矩阵论―Jordan标准形

机动目录上页下页返回结束数学科学学院陈建华矩阵论机动目录上页下页返回结束1.3Jordan标准形一、-矩阵二、Jordan标准形三、Jordan标准形简单应用目标：发展一个所有方阵都能与之相似的矩阵结构----Jordan矩阵。1.定义设P是一个数域，是一个文字，作多项式环P[].一个矩阵，如果它的元素是的多项式，即P[]的元素,就称为-矩阵.讨论-矩阵的一些性质，并用这些性质来证明上关于若尔当标准形的主要定理.因为数域P中的数也是P[]的元素，所以在-矩阵中也包括以数为元素的矩阵.一、-矩阵矩阵称为数字矩阵.以下用A()，B()，…等表示-矩阵.我们知道，P[]中的元素可以作加、减、乘三种运算,并且它们与数的运算有相同的运算规律.而矩阵加法与乘法的定义只是用到其中元素的加法与乘法，因此，我们可以同样定义-矩阵的加法与乘法,它们与数字矩阵的运算有相同的运算规律.把以数域P中的数为元素的行列式的定义也只用到其中元素的加法与乘法,因此,同样可以定义一个nn的-矩阵的行列式.一般地，-矩阵的行列式是的一个多项式,它与数字矩阵的行列式有相同的性质.例如,对于-矩阵的行列式，矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积，这一结论，显然是对的.既然有行列式，也就有-矩阵的子式的概念.利用这个概念，我们有秩和可逆矩阵等。秩如果-矩阵A()中有一个r(r1)级子式不为零，而所有r+1级子式(如果有的话)全为零，则称A()的秩为r.零矩阵的秩规定为零。可逆矩阵一个nn的-矩阵A()称为可逆的，如果有一个nn的-矩阵使A()B()=B()A()=E,(1)这里E是n级单位矩阵.适合(1)的矩阵B()(它是唯一的)称为A()的逆矩阵，记为A-1().定理1一个nn的-矩阵A()是可逆的充分必要条件是行列式|A()|是一个非零数.证明先证充分性.设d=|A()|是一个非零的数.A*()是A()的伴随矩阵，它也是一个-矩阵，而**11()()()(),AAAAEdd因此，A()可逆.再证必要性.设A()可逆，则有A()B()=B()A()=E,上式两边取行列式，得|A()||B()|=|E|=1.因为|A()|与|B()|都是的多项式，所以由它们的乘积是1可以推知，它们都是零次多项式，也就是非零的数.证毕例1求下列-矩阵的秩22221121(1)1211;322222211(2)21.1秩为3秩为2例2下列-矩阵中，哪些是可逆的？若可逆求其逆矩阵.2221()=2111A22-122-+1()=-+-2+1-101A初等变换的定义定义下面的三种变换叫做-矩阵的初等变换：(1)矩阵的两行(列)互换位置；(2)矩阵的某一行(列)乘以非零常数c；(3)矩阵的某一行(列)加另一行(列)的()倍，()是一个多项式.和数字矩阵的初等变换一样，可以引进初等矩阵.2.-矩阵的Smith标准形三种初等变换对应三个初等矩阵11()(,())11Piji行j行i列j列101(,)101Piji行j行i列j列1(())1Picci行i列同样地，对一个sn的-矩阵A()作一次初等行变换就相当于在A()的左边乘上相应的ss初等矩阵；对A()作一次初等列变换就相当于在A()的右边乘上相应的nn的初等矩阵.初等矩阵都是可逆的，并且有P(i,j)-1=P(i,j),P(i(c))-1=P(i(c-1)),P(i,j())-1=P(i,j(-)).由此得出初等变换具有可逆性：设-矩阵A()用初等变换变成B()，这相当于对A()左乘或右乘一个初等矩阵.再用此初等矩阵的逆矩阵来乘B()就变回A()，而这逆矩阵仍是初等矩阵，因而由B()可用初等变换变回A().我们还可以看出在第二种初等变换中，规定只能乘以一个非零常数，这也是为了使P(i(c))可逆的缘故.-矩阵的等价定义-矩阵A()称为与B()等价，可以经过一系列初等变换将A()化为B().等价的性质:等价是-矩阵之间的一种等价关系。如果-矩阵等价的条件：矩阵A()与B()等价的充分必要条件是有一系列初等矩阵P1,P2,…,Pl,Q1,Q2,…,Qs使A()=P1P2…PlB()Q1Q2…Qs.-矩阵的标准形本段主要是证明任意一个-矩阵可以经过初等变换化为Smith标准形.引理设-矩阵A()的左上角元素a11()0，并且A()中至少有一个元素不能被它除尽，那么一定可以找到一个与A()等价的矩阵B()，它的左上角元素也不为零,但是次数比a11()的次数低.证明根据A()中不能被a11()除尽的元素所在的位置，分三种情况来讨论：1)若A()的第一列中有一个元素ai1()不能被a11()除尽，则有ai1()=a11()q()+r(),其中余式r()0，且次数比a11()的次数低.对A()作初等行变换.把A()的第i行减去第1行的q()倍，得：111()()()iaAa11()()ar再将此矩阵的第1行与第i行互换，得：11()().()rBa()AB()左上角元素r()符合引理的要求，故B()即为所求的矩阵.2)在A()的第一行中有一个元素a1i()不能被a11()除尽，这种情况的证明与1)类似，但是对A()进行的是初等列变换.3)A()的第一行与第一列中的元素都可以被a11()除尽，但A()中有另一个元素aij()(i1,j1)不能被a11()除尽.设ai1()=a11()().对A()作下述初等行变换：1111()()()()()jiijaaAaa1111()()0()()()jijjaaaa1111()()(1())()0()()()ijjijjaaaaa=A1().矩阵A1()的第一行中，有一个元素aij()+(1-())a1j()不能被左上角元素a11()除尽，这就化为已经证明了的情况2).证毕定理2任意一个非零的sn的-矩阵A()都等价于下列形式的矩阵12()().()00rddd其中r1,di()(i=1,2,…,r-1)是首项系数为1的多项式，且di()|di+1()(i=1,2,…,r-1).证明经过行列调动之后，可以使得A()的左上角元素a11()0，如果a11()不能除尽A()的全部元素，由可以找到与A()等价的B1()，它的左上角元素b1()0，并且次数比a11()低.如果b1()还不能除尽B1()的全部元素,由引理，又可以找到与B1()等价的B2()，它的左上角元素b2()0，并且次数比b1()低.如此下去，将得到一系列彼此等价的-矩阵A(),B1(),B2(),….它们的左上角元素皆不为零，而且次数越来越低.但次数是非负整数，不可能无止境地降低.因此在有限步以后，我们将终止于一个-矩阵Bs()，它的左上角元素bs()0，而且可以除尽Bs()的全部元素bij()，bij()=bs()qij()，对Bs()作初等变换：即11()()()()sjsibbBb1()000()0sbA在右下角的-矩阵A1()中，全部元素都是可以被bs()除尽的,因为它们都是Bs()中元素的组合.如果A1()O，则对于A1()可以重复上述过程，进而把矩阵化成122()000()0,00()00ddA其中d1()与d2()都是首项系数为1的多项式(d1()与bs()只差一个常数倍数)，而且d1()|d2()，d2()能除尽A2()的全部元素.如此下去，A()最后就化成了所要求的形式.证毕最后化成的这个矩阵称为A()的标准形.例3用初等变换把下列-矩阵化为标准形.32423232222211210000.00行列式因子在上一段，我们讨论了-矩阵的标准形，其主要结论是：任何-矩阵都能化成标准形.但是矩阵的标准形是否唯一呢？答案是肯定的.为了证明唯一性，要引入矩阵的行列式因子的概念.3.行列式因子与不变因子不变因子设-矩阵A()的秩为r，对于正整数k，1kr，A()中必有非零的k级子式.A()中全部k级子式的首项系数为1的最大公因式Dk()称为A()的k级行列式因子.由定义可知，对于秩为r的-矩阵，行列式因子一共有r个.行列式因子的意义就在于，它在初等变换下是不变的.行列式因子性质定理3等价的-矩阵具有相同的秩与相同的各级行列式因子.证明我们只要证明，-矩阵经过一次初等行变换，秩与行列式因子是不变的.设-矩阵A()经过一次初等行变换变成B(),f()与g()分别是A()与B()的k级行列式因子.我们证明f()=g().下面分三种情形讨论.1)A()经初等行变换(1)变成B().这时B()的每个k级子式或者等于A()的某个k级子式,者与A()的某一个k级子式反号,因此f()是B()的k级子式的公因式，从而f()|g().2)A()经初等行变换(2)变成B().这时B()的每个k级子式或者等于A()的某个k级子式,者等于A()的某一个k级子的c倍,因此f()是B()的k级子式的公因式，从而f()|g().或或3)A()经初等行变换(3)变成B().这时B()中那些包含i行与j行的k级子式和那些不包含i行的k级子式都等于A()中对应的k级子式；B()中那些包含i行但不包含j行的k级子式，按i行分成两部分，而等于A()的一个k级子式与另一个k级子式的()倍的和，也就是A()的两个k级子式的组合.因此f()是B()的k级子式的公因式，从而f()|g().对于列变换，可以完全一样地讨论.总之，如果A()经一次初等变换变成B()，那么f()|g().但由于初等变换是可逆的，B()也可以经一次初等变换变成A().由上讨论，同样应有g()|f().于是f()=g().当A()的全部k级子式为零时，B()的全部k级子式也就为零；反之亦然.因此，A()与B()既有相同的各级行列式因子，又有相同的秩.证毕标准形的唯一性标准形的行列式因子设标准形为12()()(1)()00rddd其中d1(),d2(),…,dr()是首项系数为1的多项式，且di()|di+1()(i=1,2,…,r-1).不难证明,在这种形式的矩阵中，如果一个k级子式包含的行与列的标号不完全相同，那么这个k级子式一定为零.因此，为了计算k级行列式因子，只要看由i1,i2,…,ik行与i1,i2,…,ik列(1i1i2…ikr)组成的k级子式就行了，12()()().kiiiddd而这个k级子式等于显然，这种k级子式的最大公因式就是12()()().kddd定理4-矩阵的标准形是唯