成的二阶行列式，称为的代数余子式；为的代数11A12a11a12A余子式。一般地，就是三阶行列式中划去所在的第行和第列剩下ijMijaij的元素按原次序构成的二阶行列式，称为元素的余子式。ija称为元素的代数余子式。1ijijijAMijaij，1，2，312第一节行列式的概念【例1.3】解由上面定义，因为计算三阶行列式的值。156207834D11110712134A12122714884A1313201683A所以111112121313DaAaAaA1215486622513第一节行列式的概念从上面三阶行列式的定义可以看到：我们在计算三阶行列式时，是用其第一行的元素乘它的代数余子式之和，而代数余子式又是由二阶行列式构成的。用这一思想，我们可以计算四阶、五阶等更高阶的矩阵。下面给出行列式的一般定义。【定义1.4】当时，，假设已定义了阶1n1111aa1n行列式，阶行列式是由个元素排成行和列组成，记为：n2n11121n21222nn1n2nnaaaaaaDaaa14第一节行列式的概念且规定其值为：111112121n1nDaAaAaA其中，表示元素的余子式，它是中划1jM112jajnn，，，D1ja去所在的第1行和第列后剩下的元素按原来的次序构成的阶j1n行列式。称为的代数余子式。1111,2,,ijjjAMjn1ja15第一节行列式的概念【例1.4】解计算四阶行列式2131310712421015DD111072124201512307111421151331731122105143101112410183357385从以上定义及例子可以看到，阶行列式由个元素构成，每n2n个行列式都表示一个数值，且它等于第一行的元素分别乘以它的代数余子代数余子式再求和。16第一节行列式的概念我们也可以给出每个元素的余子式和代数余子式的一般定义。【定义1.5】对于阶行列式，n(1)n11121n21222nn1n2nnaaaaaaDaaa列元素后，按原次序排列构成的阶行列式。1n称为元素的余子式，称为元素的代数ijMija1ijijijAMija余子式。其中，是中划去元素所在的行和ijn，1，2，,DijMija17第一节行列式的概念【例1.5】解求行列式的元素和的代数余子式。156227834D23a31a所以因为的余子式237a23M15221(2)2512的余子式318a31M562757(2)647的代数余子式237a23A2323(1)M23M12的余子式318a31A3131(1)M31M4718第二节行列式的性质在上一节行列式定义中我们看到行列式的计算是由高阶向低阶逐阶递减过程，因此行列式的阶数越高，计算越繁。下面的行列式性质可以简化行列式的计算。11121n21222nn1n2nnaaaaaaDaaa1111121211111nnnkkkaAaAaAaA19第二节行列式的性质【定义1.6】交换行列式D的行与列所得的行列式，称为D的转置行列式，记为或。TD'D设111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa112111222212nnTnnnnaaaaaaDaaa则【例1.6】若则143035762D107436252TD20第二节行列式的性质性质1143035762D107436252TD转置行列式的值等于原行列式的值，即。TDD在例1.6中的二个行列式的值相等，即,TDD根据这一性质，阶行列式的定义按第一行展开等于按第一列展开n即：1111121211nnDaAaAaA1111212111nnaAaAaA这一性质也说明行列式的对于每行具有的性质对每列也成立。21第二节行列式的性质性质2交换行列式的任意两行（列）元素，行列式的值变号。【例1.7】交换以下行列式D的第一行和第三行，有762035142D142035762素（仍为D），即得，移项得，于是。DD20D0D为零。特别地，当行列式中有两行（列）对应元素都相同时，行列式的值··因假设D中的第行和第行对应元素相同，交换第行和第行元ijij22【例1.8】第二节行列式的性质以上性质1和性质2可以用数学归纳法证得，在这我们省略。行列式142035142（因为第一行与第三行相同）023第二节行列式的性质性质3【例1.9】行列式符号的外面。这一性质可以由行列式的定义和性质2得到。这相当于行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一个数，行k142235762kkk142235762k列式的值扩大倍。k24第二节行列式的性质性质4行列式中两行（列）对应元素都成比例，行列式值为零。与第行相同，于是行列式的值为零。j设第行为第行的倍，由性质3，将行提出公因子，即得第行jikjik性质5若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如第列i的元素都是两数之和：1112111212222212()()()iiniinnnnininnaaaaaaaaaaDaaaaa25第二节行列式的性质利用这一性质：则等于下列两列行列式之和：D1112111112112122222122221212ininininnnninnnnninnaaaaaaaaaaaaaaaaDaaaaaaaa1111121221212222abababab111212111212212222212222aabbabaabbab11121112111211122122212221222122aaabbabbaaabbabb26第二节行列式的性质性质6应元素上去，行列式值不变。即把行列式某行（列）各元素的倍加到另一行（列）的对k这一性质由性质3和性质4直接得到。11121121222212ininnnninnaaaaaaaaDaaaa1112111212222212ijnijnnnninjnnaaakaaaaakaaaaakaa利用这些性质可以简化行列式的计算。另外我们用表示第行，表示第列。表示交换第行与第iriicijrrjij行，表示第行乘倍；表示把第行乘倍加到第行上去。irkkjirkrikij27【例1.10】第二节行列式的性质解利用行列式性质计算行列式2341121221233117DD12rr1212234121233117212rr1212076521233117312rr1212076505473117313rr1212076505470747下页继续……28第二节行列式的性质然后按行列式定义，得：熟练以后，这几步也可以合并为：1212234121233117213141223rrrrrr12120765054707477655477413D31rr7655470281257rr35302513528493502821rr3530251022435028-2-241（-35）-2-83532（这里也可用）32cc429第三节行列式按行（列）展开根据行列式定义，行列式的值等于第一行或第一列的元素乘以它的代数余子式之和。在本节中我们将这一结果加以推广。【定理1.1】若阶行列式中除外，第行（或列）的其余nDijaij元素都为零，那么可按第行（或列）展开为。ijijDaADij证明设第行除，其余元素都为零。i0ija30第三节行列式按行（列）展开现将第行和第行对换，再与第行对换，……经过次1i2ii1i对换，含的原第行就换到第一行，行列式的值应乘，类似经ija11i（）i过次列对换，可将含的列变到第一列，即1jija1111111111221212121110000(1)(1)ijjjjnijjjjnnjnnjnjnnaaaaaaaaaaaDaaaaa(1)ijijijijijaMaA因为新行列式中划去第1行划去第1列所成的余子式就是中的DijM（划去原第行和原第列）。ji31第三节行列式按行（列）展开【定理1.2】（拉普拉斯展开）的各元素与其对应的代数余子