2019高职高考数学复习-向量的内积及其运算

7.3向量的内积及其运算【复习目标】1.理解向量内积的概念与性质.2.掌握向量内积的运算律,能用向量的内积解简单平面几何问题.【知识回顾】1.向量内积的概念与性质(1)两向量的夹角已知两个非零向量a和b,作𝑶𝑨→=a,𝑶𝑩→=b,则∠AOB是向量a与b的夹角,记作a,b.规定0°≤a,b≤180°【说明】①a与b同向时,a,b=0°;②a与b反向时,a,b=180°;③a⊥b时,a,b=90°(2)内积的定义a·b=|a||b|cosa,b【说明】①a·b的结果是一个实数,可以等于正数、负数、零;②|b|cosa,b叫做b在a方向上正射影的数量.(3)内积的性质①如果e是单位向量,则a·e=e·a=|a|cosa,e;②a⊥b⇔a·b=0;③a·a=|a|2或|a|=𝒂·𝒂;④cosa,b=𝒂·𝒃|𝒂|𝒃|;⑤|a·b|≤|a||b|.2.向量内积的运算律(1)a·b=b·a;(2)λ(a·b)=(λa)·b=a·(λb);(3)(a+b)·c=a·c+b·c.【说明】一般地,(a·b)·c≠a·(b·c).也就是说,向量内积没有“乘法的结合律”.【例题精解】【解】∵cosa,b=𝒂·𝒃|𝒂|𝒃|=-𝟏𝟐,且0≤a,b≤π,∴a,b=𝟐𝝅𝟑【点评】两非零向量的夹角常由向量内积的定义公式变形求出,故cosa,b=𝒂·𝒃|𝒂|𝒃|也叫做向量的夹角公式.【例1】已知a·b=-8,|a||b|=16,求a,b.【例2】已知|a|=2,|b|=5,a,b=60°,求:(1)(a+b)(a-b)(2)(2a+b)(a-2b)【解】(1)(a+b)(a-b)=a·a-a·b+b·a-b·b=|a|2-|b|2=22-52=-21(2)∵|a|=2,|b|=5,a,b=60°∴a·b=2×5×cos60°=5(2a+b)(a-2b)=2|a|2-3a·b-2|b|2=2×22-3×5-2×52=-57【点评】运用向量内积的性质、运算律及向量内积的定义公式.【例3】已知|a|=6,|b|=8,a,b=120°,求|a+b|2【分析】|a+b|2=(a+b)·(a+b),从而用例2的方法求解.【解】|a+b|2=(a+b)·(a+b)=|a|2+2a·b+|b|2=36+2×6×8×cos120°+64=52【分析】根据𝑨𝑪→=𝑨𝑩→+𝑩𝑪→可得|AC|=|𝑨𝑩→+𝑩𝑪→|=|𝑨𝑩→+𝑩𝑪→|𝟐,从而可以运用上两例的方法求解.【解】∵|𝑨𝑩→+𝑩𝑪→|2=|𝑨𝑩→|2+2𝑨𝑩→·𝑩𝑪→+|𝑩𝑪→|2=9+2×3×5×cos120°+25=19∴|𝑨𝑪→|=|𝑨𝑩→+𝑩𝑪→|𝟐=𝟏𝟗【点评】求未知向量的长可以根据向量的加法转化为已知向量的和的形式,然后再求向量长的平方,开方即可得.【例4】在△ABC中,已知|𝑨𝑩→|=3,|𝑩𝑪→|=5,∠ABC=60°,求|𝑨𝑪→|.【分析】由∠ABC=𝑩𝑨→,𝑩𝑪→可联想到“找向量𝑨𝑩→、𝑩𝑪→的关系”;已知式是向量的长度关系,可根据公式|a|2=a·a转化成向量之间的关系,从而找到解决问题的突破口.【解】∵|𝑨𝑩→-𝑩𝑪→|=|𝑨𝑪→|∴(𝑨𝑩→-𝑩𝑪→)·(𝑨𝑩→-𝑩𝑪→)=𝑨𝑪→·𝑨𝑪→=(𝑨𝑩→+𝑩𝑪→)·(𝑨𝑩→+𝑩𝑪→)∴𝑨𝑩→·𝑩𝑪→=0,即𝑨𝑩→⊥𝑩𝑪→,故∠ABC=90°【点评】此题也可由向量加、减法,构造平行四边形ABCD,可得其对角线相等,从而确定ABCD是矩形,∠ABC=90°.【例5】在△ABC中,已知|𝑨𝑩→-𝑩𝑪→|=|𝑨𝑪→|,求∠ABC的大小.【同步训练】【答案】B一、选择题1.a与b是表示不同的非零向量,则下列命题为真命题的是()A.a·b表示一个向量B.a·b表示一个实数C.|a·b|=|a|·|b|D.a,b越大,a·b也越大【答案】D2.已知向量a·b的夹角为120°,且|a|=2,|b|=5,则(2a-b)·a=()A.3B.9C.12D.13【答案】A3.若|a|=5,|b|=6,a,b=60°,则a·b=()A.15B.15𝟐C.15𝟑D.10【答案】A4.若a·b=5𝟑,|a|=4,|b|=2.5,a,b=()A.30°B.45°C.60°D.120°【答案】A5.△ABC中,若𝑨𝑩→·𝑨𝑪→0,则△ABC是()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.形状不能确定【答案】D6.若a与b均为单位向量,下列命题为真命题的是()A.a=bB.a·b=1C.若a∥b,则a=bD.|a|2=|b|2【答案】C7.在四边形ABCD中,𝑨𝑩→=𝑫𝑪→,且𝑨𝑩→·𝑩𝑪→=0,则四边形ABCD一定是()A.正方形B.菱形C.矩形D.平行四边形【答案】B8.已知|a|2=1,|b|2=2,(a-b)·a=0,则a与b的夹角为()A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C9.若向量a⊥b,则一定有()A.|a+b|=|a|+|b|B.|a+b|=|a|-|b|C.|a+b|=|a-b|D.|a-b|=|a|+|b|【答案】B10.已知|a|=2,|b|=1,a与b之间的夹角为𝝅𝟑,则向量|a-4b|=()A.2B.2𝟑C.6D.12二、填空题11.若a·b=-8,|a|=4,|b|=2,则a,b=.12.△ABC中,若|𝑨𝑩→|=2,|𝑩𝑪→|=3,∠ABC=60°,则|𝑨𝑪→|=.13.a·[b(a·c)-c(a·b)]=.14.已知向量a与b的夹角为𝝅𝟑,且|a|=2,|b|=4,则(a+2b)·(a-b)=.15.已知|a|=11,|b|=23,|a-b|=30,则|a+b|=.180°𝟕0-2420【解】|a+b|=𝟕三、解答题16.已知|a|=3,|b|=2,a,b=120°,求|a+b|.17.已知|a|=1,|b|=2,若a-b与a垂直,求a与b的夹角.【解】𝝅𝟑18.若a与b均为单位向量,且a,b=60°,求证:(2b-a)⊥a.【证明】∵(2b-a)·a=2b·a-|a|2=2×1×1×𝟏𝟐-12=0∴(2b-a)⊥a