人教版高三数学一轮复习：方程的根与函数的零点

函数的零点与方程的根对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点一、函数零点的定义：二、零点存在定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。注:只要满足上述两个条件,就能判断函数在指定区间内存在零点。思考1：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象不是连续的，结论还会一定成立吗？思考2:如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，那么当f(a)·f(b)0时，函数y=f(x)在区间（a，b）内一定没有零点吗？思考3：函数𝑦=𝑓(𝑥)在区间（𝑎，𝑏）内有零点一定有𝑓(𝑎)·𝑓(𝑏)0吗？思考4：在满足定理的条件下，函数y=f(x)在区间（a，b）内有几个零点？结论：函数y=f(x)在区间（a，b）内存在零点，并且是单调的，则零点唯一例1：求函数𝒇(𝒙)=𝒆𝒙−𝟏+𝟒𝒙－𝟒在𝒙∈𝑹上的零点个数，并指出零点的大致区间。例2：若方程𝟐𝒂𝒙𝟐−𝒙−𝟏=𝟎在(𝟎,𝟏)内恰有一解，则a的取值范围（）𝑨.𝒂＜−𝟏𝑩.𝒂＞𝟏𝑪.−𝟏＜𝒂＜𝟏𝑫.𝟎＜𝒂＜𝟏例3：若函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2−𝑥−1仅有一个零点，求实数a的取值。例4：求函数𝑓(𝑥)=2𝑥+lg(𝑥+1)−2的零点个数。例5：已知二次函数𝑓(𝑥)=𝑥2−(𝑚−1)𝑥+2𝑚在[0,1]上有且只有一个零点，求实数m的取值范围。例6：函数𝑓(𝑥)=𝑥7+𝑥3−𝑥所有零点之和为____例7：若函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥−𝑥−𝑎（a0且a≠1）有2个零点，则实数a的取值范围是。补充内容：例8：二次函数𝑦=−𝑥2+(2𝑚+2)𝑥−(𝑚2+4𝑚−3)与x轴的两个交点在原点两侧，求m的取值范围。例9：方程𝑥2−2𝑎𝑥+4=0的两根均大于1，求实数a的取值范围。高考连接：1.已知𝑥0是函数𝑓𝑥=2𝑥+11−𝑥的一个零点，若𝑥1∈1,𝑥0，𝑥2∈(𝑥0,+∞)，则（）𝐴.𝑓(𝑥1)0,𝑓(𝑥2)0𝐵.𝑓(𝑥1)0,𝑓(𝑥2)0𝐶.𝑓(𝑥1)0,𝑓(𝑥2)0𝐷.𝑓(𝑥1)0,𝑓(𝑥2)02.函数𝑓𝑥=𝑒𝑥+𝑥−2的零点所在的一个区间是（）(𝑨)（−𝟐,−𝟏）(𝑩)（−𝟏,𝟎）(𝑪)（𝟎,𝟏）(𝑫)（𝟏,𝟐）3.函数𝑓𝑥=2𝑥+3𝑥的零点所在的一个区间是𝐴.−2,−1𝐵.−1,0𝐶.0,1𝐷.(1,2)4.函数𝑓𝑥=𝑥2+2𝑥−3,𝑥≤0−2+ln𝑥,𝑥0的零点个数为（）A.3B.2C.1D.05.若𝑥0是方程𝑙𝑔𝑥+𝑥=2的解，则𝑥0属于区间（）𝐴.(0,1)𝐵.(1,1.25)𝐶.(1.25,1.75)𝐷.(1.75,2)6.若函数𝑓𝑥的零点与𝑔𝑥=4𝑥+2𝑥−2的零点之差的绝对值不超过0.25，则𝑓(𝑥)可以是（）A.𝑓𝑥=4𝑥−1B.𝑓𝑥=(𝑥−1)2C.𝑓𝑥=𝑒𝑥−1D.𝑓𝑥=ln(𝑥−12)7.设函数𝑓𝑥=𝑒𝑥+𝑥−2,𝑔𝑥=ln𝑥+𝑥2−3。若实数a,b满足𝑓𝑎=0,𝑔𝑏=0,则（）A.𝑔(𝑎)0𝑓(𝑏)B.𝑓(𝑏)0𝑔(𝑎)C.0𝑔(𝑎)𝑓(𝑏)D.𝑓(𝑏)𝑔(𝑎)08.函数𝑓𝑥=(12)𝑥−sin𝑥在区间[0,2𝜋]上的零点个数为______9.已知函数𝑓𝑥=𝑥+2𝑥,𝑔𝑥=𝑥+ln𝑥,ℎ𝑥=𝑥−𝑥−1的零点分别为𝑥1,𝑥2,𝑥3,则𝑥1,𝑥2,𝑥3的大小关系是_________11.方程sin𝜋𝑥=14𝑥解的个数为________12.方程sin𝑥=𝑙𝑔𝑥的解的个数为__________