《高等数学》连续

函数的连续性函数的连续性是微积分中的又一重要概念。函数连续性的概念1、函数的增量)()()()(xfxxfyxfyxxxxxfyuuuuuuuuuuuuuuuu,,000101010110的相应改变量为时，函数处有一改变量在当自变量的某个邻域内有定义，在为负。如果函数时，为正，当时，当以是负的。增量可以是正的，也可注：即记作，的增量，又叫作改变量就叫作变量与初值之差则终值变到终值从它的初值若变量定义2、函数连续性的概念yy=f(x)0x0xy0xxxy0xxxyy=g(x).0不能趋近于时，当yx0;00yx时，当定义设函数y=f(x)在点x。的某邻域内有定义，如果当自变量的改变量△x趋近于零时，相应函数的改变量△y也趋近于零，即0)()(0000limlimxfxxfyxx则称函数y=f(x)在点x。处连续。)()()()()(000000000limlimlimlim00xfxfxfxfxfxxfyxxxxxxxxxxxx0即于是，时，则当，令处连续。在点则称函数的某邻域内有定义，若在点设函数定义000)()()()(lim0xxfxfxfxxfyxx：同时满足以下三个条件处连续，必须在点由定义知，函数0)(xxf处有定义；在点函数0)()1(xxf存在；处的极限在点函数）（)()(2lim00xfxxfxx。这个极限值等于函数值）（)(30xf处左连续，即处右连续，内连续，且在端点）开区间（）内连续；如果函数在开区间（数函内每一点都连续，则称，在开区间如果函数babaxfbaxfbaxf,)(,)()()()()(limafxfax),()(limbfxfbx上连续。在闭区间则称函数][baxf,)(处的连续性在讨论函数例题000sin1)(xxxxxxxf处连续。在综上所述，函数所以）（解：0)(1)0()((3)1)(1sin)(1)1()((2)1)0(1limlimlimlimlimlim000000xxffxfxfxxxfxxffxxxxxx3、函数的间断点及其分类不连续点或间断点。为函数处不连续，则称在点函数定义)()(00xfxxxxf的间断点：是则点，处有下列三种情形之一在点，如果函数显然)()(00xfxxxf处没有定义；在点函数0)()1(xxf不存在；处的极限在点函数）（)()(2lim00xfxxfxx)()()()(3limlim000xfxfxfxxfxxxx存在，且处有定义，在点函数）（的第二类间断点。为，称的第一类间断点；否则为称的左、右极限存在，则时，的一个间断点，如果当为函数设定义)()()()(0000xfxxfxxfxxxfx)(0xfx为若的第一类间断点，则有以下两种情况：的为则称均存在，但不相等，与）（)()()(1000limlimxfxxfxfxx跳跃间断点；的为则称存在，但不等于,)()()()2(00lim0xfxxfxfxx可去间断点。的连续性讨论例题231)(22xxxxf一类。是可去间断点，属于第所以处但，点处没有定义，函数在点解：01221231221231112)1)(2(23limlimlimlim122112212xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx属于第二类。是一个无穷不连续点，所以，，处又，点2)()(2limlim22xxfxfxxx.1)1()(lim21)1(1lim)(lim11)(11121一类是可去间断点，属于第因此，点解：的连续性讨论例题xfxffxxfxxxxfxxx处的连续性在点讨论例题0000101)(xxxxxxxf。断点，且为跳跃间断点为第一类间处不连续，在即不存在，所以）（解：00)()(lim1)1(lim)(lim1)1(lim)(lim(2)0)0(100000xxxfxfxxfxxffxxxxx一类。是可去间断点，属于第所以处没有定义，但函数在点解：的连续性讨论例题0222sinlim22sinlim02sin)(00xxxxxxxxxfxx初等函数的连续性1、初等函数的连续性基本初等函数在其定义域内是连续的；初等函数在其定义域内都是连续的。2、利用函数的连续性求极限,)()()(00lim0xfxfxxfxx处连续，则在点若即把连续函数求极限的问题转化为求函数值。xxxxsinlnlim(2)1lim1220π）（求极限例题111lim内的点，所以]1，1[定义义区1)(012020xxxfxx的是初等函数点）（解：01ln2sinlnsinlnlim0sinln)(2)2(20ππ）内的点，所以，的一个定义区间（是初等函数ππxxxfxx3、复合函数求极限的方法连续，则在点函数，而，若设有复合函数定理auufaxxfyxx)()()]([lim0afxfxfxxxx)]([limlim00xxx1)1(coslim0例题]limlimlimlimexxeuuyexxuuyxxxxxxxxxxcos)1(cos[)1(coscos)1()1(cos)1(cos111110000连续在点而函数，复合而成与由解：闭区间上连续函数的性质最大值最小值定理如果函数f(x)在闭区间[ɑ,b]上连续，则函数f(x)在区间[ɑ,b]上必有最大值与最小值。介值定理如果函数f(x)在闭区间[ɑ,b]上连续，m和M分别为f(x)在区间[ɑ,b]上的最小值与最大值，则对于满足m≤μ≤M的任何实数μ，至少存在一点.)()(fba，使得，方程实根的存在定理如果函数f(x)在闭区间[ɑ,b]上连续，且f（ɑ）与f(b)异号，则至少存在一点0)()(fba，使得，例题证明三次代数方程01423xx在区间（0，1）内至少有一个根。的端点处的函数值为，在闭区间上连续，又函数，闭区间是初等函数，因此，在函数证：]10[)(]10[14)(23xfxxxf021141)1(01)0(ff，使得1)03（即0140)(2f根据介值定理，在（0，1）内至少有一点。）内至少有一个根，在区间（这等式说明方程1001423xx