12数学教学目标模型

第二节数学教学目标模型如何将目标分类的界定具体转化为数学教学中所要实现的目标，建立起数学学科的教学目标模型，是一个值得深入研究的重要问题。一、威尔逊的数学教学目标模型美国佐治亚大学数学教育系系主任威尔逊(J．W．Wilson)，根据布鲁姆的学说结合对数学学科的深入分析，写出了《中学数学学习评价》一书，书中编制了一个新的数学学业成绩评价模式。这个模式在对数学学习行为的分类上，既包括了认知领域的成果，又包括了情感领域的成果。其中认知领域的行为目标分为“计算、领会、运用、分析”四级水平，每级水平又划分为若干子类，类别详尽，概括性很强；情感领域的类别读来也令人耳目一新。这里主要介绍威尔逊认知领域数学教学目标中每一级水平及其子类的特征，同时列举了该书中的一些测题，它们可以用于表征和测量属于某级水平上的数学行为。1．计算计算水平是学生作出的作为数学教学成果的最简单的行为，它要求能回忆基本事实的知识、术语的知识或按照学生先前已经学过的规则操作问题中的元素，即能进行记忆的简单练习和常规的变换练习，重点是知道或实施运算，而不要求作出决策或进行复杂的记忆。计算水平包括三个子类。(1)具体事实的知识。这个子类包括的目标是：学生以与课程学习中材料出现的几乎完全一样的方式复述或辨别材料；它也可包括基本的知识单元，例如数的基本事实等。(2)术语的知识。在学习数学的过程中，学生会遇到大量的术语，例如，公理、推论、空集、阶乘、绝对值、多边形等。在几何学习中，学生应该能够辨别诸如锐角、钝角和直角；在代数学习中，学生应该知道“化简表达式”指导语的涵义是什么，等等。(3)实施算法的能力。这是根据一些学过的规则，变换一个刺激物的元素的能力，它并不要求学生选择算法。上述三个子类的测题，分别如下：例1半径为r的圆的周长公式是[](A)C＝πr2；(B)C＝πr；(C)C＝2πr；(D)C＝2πr2。例25！等于[](C)5＋4＋3＋2＋1；(D)5×4×3×2×1；(A)5%；(B)10%；(C)20%；(D)40%。2．领会领会水平既与回忆概念和通则有关，又与把问题中的元素从一种形式转化为另一种形式有关，重点是反映对概念和它们之间的关系的理解程度，而不是运用概念来作解答。此外，计算水平的行为有时表现为领会水平的行为，或包含在领会水平的行为之中，但是，领会水平是比计算水平更为复杂的一系列行为。领会水平包括六个子类。(1)概念的知识。一个概念的知识和一个具体事实的知识之间的区别并不十分明显。实际上，一个概念是一系列相互联系的具体事实的结合体。当然，从认知方面来说，一个概念的知识要比一个具体事实的知识更复杂些。(2)原理、规则和通则的知识。这一子类要求学生知道概念之间和问题元素之间的关系。试题是否表征或测量了原理、规则和通则的知识，取决于学生已学过的材料。如果学生必须形成原理、规则或通则，或者为了回答问题而使用原理、规则或通则，那么这种行为处于比领会水平更高一级的水平。(3)数学结构的知识。数学教学的内容可以划分为几个大类，但是，对渗透在任何一个类别中的一般可统一起来的内容主要有：集合语言和集合符号的使用、数学系统的结构(一种与内容密切联系的结构，不是一种心理结构)和数学过程。数学结构是中学数学教学大纲里一个统一的主题，主要包括数系的性质和代数结构的性质。这个子类中的试题所表征和测量的行为与术语的知识是有区别的，一般把仅论及现代数学的术语的试题用于表征和测量数学结构的知识。(4)把问题元素从一种形式向另一种形式转化的能力。这是一个重要的领会水平的行为，它可以指从语言描述向图形表示的转化，或从语言表达向符号形式的转化，或者是每一种情形反过来的转化。值得注意的是，转化的能力并不包括在转化之后实行一种运算。因此，把一个语言论述转化为一个方程需要这种能力，但解答这个问题应是运用水平的任务。(5)延续推理思路的能力。这一子类主要指阅读数学表达的能力和倾听数学论证的能力，这是接受数学方面交流的能力。(6)阅读和解释问题的能力。在阅读数学材料和问题的过程中，需要一些特殊的技能和能力，它们属于正常的语言技能和一般阅读能力范畴之外。阅读和解释数学问题的能力所表现的行为，虽然还远远没有达到解决问题的能力，但它却是必不可少的第一步。上述六个子类的测题，分别如下：例4复数5＋3i的共轭复数是[](A)－5＋3i；(B)5－3i；(C)3＋5i；(D)3－5i。例5如果把一个数的小数点向右移三位，这是在[](A)用1000除这个数；(B)用100除这个数；(C)用3乘这个数；(D)用1000乘这个数。例6如果(N＋68)2＝654481，则(N＋58)(N＋78)等于[](A)654381；(B)654471；(C)654481(D)654581；(E)654524。对于例6，学生可能从解方程的角度去回答，但也可能从结构或形式的知识出发作出回答。例7假定对任何数a和b，一种运算定义为a*b＝a＋ab，则5*2等于[](A)10；(B)12；(C)15；(D)20；(E)35。(A)如果把xy＝0代入第一个方程，这个方程变为x2＋y2＝25，因此，方程组变为一个含有两个未知数的方程，所以，原方程组有无穷多个解；(B)如果用x去除第二个方程，得y＝0，如果用y去除它，得x＝0，把这些值代入第一个方程得出0＝2，这是不可能的，因此，原方程组无解；(C)由xy＝0，可得x＝0或y＝0，把x＝0代入第一个方程，得出y＝±5；再把y＝0代入这个方程，得出x＝±5，因此，原方程组恰好有四个解；(D)如果用x去除第二个方程，得到y＝0，既然y＝0，就不可以用y去除第二个方程，把y＝0代入第一个方程，得到x＝±5，因此，原方程组只有两个解；(E)把两个方程相加得出x2＋2xy＋y2＝25，即(x＋y)2＝25，例9某人上集市买了一张桌子，价格标签上标出原来的价格是60元，若卖主打20%的折扣出售，折扣额是多少？这里不要求解出，回答下列的问题：问题中的比率是什么？原价是多少？要求出的是什么？3．运用运用水平的行为涉及学生作出的一系列反应。这一特点使它与计算水平或领会水平相区别。运用水平需要回忆有关的知识，选择合适的运算并实施之。运用水平涉及的活动是常规的，它要求学生在一个特定的情景中，以一种他以前实践过的方法去运用知识和方法。运用水平包括四个子类。(1)解决常规问题的能力。常规问题是指那些与学生在课程学习中遇到的问题相类似的问题。解决常规问题的能力涉及选择一个算法并实施之。实质上，它要求学生作出一系列领会水平的行为后，实行运算直至获得答案。(2)作出比较的能力。这一子类需要学生决定两组或几组信息之间的关系并形成一系列的决策。在这一过程中，需要回忆有关的知识，如概念、规则、数学结构、术语等，也可能涉及一些计算，并引出推理和逻辑思考的行为。但是，这是一种常规性的形成决策的过程。例如，从许多可得的备选方案中作出选择的行为便是这种能力的一个重要方面。(3)分析已知条件的能力。这一子类涉及阅读和解释信息，使用信息并最终作出决策或下结论。这个行为能把一个问题分解成它的构成部分，能从无关信息中鉴别出有关信息，能与已经获得解答的子问题建立联系。(4)识别同型性和对称性的能力。在这个水平上所需要的行为再次要求作出一连串的反应：回忆信息、转化问题元素、变换已知条件和识别一个关系，要求学生从一列数据、已知信息或一个问题情境中，发现某些熟悉的东西，应该假定学生已经学过同样的同型性或对称性，并且识别出它们是可能的。上述四个子类的测题，分别如下：例10一个平行四边形的两条边和一个内角分别为12cm、20cm和120°，求其中较长的一条对角线的长。例11比较如图1－2所示的两个三角形的面积，正确的是[](A)△ABC的面积较大；(B)△PQR的面积较大；(C)△ABC和△PQR的面积相等。例12在一次选举中，356人每人投一票，从5个候选人中选出1人，谁得票最多谁将获胜，那么获胜者至少应得的选票数是[](A)179；(B)178；(C)89；(D)72；(E)71。例13410的末位数字是[](A)0；(B)2；(C)4；(D)6；(E)8。4．分析分析是认知水平中最高级、最复杂的行为水平，它包括了布鲁姆教育目标分类学中描述的诸如分析、综合和评价的绝大部分行为。分析水平是指需要非常规地运用概念，它要求探测关系，在一种非实践过的情景中对概念和运算进行组织和使用。分析水平包括五个子类。(1)解决非常规问题的能力。这个子类要求学生把先前的数学学习迁移到一个新情景中去，发展解决不同于已解决过的问题的能力。这样的解决问题的过程可能涉及把问题分解成几部分，并从每个部分中探求所能知道的东西，也可能包括为了求解用一种新方法重新组织问题元素。总之，解决非常规问题，是向学生提供一个问题情景，学生没有现成的算法来解答，需要一种探索性方法，即需要制定一个计划并实施它，或者反复对已知情景和目标进行比较，以找出区别，随着这些区别依次消失，问题也就逐步得到解决。(2)发现关系的能力。这一子类需要用一种方式重新组织问题元素，以发现(形成)一个新关系，而不是在新的已知条件当中辨别出一个熟悉的关系。(3)构造证明的能力。这一子类是指构造一种新证明的能力，它与模仿性证明、重述证明(运用水平)或回忆水平(计算水平)是完全不一样的。(4)评判证明的能力。这一子类主要是指能指出隐藏在“证明”中的错误的能力。(5)形成和证实通则的能力。这一子类是指发现一个关系并构造一个证明来证实这个发现的能力。上述五个子类的测题，分别如下：例14在图1－3中，分别经过射线Ox和Oy上一点，从P到Q的最短路径是[](A)PA1A2Q；(B)PB1B2Q；(C)PC1C2Q；(D)PD1D2Q；(E)POQ。例15一个牲口栅，长18m，宽9m，一条长16m的链条系在牲口栅中一条较长边的中点，另一条长16m的链条系在牲口栅的一个角上。链条都用来拴住一头吃草的奶牛。问：哪一条链条给予拴住的奶牛有较多的活动余地来吃草？两个活动地方的面积之差是多少(用3.14作π的近似值)？例16证明：对于任何整数n，是一个整数。例17下面是“任何两个实数都相等”的一个“证明”：ii2c＝a＋b，iii2c(a－b)＝(a＋b)(a－b)，iv2ac－2bc＝a2－b2，vb2－2bc＋c2＝a2－2ac＋c2，vi(b－c)2＝(a－c)2，viib－c＝a－c，viiib＝a，其中步骤不正确的是[](A)从ii到iii；(B)从iv到v；(C)从v到vi；(D)从vi到vii。例18在纸上画三个三角形：一个是锐角三角形，一个是直角三角形，一个是钝角三角形。用直尺和圆规，把每个三角形的每一个内角平分。在此过程中，你观察到每一个三角形的三条内角平分线之间有什么关系？这对任何三角形都正确吗？为什么？在《中学数学学习评价》一书中，威尔逊还特别指出了以下几点：第一，行为水平具有顺序性和层次性。它的顺序性体现在：在认知上，分析水平比运用水平更复杂，运用水平比领会水平更为复杂，而计算水平包括那些在认知上最简单的测试题。它的层次性体现在：例如一个属于运用水平的测试题也许既需要领会水平的技能(选择恰当的运算)，也需要计算水平的技能(实施一种运算)。第二，为了说明一道试题对于测量某个行为水平是否恰当，需要作出有关学生背景的假设。一道试题究竟处于哪一水平，这要看它是对于哪个年级水平上的大多数学生或中等水平的学生能否作出回答而言。第三，某个学生对一道试题的回答也许不能说明他的行为水平。例理数”这一试题也许引出运用水平的行为，而不是分析水平的行为。当一个学生第一次遇到一道题目，给出这道题目的解答也许是一种分析或运用水平的行为；而下一次遇到同样的题目时，也许是处于计算水平的行为。第四，在决定把一道试题置于何种行为水平时，学生解题所用的方法也许能决定他的行为水平。对于某些试题，某些学生也许以分析水平的行为作出回答，而另外一些学生也许以常规的、运用水平的行为作出回答。例如，对于如下这道题目：“求从1至25的自然数之和”，解这道题可以直接运用加法法