2017考研数学基础精讲内部辅导讲义(高等数学)数学名师

目录第一讲函数、极限、连续性....................................................................................1第二讲导数与微分....................................................................................................6第三讲微分中值定理及导数的应用........................................................................9第四讲一元函数积分学..........................................................................................12第五讲微分方程......................................................................................................17第六讲多元函数微分学..........................................................................................20第七讲重积分..........................................................................................................25第八讲曲线积分与曲面积分*................................................................................29第九讲无穷级数*△................................................................................................352017考研数学基础精讲内部辅导讲义1第一讲函数、极限、连续性一、函数1.函数(1)函数的定义设数集DR⊂，则称映射:fDR→为定义在D上的函数，简记为()yfx=，xD∈，其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记为fD，()fD为值域，记为fR.(2)函数定义的两要素：定义域，对应法则.2.函数的特性(1)有界性若∃0M，对于∀Ix∈，都有Mxf≤)(，则称)(xf在I上有界.(2)单调性设函数)(xf的定义域为D，区间DI⊂，若对于∀Ixx∈21,，当21xx时，有)()(21xfxf))()((21xfxf，则称)(xf在区间I上单调增加(单调减少).(3)奇偶性设函数的定义域为I，对于Ix∈∀，若)()(xfxf−=−，则称)(xf是奇函数；若)()(xfxf=−，则称)(xf是偶函数.注：任何一个定义域关于原点对称的函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和的形式，即：2)()(2)()()(xfxfxfxfxf−++−−=.(4)周期性设)(xf的定义域为I，若0∃T，对于Ix∈∀，使得)()(xfTxf=+)(ITx∈+，则称)(xf为周期函数，T为)(xf的周期，通常周期是指昀小正周期.3.反函数设函数:()fDfD→是单射，则它存在逆映射1:()ffDD−→，则称映射1f−为函数f的反函数.注：(1)1[()]ffxx−=，xxff=−)]([1.(2)单调函数存在反函数，反之不成立.4.复合函数设函数()yfx=的定义域为fD，函数()ugx=的定义域为gD，且其值域gfRD⊂，则函数[()],gyfgxxD=∈称为由函数()ugx=与函数()yfu=构成的复合函数.注：只有当函数)(xuϕ=的值域与)(ufy=的定义域的交非空时，才能将它们复合成复合函数.5.初等函数(1)基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数.2017考研数学基础精讲内部辅导讲义2(2)初等函数：由常数和五类基本初等函数进行有限次的四则运算和复合构成的可用一个式子表示的函数.二、数列极限1.数列极限的定义设{}nx为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当nN时，有nxaε−成立，则称数列{}nx收敛于a，记为limnnaa→∞=.2.数列极限的基本性质(1)唯一性：如果数列{}nx收敛，那么它的极限唯一.(2)有界性：如果数列{}nx收敛，那么数列{}nx一定有界，即：0∃M，使得n∀有Mxn≤.(3)保号性：如果axnn=∞→lim，且0a(或0a)，那么∃+∈NN，当Nn时，有0nx(或0nx).3.数列极限的四则运算法则设有数列{}nx，{}ny，如果Axnn=∞→lim，Bynn=∞→lim，则：(1)BAyxnnn±=±∞→)(lim；(2)BAyxnnn⋅=⋅∞→lim；(3)BAyxnnn=∞→lim(0≠ny且0≠B).4.数列极限存在的判定(1)夹逼定理如果数列{}nx，{}ny，{}nz满足：1)nnnyxz≤≤(3,2,1=n)；2)aynn=∞→lim，aznn=∞→lim，则数列{}nx的极限存在，且axnn=∞→lim.(2)单调有界准则单调增加(或单调减少)且有上界(或有下界)的数列{}nx必定存在极限.三、函数极限1.函数极限的定义(1)0xx→时函数极限的定义设函数()fx在点0x的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当x满足00xxδ−时，有()fxAε−，那么常数A就叫做函数()fx当0xx→时的极限，记作0lim()xxfxA→=.2017考研数学基础精讲内部辅导讲义3注：Axfxx=→)(lim0⇔Axfxfxxxx==−+→→)(lim)(lim00.(2)∞→x时函数极限的定义设函数()fx当||x大于某一正数时有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε，总存在正数X，使得当x满足xX时，有()fxAε−，则称常数A为函数()fx在x→∞时的极限，记作lim()xfxA→∞=.2.函数极限的性质(1)唯一性：如果)(lim0xfxx→存在，那么它的极限唯一，即：若Axfxx=→)(lim0，且Bxfxx=→)(lim0，则BA=.(2)局部有界性：如果Axfxx=→)(lim0，那么∃0M和0δ，使得当δ−00xx时，有Mxf≤)(.(3)局部保号性：如果Axfxx=→)(lim0，且0A(或0A)，那么∃0δ，使得当δ−00xx时，有0)(xf(或0)(xf).3.函数极限的四则运算法则如果Axfxx=→)(lim0，Bxgxx=→)(lim0，则(1)BAxgxfxx±=±→)]()([lim0；(2)BAxgxfxx⋅=⋅→)]()([lim0；(3)0()lim()xxfxAgxB→=(0≠B)；(4)BxgxxAxf=→)()(lim0(0A).推论1：如果)(lim0xfxx→存在，c为常数，则)(lim)]([lim00xfcxcfxxxx→→=.推论2：如果)(lim0xfxx→存在，而n是正整数，则nxxnxxxfxf⎥⎦⎤⎢⎣⎡=→→)(lim)]([lim00.4.函数极限存在的判定准则(1)夹逼定理如果函数()fx，()gx，()hx满足：1)当),(0δxUx∈时，()()()gxfxhx≤≤；2)Axgxx=→)(lim0，Axhxx=→)(lim0，则)(lim0xfxx→存在，且Axfxx=→)(lim0.(2)单调有界准则设)(xf在0x的某左邻域内单调有界，则)(xf在0x的左极限0()fx−必定存在.5.两个重要极限(1)1sinlim0=→xxx；2017考研数学基础精讲内部辅导讲义4(2)exxx=+→10)1(lim或1lim1xxex→∞⎛⎞+=⎜⎟⎝⎠(1lim1nnen→∞⎛⎞+=⎜⎟⎝⎠).四、无穷小1.无穷小量的定义如果函数()fx当0xx→(或x→∞)时的极限为零，那么称函数()fx为当0xx→(或x→∞)时的无穷小.2.无穷小的性质(1)有限个无穷小的和仍是无穷小.(2)有限个无穷小的乘积仍是无穷小.(3)有界函数与无穷小的乘积是无穷小.3.无穷小的比较设βα,是在自变量的同一变化过程中的无穷小，且0≠β则：(1)如果0lim=βα，称α是β的高阶无穷小，记作：)(βαo=；(2)如果∞=βαlim，称α是β的低阶无穷小.(3)0lim≠=cβα，称α是β的同阶无穷小；(4)0lim≠=ckβα，称α是β的k阶无穷小.(5)1lim=βα，称α与β是等价无穷小，记作：βα~.4.等价无穷小替换定理设在自变量x的同一变化过程中，1α，2α，1β，2β都是无穷小，且21~αα，21~ββ，如果A=11limβα，则A==1122limlimβαβα.五、函数的连续性1.函数的连续性(1)函数连续的定义设函数()fx在点0x的某一邻域内有定义，如果00lim()()xxfxfx→=，那么称函数()fx在点0x连续.(2)函数)(xf在0x处连续⇔)()()(000xfxfxf==−+.2.间断点及其分类(1)间断点的定义若函数()fx在点0x不连续，则点0x称为函数()fx的间断点.(2)间断点的分类：2017考研数学基础精讲内部辅导讲义5⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧≠=；不存在左、右极限至少有一个第二类间断点；右极限左极限跳跃间断点右极限左极限可去间断点左、右极限都存在第一类间断点间断点)()()()(3.闭区间上连续函数的性质(1)有界昀值定理若)(xf在],[ba上连续，则它在],[ba上有界且一定能取到昀大值和昀小值，即：∃0K，使得],[bax∈∀，有()fxK≤，且1ξ∃，2[,]abξ∈使得mf=)(1ξ，Mf=)(2ξ，其中m，M分别为)(xf在],[ba上的昀大值和昀小值.(2)零点定理设函数)(xf在],[ba上连续，且0)()(⋅bfaf，则∃),(ba∈ξ使得0)(=ξf.(3)介值定理设函数)(xf在],[ba上连续，且)()(bfaf≠，c是介于)(af和)(bf间的一个常数，则∃(,)abξ∈使得cf=)(ξ.推论：若函数)(xf在],[ba上连续，m，M分别为)(xf在],[ba上的昀大值和昀小值，Mcm≤≤，则∃],[ba∈ξ使得cf=)(ξ.2017考研数学基础精讲内部辅导讲义6第二讲导数与微分一、导数1.导数定义(1)导数的定义设函数()yfx=在点0x的某个领域内有定义，当自变量x在点0x处取得增量xΔ(点0xx+Δ仍在该领域内)时，相应的函数取得增量00()()yfxxfxΔ=+Δ−；如果0000()()limlimxxfxxfxyxxΔ→Δ→+Δ−Δ=ΔΔ存在，则称函数()yfx=在点0x处可导，记为0()fx′，即0000()()()limxfxxfxfxxΔ→+Δ−′=Δ.(2)左、右导数的定义00000()()()limlimxxfxxfxyfxxx−−−Δ→Δ→+Δ−Δ′==ΔΔ；00000()()()limlimxxfxxfxyfxxx+++Δ→Δ→+Δ−Δ′==ΔΔ注：(1)函数在0x点可导的充要条件：)(0xf′存在⇔)()(00xfxf+−′=′.(2)可导与连续性的关系：若函数)(xfy=在0x点可导，则它在0x点连续(3)导函数的定义若函数()yfx=在开区间I内可导，对于xI∀∈，都对应着()fx的一个确定的导数值.这样构成了一个新的函数，称该函数为()yfx=的导函数，记作()fx′.2.导数的几何意义函数)(xfy=在0x点处的导数)(0xf′表示曲线)(xfy=在点00(,)Mxy处的切线的斜率，即0()tanfxα′=，其中α为切线的倾角.注：曲线)(xfy=在),(00yxM