14例谈目标函数中变量的选择 江苏 孔祥武

1例谈目标函数中变量的选择孔祥武（江苏省常州市第一中学，213003）我们在解析几何中求最值范围时,常常需要构建合适的目标函数,把问题转化为函数的最值问题.解题的关键是分析引起函数值变动的原因，这个原因可能是某条线段的长度变化引起的，可能是某条直线的斜率变化引起的，亦可能是某个点的坐标变化引起的，等等．“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”,从不同的角度看问题，选择不同的变量,会产生繁简不一的方法，因此在解题伊始，我们需要多维度思考,选择合适的变量.下面介绍几个例子来说明问题.1选择点的坐标作变量例1（常州市2010年高三调研测试）如图1，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：22221xyab（0ab）的左焦点为F，右顶点为A，动点M为右准线上一点（异于右准线与x轴的交点），设线段FM交椭圆C于点P，已知椭圆C的离心率为23，点M的横坐标为92．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线PA的斜率为1k，直线MA的斜率为2k，求12kk的取值范围．分析斜率乘积的变化可看作是由M点的坐标变化引起的．我们习惯先设M点，进而直线与椭圆联立,解出交点P的坐标，可以预见表达式非常复杂；若改变这种既定的顺序，先设P点，再求M点，则巧妙避开了直线与椭圆联立的繁琐过程．解（1）椭圆C的标准方程为22195xy(过程略)．（2）设点11(,)Pxy（123x），点M29(,)2y，因为点F、P、M三点共线，所以1211322yyx，即121132(2)yyx，故点M11139(,)22(2)yx．又1113ykx，121133(2)ykx，则12kk=11111333(2)yyxx=2111133(2)(3)yxx．因为点P在椭圆C上，所以2211195xy，即22115(9)9yx．MAPFOxy图1212kk=2111513()(9)93(2)(3)xxx=11365272xx=1651(1)272x，（123x），则12269kk,所以12kk的取值范围是26(,)9．值得一提的是选择点的坐标作变量有时带有轨迹的思想,可先求出满足限制条件的点的轨迹方程,然后再求解最值问题.例2已知圆22:25Oxy与x轴相交于,AB两点，圆内一动点P使||PA、||PO、||PB成等比数列，求PAPB的范围.分析向量数量积的变化可看作是由点P的坐标变化引起的,同时设坐标入手更容易表达点在圆内的特征和处理向量点乘.解设点00(,)Pxy，则220025xy①易知(5,0)A,(5,0)B,00(5,)PAxy，00(5,)PBxy，由||,||,||PAPOPB成等比数列得2||||||POPAPB，222222000000(5)(5)xyxyxy，即222222200000()(25)(10)xyxyx整理得2200252xy,即2200252xy②由①②得202504y，22200025(25)22PAPBxyy，所以25[,0)2PAPB.2选择线段的长度作变量例3求满足条件2,2ABACBC的三角形ABC的面积最大值.分析面积表达式中既含有边又涉及角,需要消元,统一成一个变量来处理.解设BCx，则2ACx，根据面积公式得ABCS=21sin1cos2ABBCBxB，根据余弦定理得2222242cos24ABBCACxxBABBCx244xx，3ABCS=22221281241416xxxx,由三角形三边关系有2222xxxx,解得222222x，故当23(222,222)x时,ABCS取得最大值22.评注本题亦可以点C的坐标为变量,以AB的中点建立合适的坐标系,得出C的轨迹方程为22(3)8xy,然后再求三角形面积最大值.3选择直线的斜率作变量设直线斜率入手多适用于两直线相互垂直或倾斜角互补,或过定点的动直线等问题.例4已知圆C的方程为221525()()222xy,过原点O作两条互相垂直的直线12,ll，1l交圆C于,EF两点，2l交圆C于,GH两点，求四边形EGFH面积的最大值．分析四边形面积的变化可理解为是由直线1l的斜率变化引起的．当直线1l的斜率不存在或斜率为0时，易知221251255352()2()222222EGFHS．设直线1l的方程为,(0)ykxk，则此时直线2l为1yxk圆心C到直线1l的距离1215221kdk，则弦长2215()2522221kEFk，圆心C到直线2l的距离2215221kdk，则弦长2215()2522221kGHk，所以12EGHFS2215()2522221kk2215()2522221kk22222510252525101224(1)24(1)kkkkkk,整体观察可发现2222102525101134(1)4(1)2kkkkkk(定值),22222510252525101224(1)24(1)EGHFkkkkSkk42222251025252510137()()24(1)24(1)2kkkkkk.所以四边形EGFH的面积最大值为372．评注从数的角度发现定值,联想基本不等式解题是关键.4选择有向距离作变量有时最值的变化可理解为点到点或点到直线的距离变化引起的.我们知道圆的问题要注意几何性质的使用．上面例4中仔细观察可发现，图中有一个矩形，且对角线长始终为定值，故可以直接设距离入手．解法2如图2,过C作CMEF，垂足为M;过C作CNGH，垂足为N.易知四边形CNOM为矩形，且对角线长始终为定值262，设圆心15(,)22C到12,ll的距离分别为12,dd，则22212132ddOC（定值），弦长2212EFRd，弦长2222GHRd，222222222222121212137222()()22EGFHSRdRdRdRdRdRd，当且仅当222212RdRd，即12132dd时取到等号．所以四边形EGFH的面积最大值为372．评注从形的角度发现定值,更能揭示问题的本质;通过挖掘几何性质,优化了运算过程，而且避免了斜率是否存在的讨论.例5已知圆H的方程为22(2)(1)2xy,点(0,)Pb，若过点P存在直线l与圆H交于M，N两点，且点M恰好是线段PN的中点，求实数b的取值范围．分析很自然想到设直线l的斜率,利用直线与圆联立,借住韦达定理来处理线段之间的关系,但这样操作很繁琐.换一个角度来看,点M,N位置的变化既可理解为是由直线l的斜率变化引起的，也可理解为是由H点到直线l的距离变化引起的，于是产生下面的解法.解如图3，过H作HKMN交MN于K，设H到直线l的距离HKd，线段MKKNx，M为PN的中点,则2PMx,又2222222,(3),dxMHxdPH①②所以2222(3)(2)28PHxxx，由点,MN不重合及①知02xNMKPOHyx图3HGENMOCyxFl1l2图25存在符合条件的直线l,即关于x的方程2228PHx在02x上有解.则2218PH，又2(1)4PHb，即204(1)18b，所以114114b，故b的取值范围为[114,114]．评注解法2抓住图中的两个直角三角形KMH与KPH，直接设线段长度入手来研究线段之间的比值关系，把解几存在性问题转化为相应方程的有解问题.5选择角度作变量选择角度作变量多适用于点在圆弧或圆上运动,或图形是以三角形构成为主要特征,易于用三角函数表示有关元素的问题.例6如图4，现在要在一块半径为1m,圆心角为60的扇形纸板AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P在AB弧上，点Q在OA上，点,MN在OB上，设平行四边形MNPQ的面积为S.来求S的最大值.解连接OP,设POB,则POQ中3POQ,23PQO,1OP,由正弦定理得12sin()sin33PQ,2sin()33PQ,又P到OB的距离h1sin,2sin()3sin3S23sincossin,(0,)33.133sin2cos266S33(sin2)366,又52(,)666,则1sin(2)(,1]62,当262,即6,S取到最大值236m.我们在选择变量时要克服主观随意,尝试从以上几个角度去思考问题.变量选不好,吃力不讨好,解题不设计,越做越生气.通过对比分析,方法选择,设计好解题思路,这样才能达到灵活应用,受到事半功倍的效果.注：本文发表于2011年《高中数学教与学》3月刊。图4NQOBAPM6作者简介:孔祥武,江苏省常州市第一中学，中学一级,常州市教学能手,曾获2010年江苏省数学基本功比赛三等奖,联系地址:江苏省常州市第一中学高三数学备课组邮编:213003电话:[phone]Email:[e-mail]